Fisica generale I - scienze dell'ingegneria edile

A

L

E

scienze dell'ingegneria edile

S m

1 5 e

t

t e b r e 2

0 0

6

1. Usare esclusivamente i simboli indicati

2. Saranno considerate solo le domande risolte secondo l'ordine dato

3. I valori numerici vanno sostituiti solo nella soluzione finale

Un'asta sottile, rigida, omogenea, di massa m e lunghezza 2L ha l'estremo A vincolato a scorrere su

una guida orizzontale che giace sul piano del disegno (vedi). L'altro estremo B è collegato tramite

una molla ad un punto fisso P, posto a quota 2L rispetto alla guida; la molla ha costante elastica k e

lunghezza a riposo trascurabile.

1 ϕ = β.

. 7 L'asta si trova in equilibrio come mostrato, con Si stabilisca di quanto si è estesa la molla

ϕ

ed il valore dell'angolo (si arrotondi al valore prossimo più probabile), tenendo conto che c'è

attrito tra estremo A e guida. P β

2L B

2L

ϕ

A

2 λ

. 6 Determinare il valore del coefficiente di attrito in questa configurazione di equilibrio

3. 7 Il piano adesso non presenta più attrito con l'asta, la quale quindi sta in equilibrio in una diversa

configurazione. Si stabilisca, in base alle proprietà dell'energia di un sistema, qual è il

ϕ,

corrispondente valore dell'angolo indicando se si tratta di equilibrio stabile o instabile

4. 8 Con l'asta nella posizione del punto 3, si sollecita leggermente in verticale il sistema, che

comincia ad oscillare. Si applichi l'approssimazione delle piccole oscillazioni ed inoltre si consideri

il punto A praticamente immobile e la molla sempre verticale

5. 7 L'asta si trova immobile e collegata alla molla, come al punto 3, inoltre l'estremo A è

effettivamente vincolato ad un perno. Un corpo puntiforme di massa M viene lasciato cadere dalla

quota 2L in modo che colpisca l'asta esattamente nel suo centro di massa. L'urto è totalmente

anelastico. Qual è la velocità angolare dell'asta subito dopo l'urto?

D −1

ATI: 2L = 0.92 m ; m = 5 kg ; k = 40 Nm ; M = m/3

m mazzoni – SIE – IX 2006 2/5

1. a a

L'equilibrio di un sistema si può determinare, in generale, attraverso la 1 o la 2 eq. cardinale. In

questo caso, la presenza dell'attrito con coefficiente incognito, obbliga ad usare l'eq. dei momenti

con polo di riduzione in A Le forze agenti sull'asta sono il proprio peso e la forza elastica. Notare

ϕ = β

che la condizione significa che la molla è perpendicolare all'asta. Momenti rispetto ad A:

− ϕ ϕ

2L kx mg L cos = I = 0

A

Da cui si ricava l'allungamento della molla: ϕ

mg cos

x= 2k

Per ora x resta indeterminato, infatti esistono infinite soluzioni che differiscono per diversi valori

β

dell'angolo e che corrispondono a situazioni dove l'asta è in posizioni parallela a sé stessa.

β

Cambiando cambiano la forza elastica e quella di attrito. La condizione ulteriore, allora, è che la

distanza PA debba essere uguale a 2L: ϕ ϕ

x cos + 2L sin = 2L

ϕ:

Si risolve per l'angolo mg mg

ϕ − ϕ) ϕ)

2

cos = 2L (1 sin ; (1 + sin = 2L

2k 2k

ϕ), ϕ = π/2.

Si è diviso per (1 – sin escludendo così la soluzione particolare π

4kL

ϕ − ⇒ ϕ

sin = 1 = 0.5 =

m g 6

Allungamento: x = 0.531 m

2.

Le forze complessivamente agenti sull'asta sono indicate nel ϕ

F

el

disegno.

La forza peso P e la reazione N sono solo verticali, mentre la N B

componente orizzontale della forza elastica deve essere

equilibrata dall'attrito. In formule:

− ϕ − ϕ λ

N mg + kx cos = 0 ; kx sin + N = 0 P

ϕ

ϕ A

kx sin

− ϕ λ

N = mg kx cos ; = = 0.347

− ϕ

mg kx cos F

attr

Avere una sottrazione a denominatore è quasi sempre segnale

di errore. In questo caso però non c'è da preoccuparsi, perché questa espressione non può mai

annullarsi. E' semplice verificarlo, sostituendovi l'espressione di x:

mg mg

− = − ϕ = − ϕ)

2 2

mg kx cosϕ mg cos (2 cos

2 2

Giust'appunto. m mazzoni – SIE – IX 2006 3/5

3. 1 Non si arriva alla nuova posizione statica semplicemente rimuovendo improvvisamente l'attrito. Anche

ammettendo che il testo originale fosse ambiguo, applicare la conservazione dell'energia è un grave errore. Essa

comporta che l'asta cada un po' giù e poi compia un complesso moto oscillatorio, ma non essendoci più forze

dissipative, non può mai fermarsi. Non raggiunge una nuova configurazione di equilibrio.

1 Altro errore grave è supporre che questa nuova posizione sia simile alla precedente, ossia con la molla inclinata.

E' un assurdo poiché così si ha una sola forza orizzontale, non bilanciata da altra forza. Anche supporre il centro di

massa sotto il vincolo P è un'altra ingiustificata ingenuità.

Se non c'è attrito, deve annullarsi anche la componente orizzontale della forza elastica, ossia l'asta si

posiziona con l'estremo B sotto al vincolo P: la molla è verticale. Sia adesso s l'allungamento.

Un sistema soggetto solo a forze conservative (come in questo caso: ci sono soltanto la forza di

gravità, quella elastica e le reazioni di vincolo ideale) è in equilibrio nella configurazione che

corrisponde al minimo dell'energia potenziale. Quindi: 1

ϕ 2

E = mg L sin ; E = k s

grav elast 2

− ϕ

s = 2L 2L sin

Energia complessiva: 1

ϕ − ϕ) 2

E = mg L sin + k (2L 2L sin

tot 2

ϕ − ϕ) 2

2

E = mg L sin + 2kL (1 sin

tot

ϕ:

Minimo rispetto a ∂E ϕ − − ϕ) ϕ

2

tot = mg L cos 4kL (1 sin cos = 0

∂ϕ

Le soluzioni sono: ϕ π

= /2 − ϕ)

mg = 4kL (1 sin

La prima corrisponde all'asta orizzontale, e dalla seconda discende:

mg

ϕ −

sin = 1 = 0.334

4kL

Corrisponde a poco meno di 20° ed è l'angolo per il quale si ha il nuovo equilibrio.

Analisi della stabilità: ∂ 2 E − − ϕ

tot 2 2 2 2

= sinϕ (mgL 4kL + 4kL sinϕ) + 4kL cos

∂ϕ 2

ϕ = π/2

Per è facile verificare che la derivata seconda è negativa, ossia si tratta di un equilibrio

instabile, mentre nell'altro caso si annulla la parentesi e quindi la derivata è positiva: si ha equilibrio

stabile.

4.

E' un problema di dinamica e quindi occorre applicare le eq cardinali. Se il punto A non si sposta,

l'eq da sfruttare è quella dei momenti. Come è evidente, ci saranno oscillazioni attorno alla

posizione di equilibrio e quindi conviene determinare questa per prima, per poi sottrarla dell'eq di

moto.