Fisica Teorema di Gauss - problemi svolti

(E

1 1

• Δ

Attraverso la superficie il flusso è nullo:

2 ⃗

⃗

⃗) ⃗

⃗

Φ = E ∙ Δ = 0

(E

2 2

perché all’interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico il campo elettrico è nullo.

• Δ

Attraverso la superficie laterale il flusso è nullo:

3 ⃗

⃗

⃗) ⃗

⃗

Φ = E ∙ Δ = 0

(E

3 3

⃗

⃗

⃗

E Δ

perché i due vettori e sono perpendicolari e il loro prodotto scalare è nullo. La superficie

3

laterale, infatti, può essere scomposta in elementi di superficie infinitesimi, ciascuno dei quali

risulta perpendicolare al campo elettrico.

con ΔQ

Indichiamo la carica della parte di piano del conduttore intercettata dal cilindretto, per il teorema di

Gauss, il flusso attraverso la superficie del cilindretto è: ⃗

⃗

⃗) ⃗

⃗

Φ = E ∙ Δ = Δ

(E

tot 1

Δ

EΔS =

0

Sostituendo ΔQ =σΔS si ha: σΔ

EΔS =

0

ed infine σ

E=

0

Considera due sfere conduttrici concentriche di raggio e con

1 2

< . La sfera interna possiede una carica +Q ed è piena. mentre

1 2

quella esterna è neutra e cava.

• Quale processo elettrostatico avviene sulla sfera esterna?

• Determina l’espressione del campo elettrico nei punti interni

alla sfera 1, nei punti compresi tra la sfera 1 e la sfera 2, nei

punti esterni alla sfera 2.

• Esprimi i risultati in termini della densità superficiale di

.

carica

Svolgimento l’elettrizzazione per induzione. Questo fenomeno consiste nella

Il processo elettrostatico che si verifica è

ridistribuzione di cariche causata in un conduttore (sfera 2), dalla vicinanza di un corpo elettrizzato (sfera

1). Per induzione è possibile dunque elettrizzare un conduttore neutro.

La sfera 1 è carica positivamente (+Q) e la sfera 2 è conduttrice. Sulla

superficie interna di questa, vengono richiamate le cariche negative e

sulla superficie esterna quella positive uguali in modulo quelle

negative. Per la sfera 2 si ha:

− + − +

| | = ↔ + = 0

essendo questa neutra.

La carica totale: + −

| |

= + + − = +

è pari a quella della sfera 1 in virtù del principio di conservazione della

carica elettrica.

Indichiamo con r la distanza dal centro delle due sfere.

All’interno della sfera 1, quando < , il campo elettrico è zero perché i punti sono interni a un

1

conduttore in equilibrio elettrostatico.

Per determinare il campo elettrico nei punti compresi fra le due sfere, consideriamo una sfera gaussiana di

= ≤ <

superficie , concentrica alle precedenti, di raggio .

1 2

Per ragioni di simmetria, il campo deve essere a simmetria sferica, cioè deve avere modulo costante nei

punti equidistanti dal centro ed essere radiale con verso uscente.

Per quanto detto, il flusso attraverso di essa è: (⃗⃗ 2

(1)Φ = 4

)

S

e dal teorema di Gauss è anche: +

(⃗⃗

(2)Φ =

)

S

0

uguagliando le espressioni (1) e (2) del flusso: +

2

4 =

0

l’espressione del campo

ricaviamo tra le due superfici:

1−2 +

=

1−2 2

4

0

Esprimiamo ora il campo in funzione della densità superficiale di carica. Sulla superficie della sfera 1 è:

+ + 12

+ = → + = → + = +4

12

4

1

e sostituiamo nella espressione di :

1−2 12

+4

=

1−2 2

4

0

12

+

=

1−2 2

0

Per determinare il campo elettrico nei punti esterni alla sfera 2, consideriamo una sfera gaussiana,

≥ .

concentrica alle precedenti, di raggio 2

Per ragioni di simmetria, analogamente al caso precedente il

campo deve essere sempre a simmetria sferica, cioè deve avere

modulo costante nei punti equidistanti dal centro ed essere

radiale con verso uscente. Per quanto detto, si ha:

(⃗⃗ 2

Φ = 4

)

S

e dal teorema di Gauss è sempre:

+

(⃗⃗

Φ = =

)

S

0 0

uguagliando le due espressioni del flusso: +

2

4 =

0

ricaviamo l’espressione del campo

+

=

2

4

0

esprimendo la carica +Q in funzione della densità: 12

+ = +4

abbiamo infine: 12

+4

=

2

4

0

12

+

=

2

0

Concludiamo dunque che il campo elettrico ha lo stesso andamento sia nella parte tra le due sfere che fuori

È invece nullo all’interno della sfera 1.

di esse. +

Considera un cilindro infinitamente lungo di raggio R, avente una densità di carica volumica uniforme

• Determina l’espressione del modulo del campo elettrico () generato dal cilindro al variare della

distanza dal suo asse.

• Rappresenta graficamente i risultati ottenuti riportando, su un piano cartesiano, in ascissa la distanza

r dall’asse del cilindro e, in ordinata il campo ().

Svolgimento

Data ala geometria del problema il campo deve essere a simmetria cilindrica:

• all’asse del cilindro:

deve avere direzione perpendicolare

• il verso è uscente essendo la densità volumica positiva:

• attorno all’asse (fissata

deve essere invariante per rotazioni la distanza r):

• parallele all’asse del cilindro.

deve essere invariante per traslazioni

Per trovare l’espressione del campo elettrico (). Consideriamo una superficie S gaussiana cilindrica,

coassiale al cilindro dato, di raggio r < R e altezza h.

Siano:

• Δ la superficie di base superiore del cilindro

1

• Δ la superficie di base inferiore del cilindro

2

• Δ la superficie laterale del cilindro.

3

Il flusso totale è dato dalla somma dei flussi uscenti da esse.

Φ = Φ + Φ + Φ

1 2 3

Essendo: Φ = Φ = 0

1 2

Δ

perché i vettori ed E sono perpendicolari tra loro, si ha:

Φ = Φ

3

Δ⃗

⃗⃗

Φ =

3

(1)Φ = 2ℎ ⋅

per il teorema di Gauss, il flusso attraveso la superficie è anche:

(⃗⃗

Φ =

)

S

0

e la carica Q in funzione della densità volumica è:

2

= = ℎ

sostituiamo ed otteniamo: 2

ℎ

⃗⃗

(2)Φ =

( )

S

0

uguagliando le due espresioni del flusso : 2

ℎ

2ℎ() =

0

() =

2

0

L’andamento del campo E al variare di r, è lineare all’interno del cilindro, ovvero per valori di r minori di R.

Per determinare il campo nei punti esterni, consideriamo sempre una superficie Gaussiana cilindrica

≥

coassiale al cilindro dato e di raggio e altezza h.

Per la superficie scelta il flusso totale è dato sempre dalla

somma dei flussi uscenti dalle basi e dalla superficie laterale:

Φ = Φ + Φ + Φ

1 2 3

Essendo: Φ = Φ = 0

1 2

Δ

perché i vettori ed E sono perpendicolari tra loro, si ha:

Φ = Φ

3

Δ⃗

⃗⃗

Φ =

3

(1)Φ = 2ℎ ⋅

per il teorema di Gauss, il flusso attraveso la supericie esterna

è anche:

(⃗⃗

Φ =

)

S

0

e la carica Q in funzione della densità volumica è:

2

= = ℎ

sostituiamo ed otteniamo: 2

ℎ

(⃗⃗

(2)Φ =

)

S

0

uguagliando le due espressioni del flusso : 2

ℎ

2ℎ() =

0

2

1

() = ⋅

2

0

L’andamento del campo E al variare di r, all’esterno del cilindro di raggio R, non è più lineare.

Il campo è inversamente proporzionale alla distanza dall’asse del del cilindro:

1

E(r) ∝ r

l’intensità di E decresce all’aumentare di r.

Il grafico che otteniamo è il seguente.

()

= <

2 0

{ 2

1

()

= ⋅ ≥

2 0 = .

La funzione presenta una discontinuità per in corrispondenza della superficie esterna del cilindro.

Pur essendo continua, la funzione non è derivabile. Il grafico presenta infatti un punto angoloso in r=R.

Considera un cilindro conduttore cavo, di raggio interno e raggio esterno , infinitamente lungo e scarico. Lungo

+

l’asse di simmetria del cilindro, si trova una distribuzione lineare, infinitamente lunga di carica positiva .

• Determina la densità superficiale delle cariche indotte che si vengono a creare sulla superficie interna ed

esterna del cilindro.

• Determina l’espressione del campo () ( < ),

elettrico nei punti interni alla cavità cilindrica nei punti

1

( ),

< < ( > ).

compresi entro lo spessore del cilindro conduttore e nei punti esterni

1 2 2

• Rappresenta graficamente i risultati ottenuti riportando, su un piano cartesiano, in ascissa la distanza r

dall’asse del cilindro e, in ordinata il campo ().

Svolgimento

del cilindro conduttore è presente una distribuzione lineare di carica +

All’interno positiva , il cilindro

subisce il fenomeno dell’induzione elettrostatica: sulla sua superficie interna, si affaccia una densità di

− +

carica negativa e