Intervalli di confidenza e rette di regressione

Intervalli di confidenza per i coefficienti di regressione

Date le modalità x₁, x₂, ..., x_n di una variabile X osservata su n unità, supponiamo che le modalità y₁, y₂, ..., y_n siano indipendentemente distribuite secondo n variabili aleatorie normali con medie giacenti su una retta y = a + bx e varianza σ² ~ N(a + bx , σ²).

Una stima di tali parametri è data da:

ĉ = ∑(xi - x̄)(yi - ȳ) / ∑(xi - x̄)²

b̂ = ∑(yi - ȳ) / ∑(xi - x̄)²

â = ȳ - b̂x̄

Un intervallo di confidenza al livello 1 - α per la previsione ŷ = â + b̂x è dato da:

[â - tσ̂√(1/n + (x - x̄)²/∑(xi - x̄)²), â + tσ̂√(1/n + (x - x̄)²/∑(xi - x̄)²)]

[b̂ - tσ̂√(1/∑(xi - x̄)²), b̂ + tσ̂√(1/∑(xi - x̄)²)]

dove t è il valore critico della distribuzione t con n - 2 gradi di libertà e α/2 di probabilità.

x̄)!2± +â + b̂x t σ̂n−2,α/2 n 2−n (x x̄)ii=112 Esercizi1. Si è stimata una retta di regressione y = a + bx un un campione din = 10 unità, ottenendo i seguenti risultatistima errore standarda 0.8802 3.0777b 3.1806 0.4960 2sapendo inoltre che la stima della varianza è risultata pari a σ̂ =20.29502, calcolare −(a) un intervallo di confidenza al livello 1 α = 0.95 per l’intercetta−(b) un intervallo di confidenza al livello 1 α = 0.95 per il coefficienteangolare !ni=1 2−(x x̄)(c) la devianza i! ni=1 2(d) la somma xi(e) la media della variabile X −(f) un intervallo di confidenza al livello 1 α = 0.95 per il valoreprevisto in x = 10Soluzioni ± ×= 2.31, 0.8802 2.31 3.0777(a) t8,0.025 ± ×= 2.31, 3.1806 2.31 0.4960(b) t8,0.025!n 2 2−(x x̄) = 20.29502/(0.4960) = 82.49(c) ii=1!n 10×82.492 2 ×x = 3.0777 = 385(d) ii=1 20.29502& −(e) x̄ = 385/10

82.49/10 = 5.5' ( )2(10-5.5)1× ± ×(f) 0.8802 + 3.1806 10 2.31 20.29502 +10 82.492. Si è stimata una retta di regressione y = a + bx un un campione din = 200 unità, ottenendo i seguenti risultati:

stima errore standard

a 1.6040 0.2675

b -0.3789 0.4513

Sapendo che n"12 2-= (y ȳ) = 3.5493σ iy n i=12 =0.0035r xy

Calcolare:

(a) la stima σ̂ della varianza residua!

ni=1 2-(b) la devianza (x x̄)i! ni=1 2

(c) la somma xi

(d) la media della variabile X -(e) un intervallo di confidenza al livello 1 α = 0.90 per il valore-5previsto in x = -(f) un intervallo di confidenza al livello 1 α = 0.99 per il valore-5previsto in x =

Soluzioni 2002 × - ×= (1 0.0035) 3.5493 = 3.5726

(a) σ̂ 198!n 3.57262-(x x̄) = = 17.541

(b) i 2i=1 0.4513!n 2

(c) x = 70.2664ii=1& -(d) x̄ = 70.2664/200 17.541/200 = 0.5134≈ z = 1.645

(e) t198,0.05 0.05 # $ %2-(f) t198,0.01 0.01 # $ %2-

1. 0.5134)1××5 ±1.645 × +3.57261.6040 + 0.3789 200 17.541≈ z = 2.575(f) t198,0.005 0.005 # $ %2−1 (−5 0.5134)×× ± +3.57261.6040 + 0.3789 5 2.575 200 17.541
2. 3. Si è stimata una retta di regressione y = a + bx su n = 30 unità,ottenendo i seguenti risultati stimaa 4.5b 1.13