Formulario Fisica 1 per Ingegneria

M.O.T.O. velocità costante

Nx = Nx₀ + Nvt.

Accelerazione costante

Nvₓ = Nvₓ₀ + at.

Xf = Xi + Vi t + ₁/₂ (Ni + Nf) at.

Xₚ = X₀ₚ + Nvi t + ₁/₂ a t²

Nvₓ² = Nvi² + 2 a (Xi – Xf)

Nyᵢ = Ny₀ + gt

yfi = y₀i + ₁/₂ (Ny₀ + N₂) gt

yfi = yi₀ + Nyi t + ₁/₂ gt²

Nyi² = Ny₀² + 2 g (yfⱼ – yi)

Moto proiettili

Nx -> Nx₀ = N cosθ -> x(t) = N₀ cosθ t

Ny -> Ny₀ = N sinθ -> y(t) = N₀ sinθ t – ^g/₀ t²

Xfi = Xi₀ + Nₓ t.

Yi = Yi₀ + ₁/₂ (Nyi + Ni) gt

Yf = Yi₀ + Ni t – ₁/₂ gt²

Nyi = Nyi₀ – gt

Nyi² = Nyi₀² – 2g (Yi – Yi₀)

h = ^N₀² sin²θ _2g

R = Nₓ = ^{2 Ni²} sinθ cosθ _g

Rmax = ^N₀² _g

M.O.T.O. velocità costante

X_f = X_o + N_xδ

Accelerazione costante

N_f = N_o + aδ

X_f = X_o + 1/2 (N_o + N_f) δ

X_f = X_o + N_oδ + 1/2 aδ²

N_f² = N_o² + 2a (X_f-X_o)

N_k = N_o + gδ

Y_k = Y_o + 1/2 (N_o + N_k) δ

Y_k = Y_o + N_oδ + 1/2 gδ²

N_f² = N_o² + 2g (Y_f-Y_o)

Moto proiettili

N_x = N_o = N cos Θ

N_y = N_o = N sin Θ

x(t) = N_o cos Θ δ

Y(t) = H + N_o sin Θ δ - 1/2 g δ²

X_f = X_o + N_x δ

Y_f = Y_o + 1/2 (N_yo + N_yf) δ

Y_f = Y_o + N_yo δ - 1/2 g δ²

N_yf = N_yo- gδ

N_yf² = N_yo² - 2g (Y_f - Y_o)

h = (N_o² sin²Θ) / 2g

R = X_f = (2N_o² sin Θ cos Θ) / g

R_max = N_o² / g

Moto circolare

a_c = ^v2⁄_R

w = ^2π⁄_T

T = ^2πR⁄_v

a_c = w²R

N = Rw

a_R = - ^v2⁄_R

a = a_R + a_T

Sistemi di forze

Leggi di Newton

1^o) Legge di Newton: (inerzia)

Se un corpo non interagisce con altri corpi si può trovare in un sistema di riferimento inerziale dove l'accelerazione è nulla. Un corpo si definisce in quiete se su di esso non agiscono forze quindi a_C=0, un corpo in moto invece procederà con velocità cost.

2^o) Legge di Newton:

∑F = mā

3^o) Legge di Newton; (azione reazione)

Se due corpi interagiscono tra di loro, la forza F₁₂ esercitata dal 1^o sul 2^o è uguale di intensità ma opposta di verso rispetto a F₂₁.

F₁₂ = - F₂₁

Tensione funi "casi"

ΣF_x=-T₁cosΘ₁+T₂cosΘ₂=0.

ΣF_y=T₁senΘ₁+T₂senΘ₂-F_P=T₃=0.

ΣF_y=T-mg=ma

T=ma+mg

ΣF_y=T-m₁g=m₁a

ΣF_y=m₂g-T=m₂a

m₁g-m₂g=m₁d/m

(m₂-m₁)/(m₂+m₁)g

(m₂g)m₂g=2T_A...m₂=m/2

T_B=2T_A+mg

ΣF_y=T-m₂g=m₁a

ΣF_x=m₂g·senΘ-T=m₂a...a=F = (m₁ + m₂) a

α = ^F/_Σm

ΣF_y = T cosθ - mg = 0

ΣF_x = T sinθ - ma_c = 0

F_C = T sinθ

R = raggio curva

ΣF_x = m a sinθ = m a_c

ΣF_y = m cosθ = mg

tanθ = ^V2/_Rg

1° ΣF = M_BASSO - mg = F_C

2° ΣF = mg - M_ALTO = F_C

ΣF_T = mg sinθ = ma_T → a_T = g sinθ

ΣF_R = T - mg cosθ = F_C

T = F_C - mg cosθ

In alto cosθ = -1

In basso cosθ = +1

Lavoro

(Trasferire energia fornendo una forza)

Lavoro: W = F · Δs + compiuto dal sistema - compiuto sul sistema

W = ∫_x0^x_F F · dx

[J] [N · m]

Molla

Legge di Hooke: F = - Kx

W_ness. = -¹/₂ Kx_i² - ¹/₂ Kx_f²

_z = ¹/₂ KX²

Periodo T = 2π √^m/_K

Pulsazione: W = √^K/_m

Velocità = √ ^k/m

Energia cinetica

K = ¹/₂ m · V²

W_est. = ΔK ----> K_f - K₀ = W_est.

Energia potenziale

U = mgh

W = ΔU ----> (esterno: U₀ - U₂ = + lavoro subito interno: U₂ - U₀ = + lavoro eseguito

U_molla = ¹/₂ KX₂²

Conservazione

Forze conservative

W_int = - ΔU

Lavoro non dipende dal percorso

Lavoro con percorso chiuso è nullo

Forze non conservative

E_mec = K + U

Entra in gioco l'attrito, dipende dal percorso il lavoro

Forze conservative

L'energia di un sistema si conserva se: ΔE_mec = 0 ΔK + ΔU = 0 → ΔK = - ΔU

Forze non conservative

Isolato: ΔK + ΔU + f_ad = 0

Non isolato: W = ΔK + ΔU + f_ad

Potenza

P = W/Δt

P = F · V

Legge oraria del moto

N = d_s / dt → d_s / dt = (N₀ + at)

d_s = (N₀ + at) dt

∫_s0^s ds = ∫_t0^t N₀ dt + ∫_t0^t at dt

s - s₀ = N₀ ∫ dt + a ∫ t dt = N₀ t + 1/2 a b²

s = s₀ + N₀ t + 1/2 a b²

Energia cinetica

W = ΔK → W = F ⋅ s

F = m ⋅ a = m dN / dt

W = ∫ F dx = ∫ m a dx = ∫ m dN

W = m ∫ dN = 1/2 mN₀² - 1/2 mN²

König

L'en. cin. di un corpo rigido è la somma dell'en. un trasl. e rot. rispetto ad em.

K = 1/2 mN_cm² + 1/2 I_cm W²

Quantità di moto

p = m V_F = _p/_t

Quantità di moto è una grandezza vettoriale, quindi si compone in 3D

Sistema isolato _Δpi = 0 → p_1o + p_2o = p_1f + p_2f

Sist. non isolato _Δpt = _Δpi = I → I = F Δt

Urti una dim

Perfettamente anelastico

_Δp = 0 → m₁V_1o + m₂V_2o = (m₁ + m₂)V_f

Elastico

K e p si conservano

m₁V_1o + m₂V_2o = m₁V_1f + m₂V_2f

¹/₂ m₁V_1o² + ¹/₂ m₂V_2o² = ¹/₂ m₁V_1f² + ¹/₂ m₂V_2f²

m₁ΔV_1o + m₂ΔV_2o = m₁ΔV_1f + m₂ΔV_2f

ΔV_1o - ΔV_2o = -(ΔV_1f - ΔV_2f)

Urti due dim.

^m₁N_ax + m₂N_2ax = m₁N_dx + m₂N_2dx

m₁N_ay + m₂N_2ay = m₁N_dy + m₂N_2dy

¹⁄₂m₁N_a² + ¹⁄₂m₂N_2a² = ¹⁄₂m₁N_d² + ¹⁄₂m₂N_2d²

Moto parabolico

h_max:

V_yo = V₀sinθ - gt → 0 = V₀sinθ - gt → t₂ = _V0sinθ/^g

s₁ = 0 + V₀sinθ t - ₁/² gt² → h = V₀sinθ _V0sinθ/^g - ₁/² g (_V0sinθ/^g)²

h = _V0²sin²θ/^2g

R:

R = x = 2s₁ → 6₂ = _V0sinθ/^g

R = V₀cosθ t = V₀cosθ 2_V0sinθ/^g = 2V₀²_sinθ/^g = _V0²sin2θ/^g

R_max:

2θ = 90° → θ = 45° → R_max = _V0²/^g a parità di velocità.

• Distanze uguali si raggiungono con angoli complementari ma in tempi diversi.

Moto rotatorio

Usare angoli in rad

L=Rθ

W=v_s=θ/δt

α=a_s/R

a_t=δv_s/δt

a_c=v²_s/R

W=v/R

a_c=v²/R

Accelerazione costante

W²_f=W²_s+2α(θ_f-θ_i)

θ_f=θ_i+W_st+½αt²

Momento di una forza

Γ=F⋅b

Γ=Iα

I=Momento d'inerzia. Tendenza di un corpo ad opporsi alla rotazione.

Momenti d'inerzia

Anello: MR²

Disco: ½MR²

Disco cavo: ½M(R²_o+R²_i)

Asta: 1/12 ML²

Lamina: ½M(R²₁+R²₂)

Sfera: 2/5 MR²

Sfera vuota: 2/3 MR²

Energia rotazionale

W=Γθ

P=L⋅W

L=Iw

W=½Iw²_f - ½Iw²_s

ΔK+ΔU_e=0

Δk+ΔU_e+L_d=0

Rotazioni "casi"

I_d = Fb -> F = ma = mg - T

I_d = Mg L/2

ΔK + ΔU = 0

(1/2 I_w ω² - 0) + (0 - 1/2 mg L) = 0

N_cm = L/2 ω

N_E = ω L

Δk + ΔU = 0

(1/2 m₁ N_g ℓ_c² + 1/2 m₂ N_R² + 1/2 I_w ℓ_c²) + (m₂ gh - m₂ g z_h) = 0

Σ τ = 0 -> m₁ g L_1,θ₁ cos θ + m₂ g L_2,θ₂ sen θθ = m Nóty (x^a)

ΔK + ΔU + ℓ d = 0

d/dt (ΔK + ΔU) = (ℓ d/d) d/d

m_g h₁ = m_gh ℓ_c cos θ - 1/2 I₀ω₀²

ω_h = √(3/2 (1 - 0)/ℓ_h)

Roto traslazione

K = ¹/₂ mV_cm² + ¹/₂ I_cmω²

K = ¹/₂ I_pω²

Momento angolare

L = mNVR

L = Iω

v =>ω =>L =

L =

C_i = ^L/_t

C_i = ^L/_i.d

Conservaz. momento angolare

• Il momento angolare totale di un sistema rimane cost. se il sistema è isolato

ΔL = 0

L_o = L_f

I₀ = I_cm = I_{m acom}/_R

M_cm = Mg sen0 - f_a → a_cm = g * sen0 - f_a / M

I_ws = I_wt

I_No = I_wt+= m d² (NF /= d)

Eq. statico

ΣF_i=0

Στ_i=0

Eq. "casi"

ΣF_i=0 → m - M_g - m₁g - m₂g = 0

Στ_i=0 → m₁g d₁ - m₂g l_i/2 = 0

ΣF=0 → ΣF_x=0 → R_xcosφ - T_xcosθ = 0

ΣF_y=0 → T_ysinθ + R_ysinφ - m_g - M_g = 0

Στ_x=0 → m₁a_g d₁ + M_g l_i/2 + T₂aQl = 0

ΣF_i=0 → ΣF_x=0 → P₁x = 0 → P₁ = Mg

ΣF_y=0 → m₁ - M_g = 0 → m = M_g

Στ_c=0 → P₁xQθ - M_g l₁/2 cosQθ = 0

Στ_i=0 → M_g L/2 = T₁L + T₁ L/3 → T_i = ...

T₂ = m_g + 2T₁

R_y=M_g - 2T₁

Termodinamica

NB: Usare Kelvin: 0°C = 273 K Usare m³: 1l = 0,001 m³ Usare pressione in Pascal: 1 atm = 1,013·10⁵ Pa Usare calore in Joule: 1 cal = 4,186 J Costante gas (R) = R = 8,314 J/mol

Dilatazione lin/vol

ΔL = α l₀ ΔT

ΔV = β V₀ ΔT

Gas perfetto

PV = nRT

C = capacità termica = Q/ΔT

Q = mcΔT = calore specifico

ΔE_int = Q - W

1° Principio T.D.

W = ∫P_iV > 0 compie < 0 subisce Espansione Adiabatica:

Q = 0 t --> 0; t = lungo

ΔE_int = -W

P_i > P_f

No scambio calor

W = 0 -> Se siamo all'aperto!

W_meccanico

ΔT Trasformazione Isobara:

P = cost. T_i = V_i T_f = V_f

W = P_fΔV

ΔE_int = Q_f - WP

Q = cm C_pΔT Trasformazione Isocora:

V = cost. T_i = P_i

W = 0

ΔE_int = Q Trasformazione Isoterma:

T = cost.

P₀V₀ = P_fV_f

ΔE_int = 0

Q = W

Q = nRT ln V_B / V_A

Gas monoatomico

Q_V = m c_V ΔT

ΔE_int = Q_V

Q_P = m c_P ΔT

ΔE_int = Q_P - W c_V = ³/₂ R c_P = ⁵/₂ R

Gas biatomico

c_V = ⁵/₂ R c_P = ⁷/₂ R

Trasformazione adiab.

Q = 0

PV^γ= cost

TV^{γ - 1}= cost

T_A V_A^{γ - 1} = T_B V_B^{γ - 1}

P_A V_A^γ = P_B V_B^γ

T_A P_A¹/₂ = T_B P_B¹/₂

γ = c_P / c_V

Macchine termiche

1) Principio T.D.:

• Non si può passare calore da un corpo più freddo a uno più caldo spontaneamente.

2) Principio T.D.:

• Non si può costruire una macchina che converta tutta l'energia in lavoro.

Macchina termica: _Tcalda ^Q_ass ^Q_{ced Tfredda}

η_reale = ^W/_Qass < 1

Q_ass = Q_ced + W

η_ideale = ^{T_C - T_F}/_TC < 1

Q_ass = ^{P . Δδ}/_η

Macchine termiche inverse

_Tcalda ↑ ^Q_ced o W ^Q_ass ↓ _Tfredda

Pompe di calore

ε_reale = ^|Q_C|/_W

ε_ideale = ^T_C/_{TC - TF}

W = Q_A - |Q_C|

Frigo

ε_reale = ^Q_F/_W

ε_ideale = ^T_P/_{TC - TF}

η = ^Q_C/_ε

W = [|Q_C| - Q_A]

Macchina di Carnot

Funziona grazie a azioni reversibili quindi max eff

2 isoterme

2 adiabatiche

Espansione isoterma AB:

Compressione isoterma CD:

Adiabatiche BC, DA_PV^γ = cost.

IP^1-x/x = cost

Trucchi

Usare sempre: PV = mRT

Combinare le equazioni