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• ESERCIZI
INTEGRALI PER
SOSTITUZIONE
3) Integrazione per cambiamento di variabile:
+
1 x
∫
a) dx
−
1 x
sen2x
∫
b) dx
4
−
3 cos x
2 −
x 1
∫
c) dx
2 +
x 1
4 2
+ +
(x 3x 1)arctg x
x
+
1 e
∫ dx
d) x
1
∫
e) dx
2 3
+
(1 x )
RISOLUZIONE
3) Integrazione per sostituzione:
a) Posto x = sent, si ha dx = cost dt e otteniamo: 2
+ + + +
1 x 1 sent (1 sent) 1 sent
∫ ∫ ∫ ∫
=
dx = costdt = costdt costdt =
− − ∗
2
−
1 x 1 sent cost
1 sen t
∫ ∫ 2
−
− − 1 x
= dt + sentdt = t cost + c = arcsenx + c.
π π 2
− ≤ ≤
(∗Affinché g(t)=sent sia invertibile deve essere t per cui cos t =cost.)
2 2
2
Posto cos x = t,
b) −2senxcosxdx −dt.
si ha = dt cioè sen2xdx =
Allora: (1/ 3) dt
sen2x dt t
∫
∫ ∫ −arcsen
− − + c =
=
= =
dx dt 2
4 2 3
−
− − 1 (t/ 3 )
3 cos x 3 t
2
cos x
−arcsen
= + c.
3 2 +
x 1
c) Posto t = arctg ,
x
2 2 −
−
1 x 1 x 1
si ha = =
dx dx
dt
2 4 2
+ +
2 +
x (x 3x 1)
x 1
+
1
x
2
2 +
− x 1
x 1 dt
∫ ∫
quindi: = =ln + c = ln +c
t arctg
dx
2 + x
t
x 1
4 2
+ +
(x 3x 1)arctg x