Limiti, equivalenze asintotiche, ordine di infinitesimo, di infinito e loro confronto

Sperché: 6sin4 →142 2 2≈ ∞O P →02 sinJ 4 48 K2 2 2≈ ∞ O P →02 sinJ 4 41 4 41 LM84 12≈ .· 16 82 sin 2J 4 42 sin 2 1 cos 4lim 2 sinJ 4→+ 2 8 K2 1 LM84lim ∞ ∞ 8 ∞2 sin 2 sin 2 sinJ 4 J 4 J 4→+Osserviamo che gli infiniti hanno lo stesso segno, altrimenti avremmo ancora una forma indeterminata.2x 1f x 2x );Infinito campione: |6|γ → 0 → 0: >Calcolo i limiti di f(x) per e per2x 1 1 12 lim 2lim x x 0 : ∞6→+ 6→+X X2x 1 1 1lim 2 lim 2x x 0 > ∞6→+ 6→+Y YDeduco che:2x 1 1f x ~x x 12x 1 xlim 2 lim L % 0 se 11x γ6→+ 6→+ |x|γ→0perordine di infinito 1 1 14 2 2Z1 1 1lim lim lim4 2 2 [ 2Z 4→4 →4 →4 7→∞>[ ;infinito campione: |6>4|γ 11 2 2lim lim 14Z→4 →4X X x 2 γx 2 γlim 2 2→4 X x 2 γ>;lim 7 %0 8 & 1 0→& 12→4 X 7 0 8 &G18 &%1→E 7 ∞ 8

gerarchia:G G K4 Z 4lim ln 1Z ∞→>∞ ln 24lim ∞4→:∞ ∞Nella gerarchia al numeratore:ln F4al denominatore:G ln G4 4 4eè infinito di ordine superiore: ln 24lim 4 ∞→:∞ln F aIl denominatore è di ordine superiore lnlim 04 6J 4→:∞ 111lim ⋅ ln 1 + = ∞ ⋅ 0 \. ].3→:∞→0per K 1+ ~perciò: 1 1 1⋅ ln 1 + ~ =3 3 31 1lim ⋅ ln 1 + =3 3→:∞e1+2 −1 0lim = \. ].05→+ g1 hO P → 0 → + − 1~ ⋅allora: e1+2 −1 5 2O P →0→ ~ =25 5cos − ln 1 + −1 0lim =2 0→+riscriviamolo:cos − ln 1 + − 1lim =2→+ LM8 − 1 ln 1 += lim −lim2 26→+ →+1 1 − LM8 1 ln 1 += − lim ⋅ − lim2 26→+ 6→+;>ijk ^0 ;:O P →0→ =0 =1quindi:cos − ln 1 + −1 1 1 − LM8 1 ln 1 + 1 1lim == − lim ⋅ − lim =0− =−2 2 2 2 2→+

6→+ 6→+ 12