Esercizio metodo potenziale nodale

Esercizio 2

Risolvere il circuito in figura utilizzando il metodo ai nodi.

R₁ = 1Ω R₂ = 1Ω R₃ = 2Ω R₄ = 2Ω I_g1 = -2A I_g2 = -3A

Risolvere un circuito utilizzando il metodo ai nodi significa determinare i valori delle tensioni ai nodi identificati.

Identifichiamo i nodi presenti nel circuito in esame e numeriamoli da 1 a 4, come in figura 2. Consideriamo come nodo di riferimento il nodo 4.

In figura 3 sono indicate le tensioni ai nodi E₁, E₂, E₃, e il riferimento sul nodo 4. Il sistema risolvente con il metodo ai nodi si ottiene scrivendo le leggi di Kirchhoff alle correnti per tutti i nodi individuati tranne il nodo di riferimento.

Sarà dunque in questo caso un sistema di 3 equazioni in 3 incognite e le uniche incognite saranno le tensioni di nodo. Si riporta di seguito il sistema risolvente in forma canonica, per il quale si rimanda alla parte lezioni.

Il simbolo G_i(i = 1, ..., 4) indica la conduttanza del resistore i-esimo ed è pari a 1/R_i.

• (G₁ + G₂)E₁ - G₂E₂ - G₁E₃ = I_g1
• - G₂E₁ (G₂ + G₃)E₂ 0 = - I_g2
• - G₁E₁ 0 (G₁ + G₄)E₃ = I_g2

Risolviamo il sistema con il metodo di sostituzione, determinando le tensioni ai nodi.

• 2E₁ - E₂ - E₃ = -2
• - E₁ + 3E₂ = 3
• - R₁ + 2E₃ = -3
• 3E₂ = 6 - E₂ + 4 - E₂ = -2
• E₁ = 2E₂ - 3
• E₃ = 2E₃

ESERCIZIO 2

Se ricordi il metodo delle correnti di maglia, ti renderai conto che abbiamo introdotto uno strumento "fittizio", appunto le correnti di maglia (che non si può fisicamente misurare, perché le correnti "reali" sono le IR) per semplificare la risoluzione dei circuiti con le leggi di Kirchhoff.

Inoltre il metodo delle correnti di maglia deriva DIRETTAMENTE da entrambe le leggi di Kirchhoff.

Lo STESSO discorso vale per il metodo dei potenziali nodali. Stavolta però quello che introduciamo di fittizio sono i "potenziali ai nodi" del circuito.

Considera il circuito in FIG. 1. Ci sono 4 nodi (un nodo è dove si incontrano 2 o più bipoli). Uno di questi nodi lo si considererà come riferimento. Ovvero le i potenziali degli altri nodi si ricavano in funzione del riferimento, o equivale a il potenziale del nodo di riferimento è 0).

A questo punto puoi calcolare tutto, perché sai ad esempio che

I_Z2 = G₂ E₂

G₂ lo conosci, E₂ l'hai calcolato, e quindi conosci I_Z2. Da qui puoi anche calcolare la tensione ai capi di R₂, ovvero

V₂ = R₂ I_Z2↰calcolato al punto precedente.

Quello che viene dopo, ovvero il bilancio delle potenze, non rientra nel metodo dei potenziali nodali, ma può essere richiesto in generale per qualunque esercizio, anche per le correnti di maglia. Quindi ci dedico una lezione a parte! Questo te lo ho incluso nello stesso file per fare prima, ma è una cosa diversa.