Fisica 1 - Esercizio 7

Esame Fisica generale

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Cataliotti Francesco Saverio

Università Università degli Studi di Firenze

Esercitazione

Una sfera omogenea di massa m e raggio R è appoggiata su di un piano inclinato che forma un angolo θ con la direzione orizzontale. Una molla ideale di massa trascurabile e costante elastica k ha un estremo rigidamente collegato ad un sostegno fisso e l’altro fissato al centro della sfera. Supponendo che il piano inclinato abbia un attrito tale da garantire il rotolamento puro, determinare:
I) L’allungamento della molla quando la sfera è in equilibrio statico e il modulo della forza di attrito di attrito presente tra sfera e piano inclinato;
II) Il periodo di oscillazione se la sfera viene lasciata andare da ferma nella configurazione in cui la molla è a riposo;
III) Il minimo valore del coefficiente d’attrito μ_s che garantisce il rotolamento puro.

…continua

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Energia meccanica del sistema

Si scriva l'energia meccanica del sistema, indicando con la velocità di avanzamento del centro di massa ẋ = ωR del disco lungo il piano inclinato:

E(x; ẋ) = ½mR²ω² + ½kx² - mgxsinθ

Poiché l'energia meccanica è conservata si ha che dE/dt = 0:

7mẋẍ + kxẋ - mgẋsinθ = 0 → mẍ + kx = mgsinθ

L'equazione differenziale ottenuta è quella di un oscillatore armonico con termine forzante rappresentato dalla componente della forza peso diretto lungo il piano inclinato.

Come si può notare, sostituendo all'interno dell'equazione di moto si ottiene:

ẍ = 0

Manipolando l'equazione di moto:

7mgsinθ - 5m 5mmẍ = -kx - ẋ → ẍ = - (k/m)x - (ẋ/m)

La pulsazione di

oscillazione e il corrispondente periodo valgono: 5k 7m² 2π²ω = , T =7m 5k Si operi il cambio di variabile: z = x - x , ż = ẋ , z̈ = ẍ Le condizioni iniziali possono allora scriversi come: x(0) = 0 → z(0) = -xeq(0) (0) ẋ = 0 → ż = 0 L'equazione di moto assume la forma: 2z̈ + ωz = 0 La soluzione generale e la sua derivata temporale divengono: z = A cos(ωt) + B sin(ωt) , ż = -Aω sin(ωt) + Bω cos(ωt) Sfruttando le condizioni iniziali si ottiene: A = -x , B=0eq Sostituendo e operando nuovamente il cambio di variabile: [1z = -x cos(ωt) → x - x = -x cos(ωt) → x = x - cos(ωt)]eq eq eq eq Ricorrendo inoltre all'espressione di precedentemente ricavata: xeqmg sin θ [1x(t) = - cos(ωt)]k Tale espressione è molto utile in quanto consente di ricavare l'andamento temporale dell'accelerazione che, a sua volta,

mediante la seconda equazione cardinale della dinamica, consentirà di determinare l'andamento nel tempo della forza d'attrito statico.

mg sin θ mg sin θ mg sin θ2[1 (t) (t)x(t) = - cos(ωt)], ẋ = ω sin(ωt) , ẍ = ω cos(ωt)k k k

Applicando la seconda equazione cardinale della dinamica in corrispondenza del centro di massa della sfera, L'unica forza che produce un contributo al momento è proprio la forza d'attrito. Si ricordi inoltre che, in condizioni di rotolamento puro, vale la relazione ẍ = ω̇R.

2 2 5k mg sin θ 22 [cos(ωt)]I ω̇ = F R → mR ω̇ = F R → F = m × × = mg sin θ cos(ωt)G att att att 5 5 7m k 7

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Publisher

matteon94

A.A. 2020-2021

3 pagine

SSD Scienze fisiche FIS/01 Fisica sperimentale

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher matteon94 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Firenze o del prof Cataliotti Francesco Saverio.