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INTEGRALI DOPPI
1
Calcolare l'area del seguente dominio
D = { (x,y) ∈ ℝ2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √x }
D = ∫02 [ ∫0√x dy ] dx = ∫02 [ y ]0√x dx = ∫02 √x dx =
= ∫02 x1/2 dx = [ x3/2 / 3/2 ]02 = [ 2/3 x3/2 ]02 = 2/3 23/2 =
= 23/2 + 1 / 3 = 25/2 / 3.
Calcolare l'area del seguente dominio piano
I = ∬D 2y e-x2 dxdy
dove D = {(x,y) ∈ ℝ2: 0 < x < 1, 0 < y < √x}
= ∫01 ∫0√x [2y e-x2] dy dx = ∫01 [y2 e-x2]0√x dx =
= ∫01 x e-x2 dx = ∫01 [e-x2/-2]01 = e-1/-2 - e0/-2 = -1/2e + 1/2 =
= e-1/2e.
Calcolare il seguente integrale doppio
I = ∫∫ xy dy dx =
dove D = { (x,y) ∈ ℝ² : x² - 1 ≤ y ≤ √1 - x² , -1 ≤ x ≤ 1 }
= ∫-11 [ ∫x²-1√1-x² xy dy ] dx = ∫-11 [ x y²/2 ]x²-1√1-x² dx -
= ∫-11 [ x/2 (1-x²) - (x²-1)² ] dx = ∫-11 [ x/2 - x³/2 - x/2 (x⁴+1-2x²)] dx =
L'integrale di partenza I è dato da:
I = x/9
Calcolare il seguente integrale doppio:
I = ∬D x2y/√(x2 + y2) dx dy =
dove D = {(x,y) ∈ ℝ2: ❶ ≤ x2 + y2 ≤ ❹, y > 0}
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