Fisica 1 - Esercizio 7

Esercizio 7

Una sfera omogenea di massa e raggio è appoggiata su di un piano inclinato che forma un angolo con la direzione orizzontale. Una molla ideale di massa trascurabile e costante elastica ha un estremo rigidamente collegato ad un sostegno fisso e l'altro fissato al centro della sfera. Supponendo che il piano inclinato abbia un attrito tale da garantire il rotolamento puro, determinare:

i. Allungamento della molla e forza di attrito

Determinare l’allungamento della molla quando la sfera è in equilibrio statico e il modulo della forza di attrito presente tra sfera e piano inclinato.

ii. Periodo di oscillazione

Determinare il periodo di oscillazione se la sfera viene lasciata andare da ferma nella configurazione in cui la molla è a riposo.

iii. Minimo valore del coefficiente d’attrito

Determinare il minimo valore del coefficiente d'attrito che garantisce il rotolamento puro.

Nelle condizioni di rotolamento puro è possibile applicare la stazionarietà dell'energia potenziale per trovare la configurazione di equilibrio del sistema. Indicando con lo spostamento del centro della sfera in direzione del piano inclinato dalla configurazione in cui la molla è a riposo, l'energia potenziale può scriversi come:

V(x) = (1/2)kx - mgx sin θ

Si ricercano quindi i punti di equilibrio:

∂V(x) / ∂x = kx - mg sin θ = 0 → x_eq = mg sin θ / k

In base al riferimento che è stato definito, x_eq rappresenta l'allungamento della molla in condizione di equilibrio. Per determinare la stabilità è necessario sostituire all'interno della derivata seconda:

∂²V(x) / ∂x² = k > 0

Poiché la derivata seconda è sempre positiva, x_eq è un punto di equilibrio stabile e, se il sistema non si trova in corrispondenza di esso con velocità nulla, tenderà ad oscillare attorno a tale configurazione.

Applicando la prima equazione cardinale della statica in direzione del piano inclinato:

mg sin θ - kx_eq + F_att = 0

In condizioni di equilibrio non si manifesta alcuna forza d’attrito tra sfera e piano inclinato.