Disequazioni esponenziali

Disequazioni esponenziali

Caso 1: \( a^{f(x)} \gtreqqless b^{g(x)} \)

Le disequazioni esponenziali più semplici sono quelle in cui avete esponenziali di uguale base a destra e a sinistra del simbolo di disequaglianza.

\( a^{f(x)} \gtreqqless a^{g(x)} \quad \Rightarrow \quad f(x) \gtreqqless g(x) \)

dove \( f(x) \) e \( g(x) \) sono espressioni contenenti \( x \).

Se \( a > 1 \) è sufficiente confrontare gli esponenti dei due esponenziali in una disequazione avente come verso il verso della disequazione di partenza.

Se \( 0 < a < 1 \), invece, per risolvere la disequazione si deve invertire il verso della disequazione di partenza.

È sufficiente ricordare: con la proprietà delle potenze \[ x^{-1} = \left(\frac{1}{x}\right) \]

Se \( 0 < a < 1 \), allora \( \frac{1}{a} > 1 \).

Consideriamo la disequazione esponenziale:

\( f(x) \gtreqqless g(x) \quad \text{con} \quad 0 < a < 1 \)

Consideriamo i reciproci di entrambi i membri della disequazione:

\(\left(\frac{1}{a}\right)^{-f(x)} \gtreqqless \left(\frac{1}{a}\right)^{-g(x)}\)

Quindi procediamo confrontando gli esponenti in una disequazione con lo stesso verso di quella appena scritta.