Fondamenti di Automatica - esercizi svolti 1

Quesito 1

P(s) = ^{160 (s + 1)} / _{s (s + 10)} - |f(s)| = 9, f(t) - |τ(t)| = 2 d₃(t) → ∞ φ 0.5 - |f(w)| w_M = 40° con ω = 8.9 rad/s

La specifica (.) consente il calcolo di K₀ tramite la relazione

Γ(f) = ^Y₀(f) / _K0 → 0 K₀ = ^y_o(f) / _|f(t)| = 4

K₀ = 4

Da cui ne deriva il calcolo immediato del trasduttore

H = ¹ / _K0

H = ¹ / ₄

La specifica (.) richiede che a regime vi sia un errore costante a fronte di un ingresso canonico di ordine k = 2

Quindi bisogna avere |E| con numerazione nella f.o.t.

Di conseguenza scriviamo

Il processo P(s) ha già un polo nell'origine, quindi la funzione del controllore sarà

E(s) = ^Kc / _s

C(s) = ^Kc / _s

Il fattore di guadagno Xo assume il nome di costante di posizione

K_P = lim_{s → 0} s^-1[G(s)]

Quesito 1

P(s) = ^160(s+1) / _s(s+10)

f(0) = g_f(t) g(t) = 2 d_f(t) = D ∞ φ_v f(ω) = Mg φ₀ → eωn = 8.9 RAD/S

La specifica ci consente il calcolo di k₀ tramite la relazione T(f) = ^y₀(t) / _k0 → 0 → k₀ = ^y₀(t) / _r(t)

k₀ = 4

Da cui ne deriva il calcolo immediato del trasduttore

H_eωn = 1 / k₀

H = 1/4

La specifica ci richiede che a regime vi sia un errore costante a fronte di un ingresso canonico di ordine k = 2.

Quindi bisogna avere k ≥ 2 pol. nell'origine nella d.o.t.

Di errore asserna enstia a il processo fr(s) ha già un polo nell'origine, quindi

La funzione del continuous parla

C(s) = ^kc / _s

Il fattore di guadagno γ₀ assume il nome di costanza

γ = &lim; sⁿ G(s)

lim s² [(cs)p(s)] / (s->0) - lim s¹⁰ [kc ¹⁶⁰ (s+1)] / s⁸ (s+10)² - 1.6 kc

La struttura dell'errore a regime:

Esc=0.3= KD::_ta

Q=4 ::::la FDt di anello aperto f(s)=cs(s):h = 40/s * 160(s+1)/(s+2)²

f(s), ( 1600 (sf+1) / s²(s+10)² )

f(w) = 1600 / w² (w+10)²

Funz di risposta armonica di anello aperto

Ho bisogno di un atono a pella in quando antiampando

Rete a SCU

C(s) = Cant(s) · Caten(s)

Cant(s) = ^{1+ s T₂} / _{1+s α t1}

Caten(s) = ^{1 + s α t₂} / _{1 + s T2}

Scelgo pure T valutare α₁, α₂ che mi garantiscano l'anticipo di fase richiesto.

Scelgo T = 5      α₁ = 0.2      α₂ = 0.02

ω t₁ = 3.9      T₂ = 0.36

Cant(s) = ^{1 + 0.36 s} / _{1 + 0.02 s}

La scelta di questi α₁, T₁ arroca un'amplificazione di modulo di 9dB, da compensare con la rete attenuatrice.

Ho bisogno quindi di un'attenuazione di circa 9,1 dB.

    9dB rete antic.

    9Ide>quie882

Scelgo = ¹ / _{α1 = 0.357} α₂ = 0.357

Non potrero calcolare in modo univeno ω t₂ in quanto per avere un rotario di fase nullo occorre porgere

ω t₂ = q

Scelgo comunque ω t₂ = ¹⁰⁰ / _{α2 = 100}

    ω t₂ = ^{ω t₂ = 0.}     

In pratica dovrò lo stesso usare rete attenuatrice dove opero poi in basso sulla ω t.

L’effetto è quello di avere un andamento passivo nullo ma non soffinevole passo a passo.

Caten(s) = 1 + 11.7 >-3 s

       = 1 + 31.76 σ. s

C(s) = \[\ \quad \ \ 4 + 0.85s \]\[\ \quad \ \ 1 + 0.625s \]

1 + A*4.23s = 1 + 3(1.465s)

1 + A(4.235 + 0.85s*3.23s) 1 + 3(1.425 + 0.0725s + 2.1265s²)

C(s) = \[\ \quad \ \ 3.93s² + 12.58s + 4 \]\[\ \quad \ \ 9.2658s² + 3(1.58 + 4) \]

F_c(jω) = F'(ω) + C(jω)

[Fc(jω)]_dB = 0.15 dB/F_c(jω) = -140 + 103°

\[\ \left\{{dΩ = \ 0.5 \ dΩ }\right\} \]

Φ = 0.2908040

Escatoo

Questio III

21/01/2013

P(z) = ^{z - 0.8z}/_{z² + 2z + 2}

H = ⁴/_z(z-1)

Scegli C(z) = Kc

Per verificare quali valori di Kc sono compatibili con la stabilità di anello uso il criterio di Routh.

Vado a studiare le radici del numeratore di 1 + F(z).

In quanto coincidono con i poli di W(z).

F(z) = C(z).P(z).H = ^{Kc(z2 - 0.8z)}/_{4z² + 8z + 8}

NUM [1 + F(z)] = 4z² + 8z + 8 + 4²Kc - 0.8zKc

z²(4 + Kc) + z(8 - 0.8Kc) + 8

Applico una trasformaz. bilineare z = ^(1+s)/_(1-s)

(^1+s/_1-s)²(4+Kc) + (^1+s/_1-s)(8-0.8Kc) + 8

(^1+s/_1-s)²(4+Kc) + (^1+s/_1-s)(8-0.8Kc) + 8(^1-s/_1-s)²

4 + 1.8Kc + 8 - 1.8Kc + 8(1-s)²

G + Kc + 8s² - 0.82Kc + 8s + 40² + 88 + 0.8Kc + 8 - 160 + 8s²

8²(4 + 1.8Kc) + 8(-8 + 12K) + 20 + 0.92Kc

9, 4 + 18Kc + 20 + 0.92Kc

1, 8Kc - 0.80 20 + 0.2Kc

Affinche il sistema sia asimotic. valori di riform in prima 40 onna

4t.1.8Kc > 02Kc-8 > 0

G(s) = ^{10000 (s + 0,1)}/_{(s + 0,2) (s² + 20s + 500)}

w = 9

F(jw) = G(jw) ⋅ H = ^{10000 (jw + 0,1)}/_{(jw + 0,2) (jw² + 20jw + 500)}

m_cp = -(11 - ^|F(jw_i)| - 17°)

Lunghezza del "segmento" che intercorre tra l'origine del piano di Nichols e l'intersezione della curva con l'asse delle ascisse (1^re coord dell'w_i)

Non e' intersect. della curva con l'asse delle ascisse del piano di Nichols

w_B3 = ^w₃/_2π = 21.5 Hz

wB6 = wσ⋅√3 + √3 /2 ⋅ mδ2π⋅mΔ = 19.14 Hz

W(jω_r) - W(jω₁) |_d = 41.6 dB - Picco di risonanza

W(jω_r) = 19.8 ∠ dB

|W(jω₁)|_dB = 76.6 dB

Da qui non alterando l'assetto al guadagno statico, si ottiene il modulo di risonanza

M_R = |W(jω_r)|_dB - |W(jω₀)|_dB = 21.9 dB

M_R = 10^(22/10) = 4.074

T_s = 0.45 - 0.028 s

δ = 0.42 ln (πRBB)/B6 + 0.18 = 0.723

|A_%≈| = (πRBB)(2.1δ + 0.4)/B6 + 0.384 s

Quesito IV

21/01/2013

F(s) = _{1000 Kc (*a *2p)} / ^{s³ + 60s² + 500s}

Determinare il Kc tale che M_Φ = 30° con ω_T = 40 rad/s

Scelgo un guadagno Kc unitario quindi

F(s) = _{1000 (s + 20)} / ^{s³ + 60s² + 500s}

In corrispondenza della W_T richiesta ( ωT = 40 rad/s ) mi ha:

|F(j40)|_dB = - 41,663 dB

∠F(j40) = - 141,886°

ΔM = M₀ - M_F = 41,663 dB amplificare

ΔΦ = Φ₀ - Φ₀ = 8,11° putativo

Devo quindi fare un compensatore dagli Z/P tale da pag 81 intuito dal blocco FGH