Geometria riscritta

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

GEOMETRIA → tentativo di classificare oggetti a mezzo di certe trasformazioni

ALGEBRA → studio di campi di numeri () e delle strutture

OGGETTI GEOMETRICI LINEARI → rette, piani e oggetti di dimensioni superiori

OGGETTI ALGEBRICI LINEARI → polinomi di grado 1

Questi due concetti sono uniti che non sistema di riferimento nel piano cartesiano

COSTRUZIONE DI NUMERI NATURALI

IN = {0, 1, 2, …}

È definita l'operazione di SOMMA +: IN × IN → IN (m, n) → m+n

che è BINARIA e INTERNA su IN.

PROPRIETÀ SOMMA IN IN

• G1 → ELEMENTO NEUTRO 0: ∀m ∈ IN, m+0 = m
• G3 → ASSOCIATIVA ∀m, n, k ∈ IN, (m+n)+k = m+(n+k)
• G4 → COMMUTATIVA ∀m, n ∈ IN, m+n = n+m

Tuttavia posso m ∈ IN l'equazione x+m=0 ha soluzione su IN se e solo se m=0 (e x=0 quindi); perciò in IN non è possibile risolvere le equazioni

In generale, per questo si estende IN nell'insieme degli interi Z.

COSTRUZIONE DI NUMERI INTERI RELATIVI

SOMMA IN Z

Z = {0, 1, -1, 2, -2, …} ammette l'operazione BINARIA e INTERNA di:

SOMMA: Z × Z → Z

PROPRIETÀ SOMMA IN Z

• G1 → ELEMENTO NEUTRO
• G2 → ELEMENTO INVERSO
• ‍‍‍ Z: ∴‍‍‍: Z′ ∈ Z : z + z′ = 0
• G3 → ASSOCIATIVA
• G4 → COMMUTATIVA

Definizioni di gruppo

Gruppo ➔ Struttura algebrica data da un insieme G e da un'operazione*: G × G → G (per la precisione un ternario alzato di G, * è l'elemento neutro 0)tali in cui valgono le seguenti Proprietà:

1. Elemento neutro I.e: ∀ g ∈ G, g * I = g = I * g
2. Elemento inverso ∀ g ∈ G, ∃ j ∈ G: g * j = j * g = I
3. Associativa ∀ g, j, k ∈ G, (g * j) * k = g * (k * j)

Se vale anche (34) allora il gruppo si dice Abeliano o Commutativo

4. Commutativa ∀ j, h: j * h = h * j

In particolare (Z₊, 1) è un gruppo abeliano

Cardinalità di un insieme

La Cardinalità indica la numerosità (n° di elementi) di un insieme. La cardinalità diun insieme A è ≤ di quella di un insieme B se esiste una funzione iniettivase A → B, rimpicci A ha necessariamente un numero di elementi minore ouguale a B.

Vogliamo dimostrare che la cardinalità di N è quella di Ζ (#N = #Z)Quindi dobbiamo trovare due funzioni numerico f: N → Z e g: Z → N

Definiamo f(m) = m (m elementi che si corrispondono attraverso di) uno con precisionedefiniamo g(z) = z punti i numeri relativi negativi di Z in N (i.neg) in N

Quindi poniamo:{g(z) = 2z - 1 se m > 0{g(z) = 2|z| se m ≤ 0

g: g(0,0) g(1,1) g(-1,2) g(2,3) ...

Che è una p. mostra precisa il vero che #N = #Z

Prodotto in Z

Il Prodotto (.) è un'operazione binaria e interna a Z

P.E.A. ASSURDO

Per dimostrare una proposizione P la si suppone falsa e si segue un'ipotesi o un fatto noto condurre un assurdo.

Esempio. Vogliamo dimostrare che esistono infiniti numeri primi.

DIM. Supponiamo che non lo siano:

P = {p₁, p₂, p₃, ..., p_n} dove p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, ...

Definite la moltiplicazione: Π (j=1) 1·2·3·...·n = n!

Costruiamo il numero β

β = (Π_j=1ⁿ p_j) + 1

Dividendo β per un qualsiasi n^esimo primo p_j ottengo sempre il resto 1 (ossia β = (2·3·5·7·...·p_n) + 1) , ne deduciamo β non è divisibile per nessun numero primo, quindi β è primo per non appartenente a P.

Che osserva racchiude tutti i primi che sono quindi infiniti.

STRUTTURA ALGEBRICA DEI POLINOMI

Fissato un campo K definiamo come sopra lo SPAZIO DEI POLINOMI a coefficienti su K e aventi rispettato: (ad esempio potrebbe K = R)

R[X] = {a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_mx^m ∈ M, a_j ∈ R}

= {∑ a_j x^j : ∈ N, a_j ∈ R } = (i coefficienti cj mentre fa sommare k ∈ N)

= {∑ a_j x^j : a_j ∈ R, ∃ N ∈ N, ∀ j > N, a_j = 0}

L'ultima scrittura sufficiente che per ogni esponente j > j di un certo valore N il coefficiente dell'esponente è nullo, provvedendo sul insieme delle soluzioni degli elementi trattante all'infinito.

Si definisce GRADO DI UN POLINOMIO deg(p(x)) = max{i ∈ N : a_i ≠ 0 }

ossia l'esponente massimo del polinomio avente coefficiente non nullo. Per definire se p(x) ≡ 0 il quale è -∞ o -1.

Rappresentazione cartesiana

Ogni complesso z = a+ib può essere interpretato come punto (a, b) o vettore (che origina da 0) del piano complesso o piano di Gauss ℝ² = ℂ

Per z = x + i y si ha il seguente rapporto delle coordinate, tanto che z ℂ

Somma fra complessi (f: (ℂ x ℂ → ℂ))

Definiti z = a+ib e w = c+id, il complesso somma z+w si ottiene nel piano come somma di vettori secondo le regole del parallelogramma, di cui è la diagonale maggiore.

Prodotto fra reale e complesso (f: (ℝ x ℂ → ℂ))

Definito λ (a + ib) = (λa) + i (λb) con λ ∈ ℝ

• z = a+ib ∈ ℝ² = ℂ
• Quindi il prodotto λ ∙ z dà per risultato un complesso che è il dilatato di z di un fattore λ.
• Se 0 < λ ≤ 1 si ha una contrazione
• Se λ < 0 il vettore cambia verso.

Proprietà delle operazioni (f: (ℂ x ℂ → ℂ) e f: (ℝ x ℂ → ℂ))

• (+) dà struttura di gruppo abeliano
• ∀ λ, μ ∈ ℝ, ∀ v ∈ ℝ² = ℂ vale che (λ + μ) ∙ v = λv + μv
• v ∈ ℝ² = ℂ, ∀ w ∈ ℝ² vale che z ∙ (μ ∙ v) = λv + λw
• ∀ λ, μ ∈ ℝ, ∀ v ∈ ℝ² vale che λ ∙ (μ ∙ v) = (λ ∙ μ) ∙ v
• ∀ v ∈ ℝ², 0 ∙ v = o⁰
• ∀ v ∈ ℝ², 1 ∙ v = v

(x₁, y₁, z₁) = P = OP→ = v→ = P - O = v

Queste corrispondenze si notano nelle operazioni:

Intesa Operazioni con Punti

Somma

• (x₁, y₁, z₁) + (x₂, y₂, z₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)
• λ(x₁, y₁, z₁) = (λx₁, λy₁, λz₁)

Intesa Operazioni con Vettori

• v₁ + v₂ = diagonale del parallelogramma di lati v₁, v₂
• λv è il vettore risultante ottenuto se contenuto v (se λ > 0) o il suo opposto -v (se λ < 0).

Rette in R³

Posso un'equazione individuata dal vettore v→ = OP←

Vogliamo trovare la retta passante per P₀ e parallela a v passante per OP₀ p₁, ovvero passione, indotta in s, dove tutti i possibili vettori di tutte le p denziane ottienti notazione. Il contenuto OP→

Traslare questa retta di OP₀ su SCR

OP→ = OP₀→ + s OQ→

Piani in R³

Vogliamo trovare il piano passante per P₀ e parallelo alle due direzioni v₁ = oqd e v₂ = odq

Scriviamo piane di passaggio parallelo e passante, chi o det, dobbiamo essere ori di tutti passione per il dovuto generare tutti i possibili vettori s₁, OQ→ e s₂, dQ→ Traslare di OP₀, o otteniamo

OP→ = OP₀→ + s₁ OQ→ + s₂ ⃗OD₂ con s₁, s₂ ∈ R