Integrali iterati - Soluzioni

Z Z Z

y 1 1

2

− − − − −

(1 x y)dy dx = y xy dx = (1 x) dx = .

2 2 6

0 0 0 0

y=0

Il secondo integrale è dato da √ !

2

1 1−x 1

Z Z Z

1 1

2

−

xy dy dx = x(1 x )dx = .

2 8

0 0 0

Infine il terzo integrale si può scrivere

1 x 1

Z

Z Z 3 1 3

2 3 4

− −

(x + y) dy dx = x x x dx = .

2 2 20

2

0 x 0 3

© – 5) Calcolare x

ZZ e y ×

dx dy , C = [0, 1] [1, 2] .

3

y

C

Conviene integrare prima in x e poi in y: !

x xy 1 2

1

2 2 √

−

ZZ Z

Z Z

e e 1

e 1

1

y y 1 −

−e − e

dx dy = dy = dy = + =e .

y

3 3 2

y y y y 2

C 0

1 1 1

§ – 6) Verificare, senza calcolare l’integrale, che

ZZ 2 7 2 2 2

− ≤ − ≤ {(x, ∈ ≤

7π[ln(3) ln(4)] ln[(y x + 2) ] dx dy 7π ln(3) , C = y) : x + y 1} .

R

C

Si tratta – in realtà – di un problema di massimo e minimo. . . Si verifica facilmente, eventualmente usando

i moltiplicatori di Lagrange, che si ha

3 2

≤ − ≤ ∀(x, ∈

y x + 2 3 , y) C .

4

L’esercizio si conclude allora facilmente usando la monotonia del logaritmo, dell’integrale, ed il fatto che la

misura bidimensionale di C vale π.

§ – 7) Calcolare il seguente integrale:

ZZ y

y 2

{(x, ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

dx dy , C = y) : 0 y 2 , x min(y, 1)} .

e x R 2

C y

È chiaro che integrare prima in x e poi in y non è possibile (non si conosce una primitiva di e ). È allora

x

necessario “girare” l’insieme; si vede facilmente che si ha

2

{(x, ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

C = y) : 0 x 1 , x y 2x} ,

R

e quindi 1 2x 1 2

Z −

ZZ Z Z e e

y y 2 − .

e dx dy = e dy dx = x (e e) dx =

x x 2

C 0 x 0

© – 8) Calcolare (se esiste) ZZ dx dy .

2 2 2

(1 + x + y )

2

R

Per definizione, si ha ZZ

ZZ dx dy

dx dy = lim .

2 2 2 2 2 2

(1 + x + y ) (1 + x + y )

R→+∞

2 B (0)

R R

Passando in coordinate polari, si tratta allora di calcolare

2π R R 2

Z Z Z

ρ 1

d(1 + ρ ) −

lim 1 = π.

dρ dθ = lim π = lim π

2 2 2 2 2

(1 + ρ ) (1 + ρ ) 1 + R

R→+∞ R→+∞ R→+∞

0 0 0

© – 9) Calcolare il seguente integrale: p

|y|

Z Z x dxdy ,

p

|y|

1 +

Q

2

{(x, ∈ ≤ ≤ −1 ≤ ≤

dove Q = y) : 0 x 1 , y 2}.

R

Poichè l’integrando è il prodotto di una funzione di x e una di y, l’integrale assegnato è uguale a

√ √

2

1 0 2

p 2 Z

|y| −y y

Z Z Z

1

x √

x dx dy = dy + dy =

√

p −y

2 1 + 1+ y

|y|

1 + 0

−1 −1

0 0

√ √

−y −2t

ponendo t = e s = y, si ha rispettivamente dt = dy e 2s ds = dy, e quindi:

√ √

!

0 2 1 2

2 2

−2t

Z Z Z Z

1 2s 1 1

− −

= dt + ds = t 1+ dt + s 1+ ds =

2 1+ t 1+ s 1+ t 1+ s

1 0 0 0