Fondamenti sistemi dinamici - esercizi risolti

Esercizio 2

Si consideri il sistema non lineare descritto dalle seguenti equazioni:

31

ẋ = −x + x + x + u + 1

1 1 2

ẋ = x + x + u

2 1 2

y = x + x

1 2

2.1 Determinare il movimento di equilibrio associato all’ingresso costante u(t) = −1, ∀t, e

scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno ad esso.

Soluzione:

Ponendo a zero le derivate ẋ e ẋ con u(t) = −1, ∀t si ottiene il sistema di equazioni:

1 2 ( 31

−x̄ + x̄ + x̄ = 0

1 2

x̄ + x̄ − 1 = 0

1 2

da cui si ricava lo stato di equilibrio x̄ = 1, x̄ = 0. L’uscita di equilibrio corrispondente è

1 2

ȳ = 1.

Il movimento di equilibrio dello stato associato a u(t) = −1, ∀t, è

(

x (t) = 1

1 ∀t

x (t) = 0

2

Il movimento di equilibrio dell’uscita è y(t) = 1, ∀t.

Le equazioni del sistema linearizzato attorno al movimento di equilibrio calcolato sono

˙

∆x (t) = −2∆x (t) + ∆x (t) + ∆u(t)

1 1 2

˙

∆x (t) = ∆x (t) + ∆x (t) + ∆u(t)

2 1 2

∆y(t) = ∆x (t) + ∆x (t)

1 2

2.2 Valutare le proprietà di stabilità del movimento di equilibrio calcolato al punto 1.1.

Soluzione:

La matrice dinamica A del sistema linearizzato è:

· ¸

−2 1

A = 1 1

2

Il polinomio caratteristico di A è: det(λI − A) = λ + λ − 3. Gli autovalori di A sono quindi

√

λ = −1/2 ± 13/2. Dato che uno di essi è a parte reale positiva, allora il movimento di

1,2

equilibrio calcolato al punto 2.1 è instabile.

Esercizio 3

Si consideri il sistema lineare descritto dalle seguenti equazioni:

ẋ = −2x + x + u

1 1 2

ẋ = −3x + 3u (2)

2 2

y = x 2

3.1 Determinare l’espressione analitica del movimento dell’uscita del sistema (3) quando l’in-

gresso applicato è u(t) = 2, t ≥ 0, e x (0) = 0, x (0) = 1.

1 2

Soluzione:

Dato che y = x e il movimento della variabile di stato x non dipende da x , allora basta

2 2 1

risolvere l’equazione differenziale ẋ (t) = −3x (t) + 3u(t)

2 2

con u(t) = 2, t ≥ 0 e x (0) = 1. La soluzione è

2 Z t

−3t −3(t−τ ) −3t

y(t) = x (t) = e + e 6dτ = 2 − e , t ≥ 0

2 0

Esercizio 4

Si consideri un carrello di massa unitaria (m = 1) che si muove su di una guida rettilinea

orizzontale soggetto ad una forza F , in presenza di una forza di attrito F proporzionale alla

a

velocità del carrello, con costante di proporzionalità α > 0.

La posizione del carrello lungo la guida rettilinea è indicata con s.

4.1 Posto x = s e x = ṡ, si scrivano le equazioni nelle variabili di stato x e x del sistema

1 2 1 2

carrello con ingresso u dato dalla forza F e uscita y data dalla sua posizione s lungo la guida

rettilinea.

Soluzione: ẋ = x

1 2

ẋ = −αx + u

2 2

y = x

1

4.2 Posto α = 2, si determini l’espressione analitica del movimento libero dell’uscita del sistema,

a partire dalla condizione iniziale x (0) = x (0) = 2.

1 2

Soluzione: ẋ = x

1 2

ẋ = −2x + u

2 2

y = x

1

Calcoliamo prima il movimento libero della componente x risolvendo

2

ẋ = −2x , x (0) = 2.

2 2 2

Si ottiene: −2t

x (t) = 2e , t ≥ 0.

2

Sostituiamo questa espressione nell’equazione

ẋ = x

1 2

ottenendo l’equazione che governa l’evoluzione di x

1

−2t

ẋ (t) = 2e , x (0) = 2

1 1

Risolvendo questa equazione differenziale si ottiene:

Z t −2τ −2t

x (t) = 2e dτ + 2 = 3 − e , t ≥ 0,

1 0

da cui −2t

y(t) = x (t) = 3 − e , t ≥ 0.

1

Esercizio 5

Si consideri il sistema descritto dalle seguenti equazioni:

51

ẋ = −x − 2x + x + u

1 1 2

51

ẋ = x − x − u

2 2

y = x

1

5.1 Dire, motivando la risposta, se il sistema è lineare o non lineare, statico o dinamico, proprio

o improprio.

Soluzione:

Il sistema è:

non lineare, perchè il secondo membro delle equazioni di stato non è una combinazione lineare

delle variabili di stato e dell’ingresso.

dinamico, perchè l’uscita al generico istante t non può essere determinata sulla base della

conoscenza del solo ingresso allo stesso istante t.

proprio, perchè nella trasformazione di uscita non compare l’ingresso.

5.2 Determinare il movimento di equilibrio associato all’ingresso costante u(t) = 2, ∀t, e scrivere

le equazioni del sistema linearizzato attorno ad esso.

Soluzione:

Il valore dell’equilibrio si ottiene uguagliando a zero il secondo membro delle equazioni di stato

calcolati ponendo x (t) = x̄ , x (t) = x̄ e u(t) = 2, ∀t.

1 1 2 2

( 51

−x̄ − 2x̄ + x̄ + 2 = 0

1 2

51

x̄ − x̄ − 2 = 0

2

da cui si ottiene (

x̄ = 0

1

x̄ = −2

2

Le equazioni del sistema linearizzato sono:

˙

∆x = −2∆x + ∆x + ∆u

1 1 2

˙

∆x = −∆x − ∆u

2 2

y = x

1

5.3 Dire se è possibile valutare le proprietà di stabilità del movimento di equilibrio calcolato

al punto 5.2 tramite l’analisi di stabilità del sistema linearizzato corrispondente.

Soluzione:

La matrice dinamica del sistema linearizzato è ¸

·

−2 1

A = 0 −1

Gli autovalori di A sono reali negativi. Questa è condizione sufficiente per concludere che il

movimento di equilibrio è asintoticamente stabile.