Il modello di Rasch

La scala di misura lineare e la sua non linearità nei punteggi

La scala di misura è lineare se l'unità di misura è costante per tutta la lunghezza della scala, in modo che intervalli identici corrispondano a quantità identiche della scala di misura. Tuttavia, la linearità della scala non è soddisfatta quando si lavora con i punteggi: i punteggi dei soggetti e degli item costituiscono una scala che solo in apparenza è ad intervalli.

Se un test è costituito, ad esempio, da 100 item dicotomici, un soggetto può conseguire un punteggio da 0 a 100 che varia con incrementi aritmetici uguali. Tuttavia, l'uso di questa metrica, che di fatto non è lineare, genera delle distorsioni per quanto concerne il posizionamento dei soggetti ai due estremi del continuum (Wright & Masters).

Infatti, anche se aritmeticamente la distanza tra i punteggi 50 e 55 è uguale alla distanza tra i punteggi 90 e 95, tali distanze non hanno lo stesso significato concettuale. La distanza tra le misure che corrispondono...

la (0.7) si ottiene: Pertanto, logit(X = 0) = -β + δvi vi Il modello di Rasch permette quindi di trasformare i punteggi in misure, rappresentate dai logit. Queste misure si collocano su un continuum lineare con unità di misura denominata logit. Il logit è un'unità di misura che deriva dal logaritmo del rapporto tra la probabilità di dare una risposta corretta e la probabilità di dare una risposta errata. Il logit mantiene lo stesso valore lungo tutto il continuum del tratto latente, permettendo così di creare una scala ad intervalli.

la(0.7) si ottiene: Pertanto, logit(X = 0) = -β + δvi v i L'uso di misure lineari su scala ad intervalli consente di trasformare, per mezzo di una funzione lineare, i valori delle stime. Dal momento che è la differenza β - δ che governa la probabilità della risposta corretta, è possibile aggiungere o sottrarre una qualunque costante ai diversi livelli di abilità dei soggetti e di difficoltà degli item senza incidere sulla relazione β - δ e quindi sulla probabilità della risposta incorretta. Da ciò segue che la scelta di dove posizionare l'origine 0 sul tratto latente è del tutto arbitraria. Ad esempio, è possibile posizionare lo 0 in modo tale che non si verifichino valori di difficoltà e di abilità di segno negativo, oppure in coincidenza dell'item più facile, oppure della persona meno abile, in corrispondenza dell'abilità.

media dei soggetti, ecc.

Esempio: trasformazione sulla dimensione della coesione del FES

Il Family Environment Scale di Moos et al. è un questionario per la misura dei vissuti familiari. La dimensione Coesione è una subscala con 9 item.

Vogliamo attribuire lo 0 al valore di stima più basso.

Trasformazione permissibile lineare crescente (ax + b), in cui a = 1 e b = 3.074

Lo scopo della trasformazione è di individuare misure per l'affettività degli item e l'atteggiamento dei soggetti che siano interpretabili a partire da un'origine 0 sulla dimensione del tratto comune (nell'esempio la Coesione) e quindi confrontabili.

La trasformazione lineare adottata consente di attribuire 0 al parametro più basso (nell'esempio δ = -3.074) e di mantenere immutato il sistema di relazioni tra le stime dei parametri, soddisfacendo in tal modo la proprietà dell'invarianza nella misurazione.

Si osserva infatti

corrette. La procedura di stima per item appaiati consiste nel confrontare le risposte di un item con le risposte degli altri item. In particolare, si calcola la differenza tra il numero di risposte corrette all'item considerato e il numero di risposte corrette agli altri item. Questa differenza viene chiamata "discrepanza". La stima dei parametri δ per ogni item viene ottenuta minimizzando la somma delle discrepanze al quadrato. In altre parole, si cerca di trovare i valori di δ che rendono le discrepanze il più piccole possibile. Una volta ottenuti i valori stimati dei parametri δ, si possono calcolare i punteggi stimati per ogni soggetto e per ogni item. Questi punteggi stimati rappresentano una stima delle abilità dei soggetti e delle difficoltà degli item. È importante notare che la procedura di stima per item appaiati assume che le abilità dei soggetti e le difficoltà degli item siano distribuite secondo una distribuzione normale. Inoltre, questa procedura è basata sull'ipotesi che le risposte degli item siano indipendenti tra loro. In conclusione, la procedura di stima per item appaiati è una tecnica utilizzata per stimare i parametri δ che rappresentano le difficoltà degli item in un test di valutazione delle abilità. Questa procedura permette di ottenere stime accurate delle abilità dei soggetti e delle difficoltà degli item, assumendo che le risposte degli item siano indipendenti e che le abilità dei soggetti e le difficoltà degli item siano distribuite secondo una distribuzione normale.

errate. Se un soggetto ha un punteggio estremo allora possiamo dire che è troppo abile (se ha risposto correttamente a tutti gli item) oppure troppo poco abile (se ha risposto in maniera errata a tutti gli item) ma non possiamo localizzare con precisione il suo livello di abilità sulla scala di misura. Similmente, se un item ha un punteggio estremo allora possiamo dire che è troppo facile (se ha ricevuto soltanto risposte corrette) oppure troppo difficile (se ha ricevuto soltanto risposte errate) ma non possiamo localizzare con precisione il suo livello di difficoltà sulla scala di misura.

Esempio: Nell'ambito di una prova olimpica di salto con l'asta, se il 10% degli atleti riuscisse a superare la sbarra posta a 6.10 m si potrebbe affermare che la difficoltà di saltare quell'asta deve essere compresa tra l'abilità media del 10% degli atleti che superano la sbarra e l'abilità media del 90% di quelli che non riescono a

superarla. Se invece nessun atleta riuscisse a superare una sbarra posta a 6.50 m sarebbe impossibile valutare e localizzare la difficoltà di saltare a quell'altezza mettendola in rapporto all'abilità media degli atleti. Si saprebbe con certezza che l'altezza dell'asta è tale da rendere troppo difficile superarla, ma non si saprebbe quanto difficile.

La localizzazione teorica di soggetti e item con punteggio estremo sulla scala di misura è + o - infinito. Soggetti e item con punteggio estremo non rientrano nella stima dei parametri e devono essere eliminati. La loro eliminazione è un processo iterativo: dopo aver eliminato un soggetto/item con punteggio estremo, un altro soggetto/item potrebbe avere punteggio estremo.

Esempio:

Si considerino le seguenti risposte fornite da un campione di 10 soggetti ad un test composto da 6 item:

L'item I ha ricevuto soltanto risposte errate. Pertanto, deve essere eliminato.

In seguito...

all'eliminazione dell'item I, il soggetto 3 ha soltanto risposte corrette agli item rimanenti. Pertanto, deve essere eliminato. In seguito all'eliminazione dell'item I e del soggetto 3, non sono presenti altri item o soggetti con punteggi estremi. Per quanto sia teoricamente impossibile localizzare punteggi estremi intorno a un valore finito sull'ascala di misura della variabile, per alcune procedure di stima dei parametri sono stati proposti diversi approcci per dare loro collocazioni plausibili (Wright, 1998). Questi approcci consistono nel sottrarre (se il punteggio estremo è massimo) o aggiungere (se il punteggio estremo è minimo) una piccola quantità (ad es., .03) al punteggio estremo. Esempio: Nell'esempio precedente, la difficoltà dell'item I può essere stimata in un valore finito considerando un punteggio totale di 0.3 anziché 0. La stima per item appaiati consente di stimare i parametri degli item. Si fonda.sulla proprietà dell'indipendenza condizionale, caratteristica del modello di Rasch. Vengono esclusi dall'analisi i soggetti e gli item con punteggi estremi. Dati due item, i e j, le equazioni su cui si fondano le stime dei parametri δ e δ sono rispettivamente:

dove: p è la probabilità che l'item i sia "corretto" e l'item j sia "sbagliato" (dato il totale r = 1)

- ij vp è la probabilità che l'item j sia "corretto" e l'item i sia "sbagliato" (dato il totale r = 1)

- ji v

Esempio:

Stima appaiata dei parametri degli item I e I su un campione di 40 persone.

1 2

Riassumiamo i dati in una tabella di contingenza 2 × 2:

Ci sono 16 soggetti che hanno risposto in maniera corretta a entrambi gli item (r = 2) e 9 soggetti che hanno risposto in maniera sbagliata a entrambi gli item (r = 0).

Al fine di misurare la difficoltà relativa dei due item, questi soggetti non

apportano alcuna informazione perché per loro il test costituito dai due item I e I è troppo facile o troppo difficile. Al contrario, se si considerano i soggetti che hanno superato solo uno dei due item (r = 1) si potrà stabilire la difficoltà relativa di I e I. L'item I ha 10 risposte corrette rispetto a I, cioè 10 persone rispondono in modo corretto a I e 1 sbagliato a I. L'item I ha 5 risposte corrette rispetto a I, cioè 5 persone rispondono in modo corretto a I e 2 sbagliato a I. L'item I è dunque meno difficile dell'item I. La somma delle risposte corrette a I rispetto a I e a I rispetto a I è: 10 + 5 = 15. Confrontando i parametri dei due item si ottiene: che equivale a: Il rapporto si può riscrivere come: e quindi: Distinguendo per i due parametri si ottiene: Ponendo la restrizione: si può risolvere per la stima dei due parametri. Come già osservato, l'item I(δˆ = −.345) è meno difficile dell'item I (δ ˆ = .345).
Inoltre, come previsto dalla restrizione posta δˆ + δˆ = 0, −.345 + .345 = 0.
Esempio 2
Dati tre item: I , I , I
Ad esempio, il valore 10 associato a I + e I − significa che I ha ricevuto 10 risposte corrette
rispetto a I .
Per l'item I i due confronti che consentono di stimare δ riguardano I rispetto a I e I rispetto a I .
Ponendo la restrizione:si può risolvere per la stima del parametro δ :
Per l'item I i due confronti che consentono di stimare δ riguardano I rispetto a I e I rispetto a I .
Distinguendo per i tre parametri si ottiene:
Ponendo la restrizione:si può risolvere per la stima del parametro δ :