Esponenziali equazioni e disequazioni

ESPONENZIALI

2^x = 3

x = log₂ (3)

funzione espon.

y = 2^x

y = (1/2)^x

BASE > 1

• (0;1)
• sempre positiva
• monotona crescente

0 < BASE < 1

• (0;1)
• sempre pos.
• mon. decrescente

3^x = 0 impossibile

3^x = -1 impossibile

Radice 3^x 9^x = g 2^x+3

81^x-1

Regoletta:

3√8² = 8^2/3

1/2^-x = 2^x

3/4^-x = 3·4^x

Strategie:

• aver base = per uguagliar esponenti
• dividere in "parti uguali"
• uso i logaritmi

Radice 3^x (3²)^x

(3⁴)^x-1 = (3²)^2x+3

Radice 3·3^2x8^x

(3⁵)^x-1 = 3^4x+6

ESPONENZIALI

2^x = 3

x = log₂(3)

funzione espon.

y = 2^x

y = (\[\frac{1}{2}\])^x

BASE > 1

• sempre positiva
• (0;1)
• monotona crescente

0 < BASE < 1

• sempre pos.
• (0;1)
• mon. decrescente

3^x = 0 impossibile

3^x = -1 impossibile

\[\sqrt[3]{\sqrt{9^{x}}}\] = 81^x-1

Regoletta:

\[\sqrt[3]{8^{x}}\] = 8^{\[\frac{x}{3}\]}

\[2^{\frac{-1}{x}}\] = 2^\[x\]

\[3^{\frac{4}{3}-x}\] = 3^\[4x\]

Strategie:

• avere basi = per eguagliare esp.
• dividere in "parti uguali"
• uso i logaritmi

\[\sqrt[3]{(3^{2})^{x}}\]

\[\frac{(3^{2})^{x}}{(3^{4})^{x-1}}\] = (3²)^2x+3

\[\Rightarrow\]

\[\frac{\sqrt[3]{3^{3\(2\)}}}{(3^{5})^{x-1}}\] = \[3^{4x+6}\]

3 · 3^x / (3⁴)^x+1 = 4x + 6

3 · 3^x / 3^4x-4 = 4x + 6

Importante! Ricordare le prop. delle potenze

1/3 · 3^x = 3^x+1

3^x3 / 3^4x-4 = 4x + 6

3^{x1 / 2} = 3^x-2

x^x+1/2 - (4x-4) = 4x + 6

(x+1/2) - (4x-4) = 4x + 6

x + 1/2 - 4x + 4 = 4x + 6

⇒ x = 1/5

Disequazioni Da sapere:

2^x = 0∀x ∈ R

2^x = -1∀x ∈ R

2^x < -1

2^x < 0

≠ x ∈ ℝ

Strategie: sempre =

alle eq. esponenziali.

y = 2^x

(0;1)

y = 1

a)

3/(10^x-2) - 1/(10^x+2) > 1 - 2/(10^x+2)

(A+B)(A-B) = A² - B²

3(10^x+2)-(10^x-2)/(10^x-2)(10^x+2) > (10^x-2)(10^x+2)/(10^x-2)(10^x+2) - 2(10^x-2)/(10^x)(10^x+2)

3⋅10^x + 6 - 10^x + 2 > (10^x)² - 4 - 2⋅10^x + 4/(10^x-2)(10^x+2)

10^x - 4 - 2⋅10^x + 1 - 3⋅10^x - 6 + 10^x - 2 < 0

(10^x-2)(10^x+2)

10^2x - 4⋅10^x - 8

10^2x - 4

< 0

N

10^2x - 4⋅10^x - 8 > 0

10^x = t

t² - 4t - 8 > 0

eq con t² - 4t - 8 = 0

t_1,2 = +4±√(16+32)/2 = +4±√48/2

t_1,2 = ^{4 + 4√3}⁄₂ = 2 ± 2√3

2 ± 2√3

t < 2 - 2√3 V t > 2 + 2√3

10^x < 2 - 2√3 V 10^x > 2 + 2√3

x < log₁₀(2 - 2√3) V x > log₁₀(2 + 2√3)

D. 10^2x - 4 > 0

100^x > 4

x > log₁₀₀(4)

y = √ⁿA(x)

n = pari

dominio: A(x) ≥ 0

y = ^{3x - 1}⁄_{3^x - 3}

3^x - 1 > 0

3^x > 1

3^-x - 3 ≠ 0

3^x ≥ 3³ ⟹ x ≥ 0