Trasmissione del calore - lastre parallele con il vuoto

Scambio termico tra lastre parallele

Consideriamo due lastre estese indefinitamente lungo le direzioni y e z disposte parallelamente: questa configurazione (lastre indefinite) fa sì che le perdite ai bordi siano trascurabili. Supponiamo che tra le due lastre ci sia il vuoto: l’unico meccanismo possibile di scambio termico sarà, quindi, l’irraggiamento. Esse emetteranno a prescindere dalla presenza della lastra opposta.

Irradiamento integrale e corpi grigi

Data l’estensione indefinita delle piastre, possiamo prescindere dalla superficie emittente e ragionare in termini di irradiamento integrale J (potenza raggiante emessa per unità di superficie). Come ulteriore ipotesi, consideriamo le due lastre come corpi grigi: in questo caso avremo che a segnato = a = η = η segnato. Questi corpi hanno dei coefficienti di assorbimento spettrale e di emissività spettrale costanti qualunque sia la lunghezza d’onda considerata.

Regime stazionario

Facciamo sì che il regime sia stazionario, ossia forniamo di una certa quantità di potenza specifica q’ la lastra a temperatura T₁ e sottraiamo la quantità q’ alla lastra alla temperatura T₂, con T₂ < T₁. Dovrà essere, per garantire la stazionarietà: q’ = q’ = q’₁₂.

Legge di Stefan-Boltzmann

Tramite la definizione di emissività totale (η segnato = J/J₀) e la legge di Stefan-Boltzmann (J = 4σ T⁴), siamo in grado di esprimere la potenza raggiante emessa dalle due piastre in relazione alla loro temperatura (espressa in Kelvin):

• J₁ = η segnato J₀ = η segnato σ T₁⁴
• J₂ = η segnato J₀ = η segnato σ T₂⁴

Nel quale σ = 5.678 * 10^-8 W/m²K⁴ rappresenta la costante di Boltzmann.

Assorbimento della potenza

Poiché i corpi non sono neri, non tutta la potenza incidente verrà da essi assorbita, ma sarà in parte riflessa alla piastra emittente. A noi interessa quanta della potenza inviata dalla lastra 1 viene effettivamente assorbita dalla lastra 2, in modo da conoscere il flusso termico specifico al quale dovrà essere sottoposta la lastra 1 per garantire la stazionarietà. q’ sarà uguale alla potenza emessa dalla prima lastra meno ciò che non è assorbito dalla seconda lastra meno ciò che è emesso dalla seconda lastra ed è assorbito dalla prima.

Potenza specifica emessa e assorbita

Indichiamo con q’_12a la potenza specifica emessa dalla lastra 1 ed assorbita dalla 2 e con q’_21a la potenza specifica emessa dalla lastra 2 ed assorbita dalla 1. Avremo che q’_12a è pari alla potenza emessa dalla prima lastra (J₁) meno ciò che torna indietro poiché riflesso.

In generale, quindi, il “saldo termico” (flusso ter...