Geometria analitica nello spazio, equazione parametrica della retta, distanza punto piano

Complementi di matematica

Geometria analitica nello spazio

Esercizi svolti

Equazione parametrica della retta

Distanza punto piano

Intersezione superficie sferica piano

Problema completo

Sono dati il punto P(2; -2; 0) e il piano α di equazione cartesiana: x + y - 3z + 3 = 0

1. Determina un sistema di equazioni parametriche della retta r passante per il punto P e perpendicolare al piano α. Trova il punto di intersezione H tra la retta r e il piano α.
2. Calcola la distanza del punto P dal piano α.
3. Considera la sfera di centro P e di raggio 3. Verifica che l’intersezione tra la superficie di questa sfera e il piano α è una circonferenza e trovane il raggio.

Soluzione

a. Il piano α ha vettore normale n̅(1; 1; −3), quindi la retta r passa per P e ha vettore direzione n̅.

• x = 2 + k
• y = −2 + k
• z = −3k

Per trovare H, sostituiamo le equazioni parametriche di r nell’equazione di α:

2 + k − 2 + k − 3(−3k) + 3 = 0 = k = −³/₁₁.

Quindi H(2 − ³/₁₁; −2 − ³/₁₁; ⁹/₁₁), cioè H(¹⁹/₁₁; −²⁵/₁₁; ⁹/₁₁).

b. d(P, α) = ^{|2 − 2 + 3|}/_{√(1² + 1² + (−3)²)} = ³/_√11 = ³/₁₁√11

Oppure possiamo calcolare PH:

PH = √((2 − ¹⁹/₁₁)² + (−2 + ²⁵/₁₁)² + (⁹/₁₁)²) = √⁹/₁₂₁ + ⁹/₁₂₁ + ⁸¹/₁₂₁ = ³/₁₁√11.

c. Poiché 3 > ³/₁₁√11, certamente l’intersezione tra la sfera e il piano α è un cerchio.

Rappresentiamo graficamente. Consideriamo la sezione massima della sfera, dove possiamo osservare che il raggio della circonferenza individuata dall’intersezione tra la sfera e il piano alfa è il segmento AH, che possiamo calcolare con il teorema di Pitagora: