Fisica generale - esercizi

1.

Un condensatore piano, avente il vuoto tra le armature, ha una capacità C₀=4,0·10^-9 F ed è collegato permanentemente ad una sorgente di forza elettromotrice continua V=100 volt. Ad esso viene collegato in parallelo un condensatore uguale e scarico.

a) Di quanto varia l’energia elettrostatica del sistema dei due condensatori dopo il collegamento? b) Se stacco il collegamento alla batteria prima di collegare il secondo condensatore?

Quando i due condensatori sono separati le energie elettrostatiche in essi immagazzinate sono

U₁ = 1/2 C₀V² = 2,0·10^-5 T ; U₂ = 0

e quindi l’energia totale U₀ = U₁.

Dopo il collegamento in parallelo la capacità totale diventa C = 2 C₀ = 8·10^-9 F.

Pertanto U_f = 1/2 CV² = 4,0·10^-5 T e ΔU = 2,0·10^-5 T

b) Q si conserva allora U_f = 1/2 Q²/2C₀ = 1/2 U₁ = 1.0·10^-5 J Allora ΔU = -1.0·10^-5 J

2.

Un conduttore rettilineo, cilindrico, cavo, di raggi interno a=10 cm ed esterno b=20 cm ha lunghezza molto grande rispetto al raggio b. Esso si trova nel vuoto, è costituito da materiale paramagnetico (μ_r≈1) ed è percorso da una corrente i=100 A diretta secondo l’asse e distribuita uniformemente.

Determinare il valore dell’induzione magnetica B(r) per i seguenti valori di r:

• a) r=r₁=5 cm
• b) r=r₂=15 cm
• c) r=r₃=30 cm

La simmetria del sistema suggerisce di far ricorso al teorema di Ampère

dove i_c è la corrente concatenata con la curva Γ.

Scegliamo come cammino di integrazione una circonferenza di raggio r con centro sull’asse del cilindro e giacente nel piano ad esso perpendicolare. B avrà lo stesso valore in tutti i punti della circonferenza, per cui il teorema di Ampère si può scrivere

Caso a)

• a) i_c=0 => B(r₁)=0

1.

Le armature di un condensatore piano, aventi area A=1,5 m² e poste a distanza d=2 cm l’una dall’altra, sono connesse a un generatore di tensione ∆V=140 V e a carica avvenuta vengono isolate. Un foglio metallico di spessore s=3 mm, avente la stessa configurazione e area delle armature, viene poi inserito tra le armature stesse parallelamente ad esse. Determinare:

• a) la variazione di capacità del condensatore;
• b) la nuova differenza di potenziale tra le armature;
• c) il lavoro compiuto dal campo elettrico durante l’introduzione del foglio.

Inizialmente C₁ = ε₀ A / d = 6,64·10^-10 F

Dopo l’introduzione del foglio metallico possiamo trattare il sistema come una serie di due condensatori piani: è importante rendersi conto che la capacità C₂ del sistema non dipende dalla posizione del foglio.

Siano x ed y le distanze del foglio dalle due armature:

x + y + s = d

Allora:

1 / C₂ = 1 / ε₀ A + 1 / ε₀ A = x + y / ε₀ A e d - s / ε₀ A

C₂ = ε₀ A / d - s = 7,81·10^-10 F

che, come detto, non dipende da x ed y.

Infine ΔC = C₂ - C₁ = ε₀ A ⌊1 / d - s - 1 / d⌋ = 1,17·10^-10 F

Inserendo il foglio, la carica sul condensatore non varia e quindi Q = C₁ ΔV₁ = C₂ ΔV₂

da cui si ottiene subito

ΔV₂ = d - s / d ΔV₁ = 1,2·10² V

Essendo il sistema isolato ed essendo il campo elettrostatico conservativo, il lavoro coinciderà con la diminuzione di energia potenziale elettrostatica conseguente l’introduzione del foglio.

L = -ΔE_p = 1 / 2 C₁ ΔV₁² - 1 / 2 C₂ ΔV₂² ≈ 10^-6 J

1.

Un fornello elettrico di resistenza R assorbe una potenza di 0,4 kW sotto una differenza di potenziale di 220 V. Poiché il fornello riscalda troppo, per ridurre la temperatura viene posta in serie alla resistenza R una resistenza r in modo che la potenza dissipata nel fornello si riduca del 10%.

Nell'ipotesi che R sia sostanzialmente indipendente dalla temperatura, determinare:

1. il valore della resistenza r;
2. di quanto si riduce percentualmente la potenza ceduta dal generatore.

Prima dell'inserimento della resistenza r, tutti i 220 V di d.d.p. sono applicati ai capi della resistenza R del fornello che dissipa una potenza

P₁ = 0,4 W (pari a quella ceduta dal generatore).

Si vuole che questa potenza si riduca del 10% e passi quindi al valore P₂ = 0,9 P₁ = 360 W.

Per inciso, il valore di R si ottiene subito dalla relazione

R = ^V2⁄_P1 = ^{2202 V}⁄_{400 W} = 1,21 · 10² Ω

Affinché in R si dissipi la potenza P₂ occorre che vi circoli la corrente

P₂ = i²R ⇒ i = ^P₂⁄_R = 1,725 A

che ovviamente sarà anche quella che circolerà in r, dato che le due resistenze sono disposte in serie.

E' allora immediato scrivere

R + r = ^V⁄_i e ottenere r = ^V⁄_i - R = 6,5 Ω

La nuova potenza ceduta dal generatore vale ora P_gen = Vi = 379,5 W con una riduzione percentuale di

^{P₁ - P_gen}⁄_P1 = ^{20,5 W}⁄_{400 W} = 5,12%

Dopo che è stato stabilito il contatto si raggiunge una situazione di equilibrio in cui le due sfere si vengono a trovare allo stesso potenziale. Per giungere a ciò occorre che una parte della carica della sfera inizialmente a potenziale maggiore passi in quella a potenziale minore. La carica totale però si mantiene invariata e così pure le capacità (che non dipendono né delle cariche né dai potenziali, ma solo dalla configurazione geometrica). Indicando con simboli con apice le grandezze che si riferiscono allo stato finale, abbiamo perciò:

C₁V' = Q₁'   ;   C₂ V' = Q₂'

Q₁' + Q₂' = Q₁ + Q₂

Se ne deduce subito

C₁V' + C₂V' = Q₁ + Q₂   da cui   V' = ^{Q₁ + Q₂}/_{C1 + C2} = 79,5V

Da quest’ultima espressione risulta evidente che la capacità totale (pari al rapporto tra la carica e il potenziale) vale

C’ = C₁ + C₂ = 5,5 * 10^-12 F

E’ ora facile ricavare i valori delle cariche finali sulle due sfere e la corrispondente forza di repulsione

F’ = ^Q₁'Q₂'/_4πϵ0d = 0,442 * 10^-11N   da cui   F’/F = 1,36