Il recipiente vuoto galleggiante

Il recipiente vuoto galleggiante

Meccanica dei fluidi

Un recipiente vuoto di massa M e sezione orizzontale S è immerso per un’altezza h_o nell’acqua del mare in modo da galleggiarvi. Si supponga ora che lo stesso recipiente venga immerso per un’altezza h ≠ h_o e poi lasciato andare all’istante t = 0.

1. Calcolare il moto del recipiente (supponendo che possa muoversi solo di moto traslatorio nella direzione verticale), riportando un grafico della funzione h = h(t).
2. Ripetere il calcolo e riportare il relativo grafico per il caso che, anziché nel mare, il recipiente si trovi a galleggiare a sua volta in un altro recipiente più grande di sezione S' e volume d’acqua totale V.

N.B. In tutto l’esercizio si trascurino gli effetti della viscosità.

Acqua del mare

O

G

F_S

h_M

h_0M

F_G

h

(Fig. 10.9.1)

La situazione può essere schematizzata graficamente per mezzo della Figura 10.9.1. In essa viene fissato un asse verticale di riferimento, orientato verso il basso, con l’origine O in un punto della superficie libera dell’acqua. In condizioni di equilibrio il recipiente affonda nell’acqua per il tratto h_o. Se esso viene spinto (da un agente esterno) più in basso, ad esempio, in corrispondenza dell’ordinata h_M e poi lasciato andare, il recipiente compirà delle oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio iniziale. A questo punto, anche se nel testo del problema non è precisato, dobbiamo supporre che h_M sia tale che h_M – h_o = ∆h << h_o affinché il moto del recipiente non sia troppo brusco o tale da farlo schizzare fuori dall’acqua. In altri termini consideriamo uno spostamento piccolo rispetto all’altezza iniziale h_o. Le forze che agiscono sul centro di massa G del recipiente sono il peso F_G (verso il basso) e la spinta di Archimede F_S (verso l'alto). La forza esterna applicata F (quando il recipiente viene lasciato libero) è dunque la risultante delle due forze precedenti. Pertanto possiamo scrivere la seguente equazione scalare:

F = F_G – F_S

Il grafico di h (t) è quello di Figura 10.9.4 ed è simile a quello di Figura 10.9.2 ma non uguale. Infatti nel caso b) si rilevano un aumento della frequenza del moto ed un aumento dell'ampiezza delle oscillazioni, come è facile verificare confrontando le due frequenze v e v' e le due ampiezze ψ e ψ':

Infatti, dopo aver osservato che, essendo ovviamente 0 < S/S'< 1 e quindi anche h₀ > h₀ (1 - S/S'), si deduce subito che v < v' e ψ < ψ'. Per concludere, possiamo completare il problema con un esempio numerico, ponendo: S/S' = 1/10, h₀ = 20 cm, h_M = 22 cm e g = 980 cm/s²; si ottengono così i seguenti risultati:

• v = 1,11 Hz
• v' = 1,17 Hz
• T = 1/v = 0,90 s
• T' = 1/v' = 0,85 s
• ψ = 2 cm
• ψ' = 4 cm