Limiti, equivalenze asintotiche, ordine di infinitesimo, di infinito e loro confronto

Analisi matematica

Calcolo dei limiti

Esercizi svolti

Equivalenze locali

Infinitesimi infiniti e loro confronto Novembre 2021

Calcola i seguenti limiti utilizzando la gerarchia degl infiniti 1

Pillole di Teoria

→

Infinitesimo per → →

Si dice che una funzione f(x) e un infinitesimo per quando il limite di f (x) per è uguale a 0.

→

Date due funzioni se entrambe sono infinitesimi per allora il limite del loro rapporto si

presenta in forma indeterminata: 0

lim 0

→

sono infinitesimi simultanei

Quale dei due infinitesimi tende a 0 “più rapidamente”? →

Possiamo stabilire ciò determinando il limite (se esiste) del loro rapporto per 2

→ 0

Esempi di infinitesimi equivalenti per sono:

sin ~ , ln 1 ~ 1~

, 3

4

Infinitesimo campione: ∞

Confrontiamo con l’infinitesimo campione, usiamo il modulo per x per considerare i due casi a

1 | |

$

3

! ! ! %0

1 3

→∞ →∞ →∞

| | | |

$ &

il limite è finito e diverso da zero e vale uno se l’esponente è uguale a quello di x al denominatore, quindi:

|x| x se 1

γ γ

L’ordine di infinitesimo è 1

Infinitesimo campione: *

)

Confrontiamo f(x) con l’infinitesimo campione:

, ./0

! ! % 0 1

se γ

- -

→+ →+

N.B. Ricordiamo infatti il limite notevole: tan

! 1

→+

4

sin ⋅ 1 ~ ⋅2

46 4

lim sin x ⋅ e 1 ~ lim x ⋅ 2x lim 2x

6→+ 6→+ 6→+

Infinitesimo campione: *

)

Confrontiamo f(x) con l’infinitesimo campione: 4

2x

4

lim 2x lim 7 %0 8 & 2

x

6→+ 6→+ γ

Infinitesimo campione: $

1

9 9

+ 2

passiamo a calcolare il limite: 5

1 4x 4

lim $

1

; = 2=

6→: 4

: >

; ;

calcoliamo prima il limite da destra: , il tutto vale anche per :

4 4

:

;

per 4

1 4x 1 4x

4 4

→ $ $

1 1

? @

= =

2 2

2x 1 2x 1

1 2x 1

A B γ

2 2x 1

1

?

2@ 2x 1

γ γ>;

2x 1

2 ⋅ L%0⇔ 1 0→ 1

2x 1

γ γ γ

γ>;

7 0 8 0F&F1

& 1%0→ E 7 ∞ 8 &G1

Se 2 sin 2 1 cos 4 2 8 K2 1 LM84

2 sin 2 sin 2 sin 2 sin

J 4 J 4 J 4 J 4

2 sin ∼ O P →0

J 4

Cerco una g(x) tale che: S

QR0

2 sin ? 2 @∼ O P →0

J 4 4 4 4

S

perché: 6

sin

4 →1

4

2 2 2

∼ ∞O P →0

2 sin