Inferenza Statistica Esercizi

Inferenza Statistica Esercizi a. a. 2016-2017 Prof. Luisa Scaccia

Esercizi lezione 1

Esercizio 1

Da un’urna contenente 10 palline numerate da 1 a 10, si estrae una pallina; calcolare la probabilità

che:

a. Il numero estratto sia il 3 o il 5;

b. Il numero estratto sia un numero pari o divisibile per 3.

Soluzione

a. Sia A =‘‘il numero estratto è 3’’, B =‘‘il numero estratto è 5’’.

L’evento di cui vogliamo la probabilità è l’evento unione A∪B.

A∩B = ∅,

I due eventi sono incompatibili cioè

1

P(A) = P(B) = 10

2 1

P(A∪B) = = , essendo due i casi favorevoli.

10 5

b. Sia A =‘‘il numero estratto è pari ’’, B =‘‘il numero estratto è divisibile per 3’’.

=

In questo caso i due eventi sono compatibili (A∩B {6}).

Si ottiene:

5 1 3 7

P(A) = = , P(B) = , P (A∪B) =

10 2 10 10

Essendo gli eventi compatibili, il numero dei casi favorevoli all’evento A∪B non è uguale alla

somma dei casi favorevoli ai due eventi: da questa somma si devono togliere i casi favorevoli ad

A∩B , che si presentano due volte:

3 1

5 + - .

P (A∪B) = 10 10 10

In generale si ha il seguente teorema:

TEOREMA 1.1

(delle Probabilità Totali)

Comunque scelta una coppia di eventi A, B, si ha:

P(A∩B).

P (A∪B) = P(A) + P(B) -

Dimostrazione. Ovvia, per la definizione di probabilità.

COROLLARIO 1.2

Comunque scelta una coppia di eventi A, B, tali che A∩B = ∅, si ha:

P (A∪B) = P(A) + P(B). Questa proprietà è nota come additività semplice.

Esercizio 2 1 1

Siano A e B due eventi con probabilità pari rispettivamente a e . Si calcoli la

2 3

dell’unione dei due eventi in ciascuno dei seguenti casi:

probabilità

1. A e B sono incompatibili;

2. A e B sono indipendenti;

1

3. P(A | B) = .

4 Soluzione

1 1

Posto P(A) = e P(B) = , si ha:

2 3

due eventi sono incompatibili se A∩B = ∅

1. ovvero i due eventi non possono verificarsi

contemporaneamente.

Se A e B sono incompatibili allora P(A∩B)=P(∅)=0.

L’ultima uguaglianza discende direttamente dalla definizione di probabilità.

– P(A∩B)

Essendo P(A∪B) = P(A)+P(B) 1 1 3+2 5

+ = =

Ne discende P(A∪B)= P(A) + P(B) = ;

2 3 6 6

Alla stessa conclusione si giunge direttamente invocando l’assioma delle probabilità totali

nel caso di due eventi.

Se A e B sono indipendenti allora P(A∩B)=P(A)*P(B).

2. – P(A∩B) –

Si ottiene dunque: P(A∪B) = P(A) + P(B) = P(A) + P(B) P(A)*P(B) =

1 1 1 1 5 1 4 2

+ − ∗ − = =

= = ;

2 3 2 3 6 6 6 3

1

3. P(A | B) = occorre determinare P(A∪B).

4

Per definizione di probabilità condizionata si ha:

P(A | B)=P(A∩B)/P(B)

da cui

P(A∩B) = P(B)*P(A | B).

Si ottiene quindi – P(A∩B) = P(A) + P(B) –

P(A∪B) = P(A) + P(B) P(B)*P(A | B) =

1 3 2+1 3

1 1 1 1

+ 1 − ∗ .

( 4)

= P(A) + P(B)*(1– P(A | B)) = * = + = =

2 3 2 3 4 4 4

Esercizio 3 M ,M M

Tre macchine e producono lo stesso pezzo. La prima produce il 20% di tutti i pezzi, la

1 2 3 M

seconda il 45% e la terza il 35%. Da rilevazioni statistiche si sa che la macchina ha in media uno

1

dell’8% e la macchina

M M

scarto di pezzi (perché difettosi) del 5%, la macchina del 4%. Scelto a

2 3

caso un pezzo dal magazzino qual è la probabilità che sia difettoso?

Esercizio 4

Continuando l’esempio precedente, supponiamo di aver preso un pezzo dal magazzino e di averlo

M

trovato difettoso. Qual è la probabilità che esso sia stato prodotto dalla macchina 1

Si ha allora il seguente diagramma ad albero:

Soluzione D

0.05

M1

0.20 0.95 N

D

0.08

0.45 M2 N

0.92

0.35 D

0.04

M3 N

0.96

M2, M3 gli eventi: M1 = ‘‘Il pezzo è prodotto da M1’’, M2 = ‘‘Il

Indicati rispettivamente con M1,

pezzo è prodotto da M2’’, M3 = ‘‘Il pezzo è prodotto da M3’’, D = ‘‘Il pezzo è difettoso’’, le

20 45 35

rispettive probabilità sono P(M1) = , P(M2) = e P(M3) = .

100 100 100

I valori 5%, 8%, e 4% rappresentano rispettivamente le probabilità degli eventi condizionati

Mi) = ‘‘probabilità che il pezzo difettoso

P(D | M1), P(D | M2) e P(D | M3) dove si è posto: P(D |

sia prodotto da Mi ’’. L’evento D è unione degli eventi disgiunti D ∩ ∩M2 ∩

M1, D e D M3 cioè

∩ M1) ∩ ∩ M3).

∪ ∪

D = (D (D M2) (D

Applicando il teorema delle probabilità totali e successivamente quello delle probabilità composte si

ottiene:

P(D) = P(D ∩ M1) + P(D ∩ M2) + P(D ∩ M3) =

= P(M1)*P(D | M1) + P(M2)*P(D | M2) + P(M3)*P(D | M3) =

20 5 45 8 35 4 6

* + * + * =

= = 6%.

100 100 100 100 100 100 100

Quindi P(D) = 6%. 5 20

∗