Induzione elettromagnetica, fem indotta, legge di Biot-Savart

Esercitazioni per l’esame di stato

Proposta tipo per l’elaborato delle materie d’indirizzo.

Problema di matematica e fisica per Liceo Scientifico

Induzione elettromagnetica f_em indotta

La derivata di una funzione

Un lungo filo porta una corrente variabile I = (5,00A)e^{- (20.0s-1)t}. A una distanza D=6,00 m viene posto un anello conduttore di raggio r=2,00 cm. Assumendo che ad ogni istante il campo che agisce sull’anello è costante ed è pari a quello presente nel suo centro, determina l’espressione della forza elettromotrice indotta e il suo valore all’istante t = 1,00 · 10^-1 s.

Esercitazioni per l’esame di stato

Proposta tipo per l’elaborato delle materie d’indirizzo.

Problema di matematica e fisica per Liceo Scientifico

Induzione elettromagnetica f_em indotta

La derivata di una funzione

Un lungo filo porta una corrente variabile I = (5,00A)e^-(20,0s-1)t. A una distanza D=6,00 m viene posto un anello conduttore di raggio r=2,00 cm. Assumendo che ad ogni istante il campo che agisce sull’anello è costante ed è pari a quello presente nel suo centro, determina l’espressione della forza elettromotrice indotta e il suo valore all’istante t = 1,00 · 10^-1 s.

Svolgimento

Il filo percorso da corrente genera un campo magnetico variabile nel tempo, scriviamone l’espressione utilizzando la legge di Biot-Savart:

B(t) = _μ0 / 2π · I(t) / D

Il flusso di B, in funzione del tempo t, attraverso l’anello è dato da:

Φ(t) = ∫ B · dS

Φ(t) = B(t) · πr²

Φ(t) = _μ0 / 2π · I(t) / D · πr²

Raggruppiamo i termini costanti:

Φ(t) = _μ0 / 2π · πr² / D · I(t)

Esplicitiamo il valore della permeabilità magnetica nel vuoto:

Φ(t) = 4π · 10^-7 / 2π · π(2 · 10^-2m)² / 6m · I(t)

Φ(t) = (4π · 10^-7 / 2π) · (4π10^-4m² / 6m) · I(t)

Φ(t) = 4π · 10^-11 / 3 · I(t)

Sostituiamo ora l’espressione della funzione che descrive la variazione della corrente in funzione del tempo:

Φ(t) = 4π · 10^-11 / 3 · (5,00A) e^(-20,0s-1)t

Φ(t) = 20π · 10^-11 / 3 · e^(-20,0s-1)t

Per la legge di Faraday-Neumann, la forza elettromotrice indotta ε(t) è la derivata temporale del flusso di B cambiata di segno:

ε(t) = -dΦ(t) / dt

Calcoliamo ora la derivata della funzione flusso:

ε(t) = -dΦ(t) / dt = -&left;[ 20π · 10^-11 / 3 · e^(-20,0s-1)t · (-20s^-1) &right;]

da cui:

ε(t) = 400s^-1 · π · 10^-11 / 3 · e^(-20,0s-1)t