Geometria e Algebra - pratica di geometria analitica

∩ ⊥

t=(piano per P tc ⁄⁄α) (piano per P r)

α α

1 2

α = preso il fascio di piani improprio

1

α :x+2y-z+k=0 messo P in α

1 1

⇒

0+2-2+k=0 k=0 α :x+2y-z=0

1

α =

2 1 1 0 le prime due righe rappresentano i direttori di r

0 0 1

l m n

l=1 m=-1 n=0 w (1,-1,0)

α1

: x-y+k=0

α 2

passaggio per P 0-1+k=0 k=1

α : x-y+1=0

2 − + =

⎧ x y 1 0

t: ⎨ + − =

⎩ x 2 y z 0

4. PARTENDO DALL’ESERCIZIO 3 ⊥

Determinare l’equazione del piano π passante per P tale che π ⁄⁄ r e π α

α: x+2y-z-2=0 + =

⎧ x y 0 ⊥ ⊥

P(0,1,2) t: Nota se π ⁄⁄ r e π α si ha quindi r α

⎨ =

⎩ z 0 (1,2,-1)

I direttori sono: w α

v (1,-1,0) direttore di α 2

− −

x y z

1 2

−

π = =0 -x-y+1+3z-6=0

1 2 1

−

1 1 0

π: x+y+3z-7=0 − =

⎧ x 1 0

5. Dato α: x+y-2z-1=0 e la retta r: ⎨ + − =

⎩ y z 1 0

Determinare la retta t passante per Origine O (0,0,0) e tale che t ⁄⁄α e complanare con r

∩ (piano contenete r e O)

t=(piano passante per O e ⁄⁄α)

α α

1 2

= fascio improprio di piani x+y-2z+k=0 passa per O

α 1 0+0+0+k=0

α : x+y-2z=0

1

α = Fascio di piani contenete r e passante per O

2 h(x-1)+k(y+z-1)=0

hx-h+ky+kz-k=0 passaggio per O

0-h+0+0-k=0 h=-k per h=1, k=-1

x-1-y-z+1=0 x-y-z=0

+ − =

⎧ x y 2 z 0

t: ⎨ − − =

⎩ x y z 0

6. Sia r retta contenente A(1,1,0) e B(0,1,-1)

Sia s retta contenente C(2,1,1) e D(3,1,0) ⊥ ⊥

r e t s

Determinare la retta t passante per O origine e con t

⊥ ∩ ⊥

t=(piano per O origine r) (piano per O s)

α α

1 2

direttori di r ed s

AB(-1,0,-1)=w1

CD(1,0,-1) =w2

: -x-z+k=0 per (0,0,0)

α 1 k=0 x+z=0

α : x-z+k=0 per (0,0,0)

2 k=0 x-z=0

+ =

⎧ x z 0

t: ⎨ − =

⎩ x z 0 − − =

⎧ x 2 y 1 0

7. Determinare la retta r passante per P(1,1,1) complanare con s: e tale che

⎨ − =

⎩ 3 y z 0

− − =

⎧ x y 1 0

⊥

r t con t di eq. t: ⎨ − + =

⎩ 2 x z 3 0

∩ ⊥

r=(piano di O contenete s) (piano per P e t)

α α

1 2

α 1 h(x-2y-1)+k(3y-z)=0 metto P

h(1-2-1)+k(3-1)=0 per h=k=1

-2h+2k=0 h=k si ha: x+y-z-1=0

α 2 −

1 1 0

− le prime due righe sono i direttori di t

2 0 1

l m n

l=1, m=1, n=2 direttori (1,1,2)

x+y+2z+k=0 per (1,1,1)

1+1+2+k=0 k=-4

+ + − =

⎧ x y 2 z 4 0

⎨ + − − =

⎩ x y z 1 0

− = + − =

⎧ ⎧

x z 0 x z 1 0

8. Date le rette sghembe r: e s: e P(1,1,0)

⎨ ⎨

− = − =

⎩ ⎩

y 2 0 y 3 0

Determinare la retta t passante per P e complanare con r e s

∩

t=(piano contenente P e r) (piano contenente P e s)

α

α 1 2

α :

1 h(x-z)+k(y-2)=0 P(1,1,0)

h-k=0 h=k per h=1, k=1

x-z+y-2=0

α :

2 h(x+z-1)+k(y-3)=0 P(1,1,0)

∀

h(0)-2k=0 h

: x+z-1=0 preso h=1, k=0

α 2

+ − − =

⎧ x y z 2 0

t: ⎨ + − =

⎩ x z 1 0

9. La retta r passante per i punti A(1,0,1) B(1,1,0) e α piano di equazione x+2y+z-1=0

a) ⊥

Trova il piano contenente r e tale che r α

Direttori di AB(0,1,-1)

=

⎧ x 1 =

⎧

⎪ x 1

r: Wα(1,2,1)

⎨

⎨ =

y t = −

⎩ z 1 y

⎪⎩ = −

z 1 t

π contiene r ed A(1,0,1)

− −

x 1 y z 1

− = 3(x-1)-y-(z-1)=3x-3-y-z+1=0 3x-y-z-2=0

0 1 1

1 2 1

b) ⊥

Trovare la retta passante per C(1,1,1) t r t ⁄⁄α

⊥ ∩

t=(piano per C r) (piano per C ⁄⁄α )

α α

1 2

α wr(0,1,-1) C(1,1,1)

1 y-z+k=0 0+k=0

α y-z=0

1

α C(1,1,1)

2 α (1,2,1)

x+2y+z+k=0

1+2+1+k=0

K=-4

:x+2y+z-4=0

α 2 + + − =

⎧ x 2 y z 4 0

t: ⎨ − =

⎩ y z 0

c) γ γ γ

⊥

Determinare il piano contenete C(1,1,1) α e ⁄⁄ r

wα(1,2,1)

AB(0,1,-1)

− − −

x 1 y 1 z 1

γ = -3(x-1)+(y-1)+(z-1)=0

1 2 1

−

0 1 1 -3x+3+y-1+z-1=0

3x-y-z-1=0