Geometria riscritta

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

GEOMETRIA → tentativo di classificare oggetti a mezzo di certe traslazioni

ALGEBRA → studio di campi di numeri (ℝ, ℂ, ℚ, ℤ) e delle strutture

OGGETTI GEOMETRICI LINEARI → rette, piani e superfici di dimensioni superiori

OGGETTI ALGEBRICI LINEARI → polinomi di grado 1

Questi due concetti sono uniti da una sistema di riferimento nel piano cartesiano.

COSTRUZIONE DI NUMERI NATURALI

ℕ = {0, 1, 2, ... }

È definita l'operazione di SOMMA +: ℕ x ℕ → ℕ (m, n) ↦ m+n

che è BINARIA e INTERNA sul ℕ.

PROPRIETÀ SOMMA IN ℕ

• G1 ELEMENTO NEUTRO ∃0 : ∀m ∈ ℕ, m+0 = m
• G3 ASSOCIATIVA ∀m, n, k ∈ ℕ, (m+n)+k = m+(n+k)
• G4 COMMUTATIVA ∀m, n ∈ ℕ, m+n = n+m

Tuttavia, preso m ∈ ℕ, l'equazione x+m=0 ha soluzione in ℕ se e solo se m=0 (e x=0 quindi); perciò in ℕ non è possibile risolvere le equazioni di l generale, per questo si estende i ℕ all'insieme degli interi ℤ.

COSTRUZIONE DI NUMERI INTERI RELATIVI

SOMMA IN ℤ

ℤ = {0, 1, -1, 2, -2, ... }

ammette l'operazione BINARIA e INTERNA di SOMMA: ℤ x ℤ → ℤ

PROPRIETÀ SOMMA IN ℤ

• G1 ELEMENTO NEUTRO
• G2 ELEMENTO INVERSO
• G3 ASSOCIATIVA
• G4 COMMUTATIVA

∀ ∈ ℤ, ∃ - ∈ ℤ : + (-) = 0

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

GEOMETRIA - tentativo di classificare oggetti a mezzo di certe trasformazioni.ALGEBRA - studio di campi di numeri (R, Rn, ...) e altre strutture.

OGGETTI GEOMETRICI LINEARI - rette, piani e oggetti di dimensioni superiori.OGGETTI ALGEBRICI LINEARI - polinomi di grado 1.

Questi due concetti sono uniti da un sistema di riferimento nel piano cartesiano.

COSTRUZIONE DI NUMERI NATURALI

IN = {0, 1, 2, ...}

È definita l'operazione di SOMMA: IN x IN → IN (m, n) → m+nche è BINARIA e INTERNA su IN.

PROPRIETÀ SOMMA IN IN

• 1 ELEMENTO NEUTRO ∃ 0 : ∀ m ∈ IN, m + 0 = m
• 3 ASSOCIATIVA ∀ m, n, k ∈ IN, (m + n) + k = m + (n + k)
• 4 COMMUTATIVA ∀ m, n ∈ IN, m + n = n + m

Tuttavia, preso n ∈ IN l'equazione x + n = 0 ha soluzione in IN se e solo se n = 0 (e x = 0 quindi) e quindi in IN non è possibile risolvere le equazioni.In generale, per questo si estende IN nell'insieme degli interi Z.

COSTRUZIONE DI NUMERI INTERI RELATIVI

SOMMA IN Z

Z = {0, 1, -1, 2, -2, ...} ammette l'operazione BINARIA e INTERNA di SOMMA: Z x Z → Z

PROPRIETÀ SOMMA IN Z

• 1 ELEMENTO NEUTRO
• 2 ELEMENTO INVERSO
• 3 ASSOCIATIVA
• 4 COMMUTATIVA

∀ z ∈ Z, ∃ ˜z ∈ Z : z + ˜z = 0

DEFINIZIONE DI GRUPPO

GRUPPO (G, *):

Struttura algebrica data da un insieme G e da un'operazione * : G x G → G (per la precisione una terna oltre o, o è l'elemento neutro 0) tale che

in cui valgono le seguenti PROPRIETÀ:

1. ELEMENTO NEUTRO ∃ e : ∀ g ∈ G, g * e = e * g = g
2. ELEMENTo INVERSO ∀ g ∈ G, ∃ ĝ ∈ G : g * ĝ = ĝ * g = e
3. ASSOCIATIVA ∀ g, l, k ∈ G, (g * l) * k = g * (l * k)

Se vale anche

4. COMMUTATIVA ∀ g, h ∈ G, g * h = h * g

allora il gruppo si dice ABELIANO o COMMUTATIVO

In particolare (_Z, +) è un gruppo abeliano

CARDINALITÀ DI UN INSIEME

La CARDINALITÀ indica la numerosità (n° di elementi) di un insieme. Lo cardinalità di un insieme A è ≤ della cardinalità di un insieme B se esiste una funzione iniettiva A → B, infatti A ha necessariamente un numero di elementi minore o uguale a B.

Vogliamo dimostrare che la cardinalità di _N = a quella di _Z (#N = #Z)

Quindi dobbiamo trovare due funzioni iniettive f : _N → _Z e g : _Z → _N

Definiamo f(n) = n (n°elementi che va ad corrispettivo esatto) uno con possono definire g(z) = z vale il numeri relativi negativi già in _N (se f(-z) = -2 che 7 già in _N)

Quindi possiamo:

{ g(z) = 2z - 1 se z > 0 g(z) = 2 |z| se z ≤ 0

g(z) = g(-1) = 2, g(1) = 2 g(uz) 3=1

che è una b., mostra, pertanto v.: vero che #N = #Z

PRODOTTO IN Z

Il prodotto (.) è un'operazione BINARIA e INTERNA a _Z

Proprietà del prodotto in ℤ

G₁