Geometria - esercizi svolti

ESEMPIO: 1

U = { (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁ − x₃ = 0 }

W = { (y₁, y₂, y₃) ∈ ℝ³ | y₁ − y₂ = 0 }

U ∩ W

x ∈ U ∧ x ∈ V

∀ x (x₁, x₂, x₃)

{ x₁ = x₃

{ x₁ = x₂

⇒ x₁ = x₂ = x₃

U ∩ W = { (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁ = x₂ = x₃ }

ESEMPIO:

ℝ₂[x]

U = { p(x) = e₀ + e₁x + e₂x² ∈ ℝ₂[x] | e₂ = 0 }

W = { φ(x) = b₀ + b₁x + b₂x² ∈ ℝ₂[x] | φ(0) = 0 }

U ∩ W = { p(x) = e₀ + e₁x + e₂x² ∈ ℝ₂[x] | e₂ = 0 ∧ e₀ = 0 }

= { e₁x | e₁ ∈ ℝ }

(x + h)² / 4 + (y + 1)² / 4 = 1

x + h → x

y + 1 → y

Per tanto:

x² / 4 + y² = 1

Forma metrica

LIVELLO AFFINE:

x² + y² = 1

x + y + k = 1

y - k = 0

-x + 2y + 7k = 1

x + y = 1 - 6k

y = -k

x = 5/2 - 1

y = -1/2

elimino k a dx

-x = 1 - 6k + k

{ x = 5/2 - 1 y = -z }

5 = 5/2(5/2 - 1, -2, z) = z

V = ℝ³

dim V = 3

v₁ = (2, 0, 1) v₂ = (1, 1, 2) v₃ = (3, -1, 0)

v₃ è c. lin. -> dipendenti

U = <v₁, v₂, v₃> = il più piccolo sottospazio vettoriale

contenente v₁, v₂, v₃

Algebra/geo da due <v₁, v₂, v₃> sono stesso ciò pensa del poligraffo

1 -> sono generatori? sono lin. indipendenti?

2 verificare in caso negativo quale serie l. lin. dipendenti?

{v₁, v₂, v₃} genererà U

λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃ = 0

(2λ₁ + λ₂ + 3λ₃, λ₂ - λ₃, λ₁ + 2λ₂) = (0, 0, 0)

• { 2λ₁ + λ₂ + 3λ₃ = 0
• λ₂ = λ₃
• λ₁ = -2λ₂

• { - λ₂ + λ₃ = 0
• λ₂ = λ₃
• λ₁ = -2λ₂

λ₁, λ₂, λ₃ -> lin. dipendenti: per ogni λ₂

v₁, v₂, v₃ sono combinazione lineare di uno di loro.

U₁ ∩ U₂

(a b)

(c d) ∈ U₁ ∩ U₂ ⇔

• a = -3b + 4c
• d = 0
• e = 0
• e = 3d
• b = -hc

• d = 0
• e = 0
• 2c + 4c =0
• b = -hc

• d = 0
• e = 0
• c = 0
• b = 0

Pertanto: che qualsiasi buona istruzione

considere delle musica nelle

(0 0)

∈ U₁ ∩ U₂

U₁ ∩ U₂ = { (0 0) }

Ovviamente dim_{U₁ ∩ U₂} = 0

confianfiano i generatii e radio interni ed orto

costituiamo il altzopato: somme

U₁ + U₂ = { S = A + B ; A ∈ U₁ , B ∈ U₂ }

U₁ = {

• a₁c₁ - 3b₁
• (c₁ d₁)
• (c₁ 0)

}

U₂ = {

• (3a₂ -4c₂)
• (c₂ d₂)

}

x₁ = 2

x₂ = 3

x₃ = 4

ε ∈ ℝ₂

(x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 1

2x₁ + x₂ - 2x₃ = 3

3x₂ + x₂ + x₃ = 5

|A| =

| 1 -2 3 |

| 2 1 -2 |

| 3 -4 1 |

= 1 + 12 - 6 - 9 - 2 + 4 = 0

Non è determinante

A =

| 1 -2 3 |

| 2 1 -2 |

| 3 -4 1 |

A^t =

| 1 -2 3 |

| 2 1 3 |

| 3 -2 1 5 |

det A^t =

| 1 -2 1 |

| 2 1 3 |

| 3 -4 5 |

= 5 - 18 - 2 - 3 + 3 + 20 =

Poiché rango A^t = 3

ma rango A = 2

Pertanto il sistema è incompatibile per il Teorema di Rouché-Capelli.

esercizio

5x + 2y + z - 2 = 0

P(1, 0, 1)

verifica se

1. x = y - 2
2. z = 2y

condizioni une

retta s che passa perf

e… il ortogonale ad r.

E determina le

minime distante

tra r e s

verifica due re s sono due x del piano

delle

determina che minimo distante. tra r e s

x = -2 + 1

punto x = 1, 1, 2

e' normale al piano? GM m

punto s = (1, 2)

punto r = (1, 2, 1)

1. 1/5 = punto x . punto 2 = 0

punto r . punto s

punto s . punto s = 0

punto l + punto z m + n = 0

(m = m = 0

l + m + 2m = 0 l - 3m

punto

r S H = ( - M )

punto generale

s nehme u = 1

^puntos = (-3, 1, M)

1. -1 - 3
2. y - + L = 0
3. 1 + L

eq, corte

x + 3y -1 = 0

Z - y - 1 = 0

P =

x = P x'

⇒

{

x = x' ¹/_√2 + ¹/_√2 y'

y = ¹/_√2 x' - ¹/_√2 y'

Andiamo e sostituire nelle coniche rettificidi:

• ⁵/₂ x² + ¹/₂ y² + x¹ y¹

+ ⁵/₂ x' x²

- ⁶/₂ x'² - ¹/₂ y'²

+ 16 √2 ( ¹/_√2 x' + ¹/_√2 y' ) + 32 = 0

=

• 10 x² + 16 y'²
• - 3x² + 3y¹² + 16 x' + 16 y' + 32 = 0

2 x² + 8 y'² + 16 x' + 16 y' + 32 = 0

NOTA:

stavo divoluiamo le realizazioni

• x'² + 4 y'² + 8 x' + 8 y' + 16 = 0

Dovremo ricore per il compito elementi, gli algebrai:

{ ( x - x₀ )²/_a² + ( y' - y₀ )²/_b² = 1

• ( x + 4 )²
• + 5 ( y'² + 2 y' + 1 ) - 4 = 0

( x + 4 h )²/₄ + k ( y' + 1 )² = 4k

=