Geometria e Algebra - determinante di matrici quadrate con incognite

Determinare per quali valori di "k" il determinante delle seguenti matrici è nullo.

     

1 0 1 0

1 0 −1 −1

−1

1. A= = 0 1 0 1

0 1 −k −k

=

−k

1 0 0 1 0 0 0

−k −k

Si è operato nel seguente modo:

Metodo di eliminazione di Gauss:

Si è moltiplicata la prima riga per (-1) e poi si è addizionata all'ultima.

• Si è sottratta la seconda riga alla terza.

• 1∗1∗0=0

Il det A =

Soluzione: k può assumere qualsiasi valore, poiché non è vincolante ai fini della soluzione.

 

k 0 0

−1 ∣ ∣

k 0 −1 ∣ ∣ ∣ ∣

1 k 0 1 k k

−1 −1 −1 −1 −1

7

2. A= = = =

−1 1 k −k

−1 −1

1 k 2 1 k k k 2k

k k 2 k

k k 2 k 0

= = =

2 2

k k k 2 k

∣ ∣ k kk∣

− −1 −k∣k −1 −k −1∣ ∣k −k k∣−k∣2 −2

= = =

2 2 2 3 2 3

k k 2 k k k

∣2 −k ∣−k∣2 −k∣ −k −2 k −k

= 3

k

∣A∣ −k

Si è operato nel seguente modo:

Metodo di Laplace:

• Si è scelta la quarta colonna per la prima applicazione

• L'elemento 1 è in posizione a 34

• La somma di 3 e 4 da 7, dispari, il segno sarà meno.

• Il metodo viene riapplicato alla prima riga

• Si cambiano i segni poiché prima c'era (-1)

• La soluzione diventa elementare

Soluzione: il determinante è uguale a zero per k=0, k=1 e k=-1  

    1 0 k k

1 0 k k 1 0 k k 0 1 0 k

0 1 0 k 0 1 0 k −2

−2 −2

3. A= = = =

2

1 0 k 0 0

−k −k −k 0 0 k

−k −2

2 0 k 1 0 0 k 2 k 0 0 k 2 k

−1 −1

 

1 0 k k

0 1 0 k

−2

= 2

0 0 k

−k −2

2

0 0 0 k k

−2 2 −1

2

= = 3 2

k k k k k

∣A∣ −2 2 −1 −2 2 −k