inferenza statistica

Funzione generatrice dei momenti

Famiglia parametrica = insieme di f. di densità caratterizzate da θ.

• Funzione Generatrice dei Momenti
• Famiglie di Locazione e di Scala
• Exponential Families
• Distribuzione Gamma
• Distribuzione Chi-Quadro
• Distrib. T-Student
• Distrib. F-Fisher e Cauchy
• Convergenza (Slutsky's Theorem)
• Likelihood Function
• Sufficient Statistic
• Factorization Criterion
• Lehman-Scheffe
• Ancillary Statistic
• Regular Exp Family
• Basu Theorem
• Complete Statistic

Famiglia parametrica = insieme di f. di densità caratterizzate da ϑ.

Formule da ricordare

F_X(x) = ∑_{xi ≤ x} f_X(x_i)
f_X(x_i) = F_X(x_i) - lim_{x → xi} F_X(x)
F_X(x) = ∫_-∞^x f_X(u) du
f_X(x) = d/dx F_X(x)
F_X,Y(x,y) = ∫_-∞^x ∫_-∞^y f_X,Y(u,v) dv du
f_X,Y(x,y) = ∂²/∂x ∂y F_X,Y(x,y)
E[X] =

• ∑_x=-∞^+∞ x f_X(x)
• ∫_-∞^+∞ x f_X(x) dx

Distribuzioni discrete e continue

• Bernoulli (θ)
  f_X(x; θ) = θ^x(1-θ)^1-x
• Binomiale (θ₁, θ₂)
  f_X(x; θ) = C(θ₁, x) θ₂^x(1-θ₂)^θ₁-x
• Geometrico (θ)
  f_X(x; θ) = (1-θ)^x θ
• Poisson (θ)
  f_X(x; θ) = e^-θ θ^x/x!
• Uniform (θ₁, θ₂)
  f_x(x; θ) = 1/(θ₂-θ₁)
• Normal (θ₁, θ₂)
  f_x(x; θ) = e^{-(x-θ₁)²/2θ₂} / √2πθ₂
• Exponential (θ)
  f_x(x; θ) = 1/θ e^-x/θ

Exponential family

f_x(x; θ) = h(x) exp(∑_j=1^c C_j(θ)t_j - a(θ))

Distribuzioni marginali e condizionali

• Marginale discreto: f_x(x) = ∑_Y f_x,y(x,y)
• Marginale continuo: f_x(x) = ∫_ℝ f_x,y(x,y) dy
• Condizionale: f_x|y(x|y) = f_x,y(x,y)/f_y(y)

Covarianza e correlazione

Covarianza: cov[X,Y] = E[XY] - E[X]E[Y]
Correlazione: ρ_x,y = cov(X,Y)/(√Var(x) Var(y))

Derivate e regole di derivazione

• D 0 = 0
• D x = 1
• D x^α = αx^α-1 con α ∈ N - {0}, α ∈ R, x > 0
• D √x = 1/2√x con x > 0
• D a^x = a^x ln a a>0
• D e^x = e^x
• D log_ax = 1/x ln a, x > a, a > 0 ∧ a ≠ 1
• D 1/x = -1/x² con x > 0

Regole di Derivazione:
D[k f(x)] = k f'(x)
D[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
D[f(x) g(x)] = f'(x)g(x) + f(x) g'(x)
D[1/f(x)] = -f'(x)/f²(x)
D[f(x)/g(x)] = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/g²(x)
D[f(g(x))] = f'(z) · g'(x) con z = g(x)
D[f^-1(y)] = 1/f'(x) con x = f^-1(y)
D[f(x) · g(x) · z(x)] = f'(x)g(x)z(x) + f(x)g'(x)z(x) + f(x)g(x)z'(x)
D sen x = cos x
D cos x = -sen x
D tg(x) = 1/cos²x = 1 + tg²(x)
D cotg(x) = -1/sen²x = -(1 + cotg²x)

Distribuzione normale

X ∼ N(μ, σ²), μ ∈ ℝ, σ² > 0
f_X(x) = 1/√2πσ² exp{ -((x-μ)²/2σ²) }, x ∈ ℝ
68% - 95% - 99.7%
Example: X ∼ N(μ, σ²) P(X > μ+2σ) ≈ 0.025
Theorem: X ∼ N(μ, σ²) ⇔ (x-μ)/σ ∼ N(0,1)
Example: X ∼ N(3,16) ⇒ (x-3)/4 ∼ N(0,1)

Distribuzione gamma

γ ~ Gamma(α, β)
f_x(x) = β^α/r(α) y^α-1 e^-βy, y > 0, α, β > 0
CASO α = 1: P(Y|α = 1, β) = y^-1 e^-βy = e^-βy
CASO α = 2: P(Y|α = 2, β) = y e^-βy