Fondamenti di Onde Elettromagnetiche Esercitazioni - Esercizi svolti

Esercitazioni: (Primelezioni)

Complessi: semplificazioni al calcolo.

Complesso: ^{z - a}/_{j b} oppure a + j b dove j² = -1

z₁ = a₁ + jb₁

z₂ = a₂ + jb₂

z₁ ± z₂ = (a₁ ± jb₁) ± (a₂ + jb₂) = (a₁ ± a₂) + j (b₁ ± b₂)

z₁ z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁a₂ + a₁jb₂ + jb₁a₂ + j²b₁b₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + j (a₂b₁ + a₁b₂)

^z₁/_z2 = ^{a₁ + jb₁}/_{a2 + jb2} = ^{a₂ - jb₂}/_{a2 - jb2} = ^{a₁a₂ + b₁b₂}/_{a2² + b2²} + j ^{jb(b₂ - b₂a₁}/_{a2² + b2²}

Piano di Gauss:

a, b → coordinate cartesiane

R, Θ → coordinate polari

Carte → cart.:

• a = R cos(Θ)
• b = R sen(Θ)

Cart. → carte::

• R = √(a² + b²)
• Θ = arcotg(b/a) a > 0
•     arcotg(b/a) + π a < 0
•     π/2 a = 0 e > b > 0
• -π/2 a = 0 e b < 0
• non definita a = 0 e b = 0

Infatti:

z = a + jb = R cos(Θ) + j R sen(Θ) che sviluppata in serie di McLaurin = Re^jΘ

Z = R ^{e jΘ}

t₃ = z₁ ± z₂ = R₁ e^jΘ₁ ± R₂ e^jΘ₂

t₄ = z₁ z₂ = R₁e^jΘ₁. R²e^jΘ₂ = R₁R₂ e^{j(Θ₁+Θ₂)}

t₅ = z₁/_z2 = R₁ e^jΘ₁/_{R2 e^jΘ2} = ^R₁/_R2 e^{j(Θ₁-Θ₂)}

γ^kz = (Re^jΘ) = z = R_o e^jΘo → R^{km e jmπ} = R_o e^jΘo

e^{-jnΘ o} → nΘ = Θ^o + 2kπ → Θ = Θ^o + 2kπ ⁿ

cos(x) = ^{ejx + e-jx}/₂

sen(x) = ^{ejx - e-jx}/_2j

x ∈ℜ omnie c

Es: 3_√2 + 2j = ^{(- √2 + j)}/_√2 * ^{6 + j√2 - j√2 - j4}/₅ - 3

R₁ = ^{(√2 + j)}/(√2 (1 + j/√2) ...

θ = arch (^{3√2 - j√2}) = arch(^√2/3)

θ = arch(_{3√2 - j/√}) ∑ arch(^{√2/3 + π})

e^1/π-π = -3

Es: ...

Rilievi:

x(t) = A e^-i&omej;t

U = Ux i + Uy j + Uz k = ^Ux / _Uy ^Uz

Es. 12:

E = (0,173) -0,13-1,035 0,732(0,525) -0,38

E_x

(0,173)0,9550,525

E_y

(-0,13)0,732-0,38

E_r ≠ E_θ infatti cos(x) = ER ⋅ EθE_x ⋅ E₂ = -1,008

Casi notevoli:

1) E_r = α E_θ → Pol. lineare (E vettore oscilla lungo un'unica direzione)

2) E = a E_x + b E_y, |a| = 1 |b| = 1, [|a|] = [|b|] = 1

allora se | |b|

se |a| = |b| = π/2 + 2mπ → Pol. Circolare|a| = |b| = 1/2 + 2mπ

altrimenti → Pol. Ellittica

16/02/2018

Calcolare l minimo Δh che attiva campo irradiato nella molla di tensione θ = 0 e la potenta di antenna su R .

• f = 102.5 Mhz
• I₁ = (-235 - j18) mA
• I₂ = 547 ej 33 mA
• Zₐ = 300 m
• Rₑ = 1000 m
• Θ = 1 rad

Ezetema centrale non contributo in θ = 0 pilili C hf di un dipolo a N/2 per θ > 0 va a 0.

Eₓ = _{j5 I z} / ^{2 π Z₂} e^{-J β Z h(Θ Zₑ)}

Ȅ = _{j5 I z₁} / ^{λ Z₁} e^{-J β Z} _{h(Θ Z)}

Ȅ = _{j5 I z₁} / ^{λ (Z₁ + Z₂)} e^{-J β Z h(Θ Zₑ)}

E_tot (θ = 0) = _{j5 I z} / ^{2 λ (Z₁ + Z₂)}

1 . e ^{-j β zl}

Vejliamo 1 . e^{-jβ Z} = 0 → 1 = e^{-jβ λh} |1| = |e^-jβ| non di infonverme

2 h β = λ 2 π → λ β h = Xₘ π → h = Xₘ λ ^{m π β} = 2 π → λ β

Δ &lambda β h = λm m

m$ ≠ 0 non accistabile m₁ =$ 1 e Z accistabile

Δ il calzina della potenza & impimenta revine tutte e 3 ezze e antenne .

Una Verifica da parte per non xyzs è validata l per output 0 rot.(x y: θ = 0 , Θ = j β/2 ) z

E₁ = j ³/_{2 λ Z} e^-jβZ h_xy(θ) i₀.

altrera: E₂ = j ³ I₂/_{2 λ Z} e^{-jβ(Z + l₂cos(θ))} h_xy(π/₂) i_z

E₃ = j ³ I₂/_{2 λ Z} e^{-jβ(Z + l₂cos(θ) + h_ycos(θ))} h_xz(π/₂) i_z

E_tot = j ³/_{2 λ Z} (I₁ h_xy(θ) i₀ + I₂ h_yz(π/₂) e^{-jβl₂cos(θ)} i_z + I₃ h_yz(π/₂) e^{-jβ[l₂cos(θ) -jβh cos(θ) - jβl₂)] i_z)}

= Co (C₁ i₀ . + C₂ i_z)

Imponiamo ora le condizioni: - I₂

• [I₁ h_xy(θ)] = [I₂ h_yz(π/_z) e^{-jβ l₂ cos(θ)}] [I₂ h_xy(θ]) e^{-jβl₂cos(θ).]}
• | -I₁ | [I₁ h_xy(θ)] = |I₂| h_xy(π/₂) e^-jβ)i x . e^{-jβ h} = e^{-jβ x} [e^-jβ) j_o=
• 1 |:| e^-jβ = e^{-j feature} e

dove l ^* i ^* e_* e _{(context, π/z) e subless.) =>|: e ^-j featurei.}

• = [I₁ | l cos(θ)|=> };:;| H= Ro

Un numerà (O, in (0, +

E_I

E_z

TM

θ

π/3

2.8 GHz

ε_z1

1.5

ε_z2

3

|S_i| = 15 W/m² (densitá di potenza onda incidente)

A(1 | 0 , -1.2)

H_tot = ?

TM -> H_i preso di riflessione θ invarianza ε per conservazione H_iz = -H_ir

Riflessione totale ⟹ α positiva ⟹ ε_z1 ⟩ ε_z2 con ε0_z1 ⟩ ε0_z2

Come sappiamo : H_i(x,y,z) | H₀ | |_i e^{j k₁ z}

Pz(iantyng) =

1/2 (E_o x i) (H₀) x y = 1/2 | E_o H₀ * | i e x i y |,

E_o = 5 | H_o -> 3/2 S |H0_e|² = 15

-> |H_o| = √( 3:1 / 3 )

Quindi : H_o = |H_o| e^{-j φ₀}

Non abbiamo information in φ₀, quindi risediamo il più comodo : φ₀ = 0 H_o = |H_on|

Analogamente all'esercizio precedente : K_i = K₁ ix + (cos(θ)₁ ix con(b)₂ dove, K₁ = ω/c sqrt(e_z1/z1₀)

H_iz = H_z (-i y) e^{-j k₁ z} dove H_z = T_m |H₀|

Come sappiamo : K_i = ( z cos(θ) ix - con(θ k ) e iz ) K₁ = K_x ix + K_z iz ->

-> K_z = ( z cos(θ)) ix con(θ e)) i z₁ k₁ Z = K_x ix + k_z i_z

H_tot = |H₀ | e^{-j(i k_x)} = T_m |H₀ | e^-j(k_x))

H_tot = |H₀ | e^-kj_x = |H_o |

T_m e^j_kz

θ₂ = ( m₁ / (n_c)) sostituendo in quanto ottengo il ruisoltato