Esercizi svolti fondamenti di automatica

MODELLISTICA

Ci sono 4 tipi di modelli:

1. Modello a flusso continuo
2. Modello di decisione
3. Modello di transizione tra stati
4. Modello di influenza

1. Nei modelli a flusso continuo la matrice può presentare numeri negativi solo nella diagonale

   A = (_{0.6 0.18 1}

   _{0.12 -0.12 0}

   _{0.12 0.4 0})

2. Nei modelli di decisione tutti gli elementi della matrice devono essere positivi

   A = (_{0.1 0.18 0.5}

   _{0.7 0.1 0}

   _{0.12 0.1 0.5})

3. Nei modelli di transizione tra stati gli elementi delle colonne delle matrici sommati devono essere uguali ad 1. Inoltre i singoli elementi della matrice devono essere compresi tra 0 e 1 (0 ≤ a_ij ≤ 1)

4) I modelli di influenza possono presentare qualsiasi tipo di elemento nella matrice.

Esercizio con banche e tassi interesse:

Tre banche propongono le seguenti condizioni: la banca A garantisce un interesse del 1,2% mensile e nessuna spesa di gestione, la banca B garantisce un interesse del 3,7% trimestrale e nessuna spesa di gestione, la banca C garantisce un interesse dell'8% semestrale e spese pari ad 8€ a semestre:

1. Conviene in ogni caso la banca B V o F
2. Non conviene mai la banca A V o F
3. Se il capitale investito inizialmente è maggiore di 1500€, allora conviene la banca C V o F
4. Se il capitale investito inizialmente è pari a 2000€, allora conviene la banca C V o F

Svolgimento

Dobbiamo valutare quale banca dopo 6 mesi da l'interesse maggiore:

X_A(0) = C_i X_A, X_B, X_C

X_A(6) = (1,012)⁶C_i = 1,0742 C_i

X_B(2) = (1,037)²C_i = 1,0754 C_i

X_C(1) = 1,08 C_i - 8

Quindi 1,08 C_i - 8 ≥ 1,0754 C_i dove C_i > 1277€

Se C_i > 1277 conviene C, se non conviene B

Esercizio Page Rank (tipo 2)

Si consideri la rete di pagine web in figura:

1. 1, 2, 3
2. 2, 3, 1
3. 2, 1, 3

L'ordine nel Page Rank di Google è:

• V. F
• V. F
• V. F

Svolgimento

Innanzitutto bisogna calcolare la matrice A:

Per costruirla bisogna considerare gli elementi delle colonne.

A questo punto dobbiamo calcolare il Ker della matrice Av=v, quindi:

1/3 b + 1/2 c = a

a + 1/3 b + 1/2 c = b

1/3 b = c

• a = 1/2 b
• 0 + 4/3 b + 1/2 c = c
• c = 1/3 b

Quindi: 2, 1, 3

Allora

x(t)=c₁ e^{λ₁ t} + c₂ e^{λ₂ t} + c₃ e^{λ₃ t}

x(t)= ( ¹/₂ ) e^t + ( 0 0 0 ) e^-t + ( ^-2/₄ -1 ) e⁰ = ( e^t-2 2 e^t+4 e^t+1 )

1)

Non è marginalmente stabile perché tutti i λ_i devono essere minori di zero e almeno uno uguale a zero.

In generale:

Tempo Continuo

• Asintoticamente stabile: λ_i < 0
• Instabile: λ_i > 0
• Marginalmente stabile: λ_i <= 0 e almeno una λ_i = 0

e)

X(0) = ( ^-4/₈ -2 )

X(0) - ( ^-4/_-2 ) = c₁ ( ¹/₂ 1 ) + c₃ ( ^-2/₄ 1 )

{ c₁ - 2c₃ = -4 2c₁ + 4c₃ = -8 c₁ + c₃ = -2 }

{ c₂ = 4 + 2c₃ 8 + 4c₃ + 4c₃ = -8 c₁ = -2 - c₃ }

{ c₁ = 0 c₃ = 0 }

X(t) = -2 ( ^-2/₄ 2 ) e⁰ = ( ^-4/_-8 -2 )

5. Si consideri il sistema descritto dalla seguente equazione

a) Determinare tutte le condizioni iniziali che producono evoluzioni libere convergenti:

X(0) = V. o F

b) Determinare tutte le condizioni iniziali che producono evoluzioni libere divergenti:

X(0) = con c ≠ 0 V. o F

Svolgimento

a) Calcoliamo gli autovalori:

Facendola diventare triangolare, la matrice A dà gli autovalori,

Le condizioni iniziali che producono evoluzioni libere convergenti sono date dagli autovalori minori di zero nel tempo continuo.

Quindi, con

Prendiamo

S1: Consideri il modello di decisione descritto dal seguente grafo:

(1) _0.3 ¹

(2) _0.2 ²

1. a) Esiste un valore di _β21 per cui l'origine dello spazio di stato è uno stato di equilibrio asintoticamente stabile. V o F
2. b) Esiste un valore di _γ21 per cui l'origine dello spazio di stato è uno stato di equilibrio marginalmente stabile. V o F
3. c) Esiste un valore di _γ21 per cui l'origine dello spazio di stato è uno stato di equilibrio instabile. V o F
4. d) Se _γ21 = 0,32 e X(0) = (2 5)^T, allora X(k) = (2 5)^T per ogni k ≧ 0. V o F
5. e) Se _γ21 = 0,2 e X(0) = (0 0)^T, allora X(k) = (0 0)^T per ogni k ≧ 0. V o F

POLINOMIO DI 2^a GRADO

SHUR-COHN PER POLINOMI DI GRADO 2:

• a₂ > 0
• 1 > 0
• p(1) > 0
• 1 + Cp - 2 + 1 - 0,5 Cp > 0
• → Cp > 0
• p(-1) > 0
• 1 + Cp + 2 + 1 - 0,5 Cp > 0
• → Cp < 2,67
• 4 + 1,5 Cp > 0
• a₂ <> a₀
• 1 <> 1 - 0,5 Cp
• 0,5 Cp > 0
• → Cp > 0

SISTEMA STABILE SE E SOLO SE I \ HANNO MODULO < 1

1. PROCESSO CON FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

P(z) = (2z² + 1) / z³

• a)  1  k = 3
• →  F
• b)  2  k = 1
• →  F
• c)  0  k = 0
• →  F

SVOLGIMENTO

RISPOSTA IMPULSIVA

(2z² / z³) + (1 / z³) = (2 / z) + (1 / z³)

GRADO = 2

• f(0) = 0
• f(1) = 2
• f(2) = 0
• f(3) = 1

COEFFICIENTI DELLA DI QUEL GRADO

d_w(z) = Cp + z - 0,7

Cp + z - 0,7 = 0

z = 0,7 - Cp

0,7 - Cp < 1 - 0,8

diminuisce ad ogni passo almeno dell'80%

0,7 - Cp < 0,2

- Cp < -0,5

Cp > 0,5

0,7 - Cp > -0,2

- Cp > -0,9

Cp < 0,9

intersezione quindi vero

5)

Le radici del polinomio λ² + αλ + α sono tutte in modulo < 1:

• a) Per nessuna α
• b) Per 0 < α <= 1
• c) ∀ α

SVOLGIMENTO

CRIT. COHN

α₂ ≥ 0

P(α) > 0

P(-1) > 0

α₂ ≥ 0

1 + α + α > 0

1 - α + α ≥ 0

1 > α

α > -1/2

α < 1