Homework completi elettromagnetismo

HOMEWORK N.1

Prerequisiti

A) Dato il vettore A = A_x i + A_y j + A_z k e il punto (66, 99, 132) m al punto (415.5, 138.6, 188.1) m determinare A_x, A_y, A_z

• A_x = 415.5 - 66 = 49.5 m
• A_y = 138.6 - 99 = 39.6 m
• A_z = 188.1 - 132 = 56.1 m

B) Dato il punto di coordinate cartesiane P(x, y, z) = (41.8408, -22.87194, 5.8817) m esprimere le due coordinate nel sistema cilindrico (r, φ, z)

r = √((41.8408)² + (-22.87194)²) = 47.49998 m

φ = arctan(y/x) = arctan(-22.87194/41.8408) = -0.49928746 rad

z = 5.8817 m

C) Dato il punto di coordinate sferiche P(r, θ, φ) = (45.5 m, 7.6461 rad, 5.5222 rad) esprimere le sue coordinate nel sistema cartesiano (x, y, z)

θ = arccos(z/r) = arccos(42.3602439/45.5) = 7.6461 rad

φ = arctan(y/x) = y - tan(φ)

r = √(x² + y² + z²)

D)

Dato il punto di coordinate cilindriche P(r, φ, z) = (14.5 m, 1.63363 rad, 41.75 m) esprimere le sue coordinate nel sistema cartesiano (x,y,z).

x = r cos φ = 14.5 cos (1.63363) = 0.910038843 m y = r sin φ = 14.5 sin (1.63363) = 14.4738359 m z = z = 41.75 m

E)

Determinare la distanza D tra i punti P₁ (23.5 m, 5.27888 rad, 43.4 m) e P₂ (43.25 m, 7.00351 rad, 86.1 m) espressi in coordinate cilindriche.

Trasformo i punti da coordinate cilindriche a cartesiane e calcolo la distanza. Vengono usate le formule note: x = r cos φ y = r sin φ z = z

P₁ = (23.30862505, -36.72816355, 43.4) P₂ = (23.64204932, 36.93359497, 86.1) P₁₂ = P₂ - P₁ = (0.13342427, 73.68575852, 42.8) D = √x² + y² + z² = 85.19846 m

F)

Dati i vettori A = 30 i + 60 j, B = 30.5 i + 60.5 j, C = 30.25 i + 60.25 j, determinare le componenti di D = A x B x C - A x (B x C)

A x B = i j k  30 60 0  30.5 60.5 0 = -1815 k ^ +1830 i ^ -15 j ^

B x C = i j k  30.5 60.5 0  30.25 60.25 0 = 1837.625 k ^ -1830.125 i ^ +7.5 j ^

(A x B) x C = i j k  0 0 -15  30.25 60.25 0 = -453.75 j + 903.75 i

E₂₃

Q₂ = r = r₂ - r₁ = 14.9 x̂ + 4.8 ŷ

4πε₀ πr |r|³ = [(14.9 x̂ + 4.8 ŷ)³] = 17.57.00800 m

E₁₃

4πε₀ 10 πr² m = (3.4 x̂ + 2.2 ŷ) = 1451.42669 x̂ + 164.128952 ŷ

x̂ + 132.007808

Per la sovrapposizione degli effetti

E_tot = 1451.42669 x̂ - 1631.93552 ŷ + 490.22852 ŷ μ

A risposta delle

F) Una distribuzione lineare di cariche di intensità p = 97.97599 μC/m è posta

in x = 5.816 m y = -10.152 m Determinare le componenti del campo

elettrico lungo tre assi cartesiani agente al punto P₃ (6.642, -23.989, 0.2)

m

E = 2πε₀ r p r 2πε |r|

r = [6.642 - 5.816) r + (-23.989 - 10.152) ŷ] -42.283 x̂ + 13.834 ŷ

Non considero z perché l è la distanza con la distribuzione

lineare

|r| = [√(42.283)² + (13.834)²] = 342.457513 m

E ₂

97.97599 10^-6 cm

2π 8.854 10^-12 μm 342.457513 m

E = (42.2832 + 13.834) x̂ + 63.196166 x̂ - 71.162545 ŷ

G) Due distribuzioni lineari di cariche identiche di intensità p = 160.11 μC/m

sono disposte in x = 0 y = 19.12 m e sono parallele all'asse z

Determinare le componenti lungo tre assi cartesiani del campo

elettrico agente sul punto P₃ = (3.51, 0, 400.1) m

E₁ = 2πε₀ r p r 2πε |r|

r = 3.51 x̂ + 19.12 ŷ

|r| = [√(3.51)² + (19.12)²] = 378.8945 m

E₁ = 160.11 10^-6 cm

2π 8.854 10^-12

F