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Fisica generale I - scienze dell'ingegneria edile

Esercitazione di Fisica Generale I riguardante le scienze dell'ingegneria edile con i seguenti argomenti trattati: molla, costante elastica, valore prossimo, coefficiente di attrito, energia di un sistema, oscillazioni, corpo puntiforme, velocità angolare.

Esame di Ingegneria edile docente Prof. P. Ingegneria e Architettura

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m mazzoni – SIE – IX 2006 3/5

3. 1 Non si arriva alla nuova posizione statica semplicemente rimuovendo improvvisamente l'attrito. Anche

ammettendo che il testo originale fosse ambiguo, applicare la conservazione dell'energia è un grave errore. Essa

comporta che l'asta cada un po' giù e poi compia un complesso moto oscillatorio, ma non essendoci più forze

dissipative, non può mai fermarsi. Non raggiunge una nuova configurazione di equilibrio.

1 Altro errore grave è supporre che questa nuova posizione sia simile alla precedente, ossia con la molla inclinata.

E' un assurdo poiché così si ha una sola forza orizzontale, non bilanciata da altra forza. Anche supporre il centro di

massa sotto il vincolo P è un'altra ingiustificata ingenuità.

Se non c'è attrito, deve annullarsi anche la componente orizzontale della forza elastica, ossia l'asta si

posiziona con l'estremo B sotto al vincolo P: la molla è verticale. Sia adesso s l'allungamento.

Un sistema soggetto solo a forze conservative (come in questo caso: ci sono soltanto la forza di

gravità, quella elastica e le reazioni di vincolo ideale) è in equilibrio nella configurazione che

corrisponde al minimo dell'energia potenziale. Quindi: 1

ϕ 2

E = mg L sin ; E = k s

grav elast 2

− ϕ

s = 2L 2L sin

Energia complessiva: 1

ϕ − ϕ) 2

E = mg L sin + k (2L 2L sin

tot 2

ϕ − ϕ) 2

2

E = mg L sin + 2kL (1 sin

tot

ϕ:

Minimo rispetto a ∂E ϕ − − ϕ) ϕ

2

tot = mg L cos 4kL (1 sin cos = 0

∂ϕ

Le soluzioni sono: ϕ π

= /2 − ϕ)

mg = 4kL (1 sin

La prima corrisponde all'asta orizzontale, e dalla seconda discende:

mg

ϕ −

sin = 1 = 0.334

4kL

Corrisponde a poco meno di 20° ed è l'angolo per il quale si ha il nuovo equilibrio.

Analisi della stabilità: ∂ 2 E − − ϕ

tot 2 2 2 2

= sinϕ (mgL 4kL + 4kL sinϕ) + 4kL cos

∂ϕ 2

ϕ = π/2

Per è facile verificare che la derivata seconda è negativa, ossia si tratta di un equilibrio

instabile, mentre nell'altro caso si annulla la parentesi e quindi la derivata è positiva: si ha equilibrio

stabile.

4.

E' un problema di dinamica e quindi occorre applicare le eq cardinali. Se il punto A non si sposta,

l'eq da sfruttare è quella dei momenti. Come è evidente, ci saranno oscillazioni attorno alla

posizione di equilibrio e quindi conviene determinare questa per prima, per poi sottrarla dell'eq di

moto. m mazzoni – SIE – IX 2006 4/5

ϕ − ϕ − ϕ) ϕ

I = mg L cos + k (2L 2L sin 2L cos = 0

A

Naturalmente, la soluzione: − − ϕ ϕ (B)

mg + 4kL (1 sin ) cos = 0

o o

è ancora quella trovata attraverso il metodo dei minimi dell'energia potenziale. ϕ + ε, ε

Adesso si sposta l'asta in modo da portarla nella configurazione con angolo: dove è una

quantità infinitesima. Anche se lo spostamento è piccolissimo, i momenti delle forze non si fanno

ε) ε

a

più equilibrio. Si scrive la II eq cardinale con polo in A, tenendo conto che è :

(ϕ + =

o

ε − − ε) ε)

2

I = mg L + 4L k 1 sin (ϕ + cos (ϕ + (C)

A o o

Sviluppo delle f. trigonometriche:

ε) ϕ − ε ϕ ε) ϕ ε ϕ

cos (ϕ + = cos sin ; sin (ϕ + = sin + cos

o o o o o o

Se si sostituiscono queste espressioni nella C e si sottrae la condizione di equilibrio B:

ε − ϕ ε) ϕ − ϕ ε)

2

I = (4k L cos (cos sin

A o o o

ε 2

Il termine in si può trascurare poiché è un infinitesimo del secondo ordine. Resta:

ε − ϕ ε ε ϕ ε = 0

2 2

2 2

I = 4k L cos ; I + 4k L cos

A o A o

k

3

ε ϕ ε = 0

2

+ cos

m o

Si tratta di un moto armonico semplice di pulsazione: −

3 k

Ω ϕ ∼ 1

= cos 4.62 s

m

o

5.

Si dapprima la fase di caduta libera, poi l'urto ed infine il moto successivo.

I Prima fase, la caduta libera. La velocità v di M subito prima dell'urto è, com'è noto:

− ϕ

v= 2g (2L L sin )

o

J Seconda fase, l'impatto. Il sistema meccanico "corpo M + asta" non è isolato, poiché il cardine in

A è sollecitato durante l'urto: è questa reazione, di tipo impulsivo, che impedisce all'asta di traslare

semplicemente. Dunque non si conserva la quantità di moto a causa di questa forza esterna e non si

conserva neppure l'energia poiché l'urto è anelastico. Si conserva invece il momento angolare,

purché si elimini il contributo della reazione, ossa purché si prenda come polo di riduzione il punto

A stesso.

Momento H della quantità di moto di M subito prima dell'urto:

− ϕ ϕ

H = M 2g (2L L sin ) L cos

o o

Deve essere uguale (è uguale!) al momento della quantità di moto dopo l'urto.

K Terza fase: moto conseguente. Momento di inerzia del sistema adesso:

2

4 m L 2

I = + M L

tot 3

Nuova espressione del momento angolare rispetto ad A:


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luca d.

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria delle costruzioni edili (RIETI)
SSD:

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher luca d. di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ingegneria edile e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Ingegneria e Architettura Prof.

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