Esercizio 3 Costruzioni Idrauliche

Q

∫ ∫

=

dr h dh

2 π rks

ro ho δ

Otteniamo : Q = 2πks ∙ R )

ln( ro

Q= bx

Poniamo: y = bx

2 πks

b = R

( )

ln ro

x = δ

y = Q

Con il metodo dei minimi quadrati calcoliamo:

x

∑ ¿

¿

¿

b = 2 −¿ ¿

x ∑ ¿

n

∑ ∑ ∑

n∙ xy− x ∙ y

¿

x y xy x^2

1,8 0,0015 0,0027 3,24

4 0,0043 0,0172 16

6,8 0,0105 0,0714 46,24

8,5 0,013 0,1105 72,25

12,3 0,017 0,2091 151,29

16 0,0215 0,344 256

20 0,025 0,5 400

25 0,03 0,75 625

1570,0

94,4 0,1228 2,0049 2

Σ 0,0012

b 2 2 πks

b = R

Dalla formula ricaviamo il valore di k:

)

ln( ro

R

( )

ln

∙

k = b = 0,000139 cm/s

ro

2 πs δ

3. Per calcolare l’abbassamento utilizziamo la formula :

δ

Q = 2πks ∙ dove x rappresenta la distanza dall’asse del pozzo.

R )

ln( x

δ

Ricaviamo per formula inversa :

R

( )

Q ∙ ln = 1,59 m

δ = x

2 πks

 Batteria di pozzi in falda artesiana

100m

A B

100m

100m O D

C 100m

Si consideri una batteria di pozzi distribuiti l’uno dall’altro ad una distanza di 100m e

distanti ciascuno dal centro 70m come schematizzato in figura. Si calcoli K e

l’attraversamento in O,δo, per emungimento di A,B,C,D. Siano :

R = 500m ; d = 1m (diametro) ; s = 20m

3 3 3 3

Q = 0.008 m /s ; Q = 0.01 m /s ; Q = 0.01 m /s ; Q = 0.007 m /s

A B C D

Consideriamo il caso del pozzo C , con i seguenti dati:

Q(m^

3/s)

δ(m)

0,37 0,004

0,54 0,006

0,69 0,008

0,87 0,01

1,05 0,012

1. Realizziamo la curva caratteristica del pozzo:

Q(m^3/s)

0.01

0.01

0.01 Q(m^3/s)

0.01

0.01

0

0

0

0.37 0.54 0.69 0.87 1.05

Per realizzare i calcoli che risolvono tale esercizio utilizziamo lo schema di Dupuit.

dh

1. ∙ ∙ ∙

Q = v A dove A = 2πrs e v = k J Q = k2πrs dr

Integrando tale relazione:

R h

Q

∫ ∫

=

dr h dh

2 π rks

ro ho δ

Otteniamo : Q = 2πks ∙ R )

ln( ro

Q= bx

Poniamo: y = bx

2 πks

b = R

( )

ln ro

x = δ

y = Q

Con il metodo dei minimi quadrati calcoliamo:

x

∑ ¿

¿

¿

b = 2 −¿ ¿

x ∑ ¿

n

∑ ∑ ∑

n∙ xy− x ∙ y

¿ y xy x^2

x 0,0014

0,37 0,004 8 0,1369

0,0032

0,54 0,006 4 0,2916

0,0055

0,69 0,008 2 0,4761

0,87 0,01 0,0087 0,7569

1,05 0,012 0,0126 1,1025

0,0315

3,52 0,04 4 2,764

Σ 0,0118

b 21

Nb ro = d 2 πks

b = R

Dalla formula ricaviamo il valore di k:

)

ln( ro

R

( )

ln

∙

k = b = m/s

ro

2 πs

k = 0,00058 m/s δ

Per calcolare l’abbassamento utilizziamo la formula :

δ

Q = 2πks ∙ dove x rappresenta la distanza dall’asse del pozzo.

R )

ln( x

δ

Ricaviamo per formula inversa :

R

( )

Q c ∙ ln =

δ = 0,267622 m

x

c 2 πks

2. Per calcolare l’attraversamento in “O” per emungimento di A , B , C, D

utilizziamo la seguente formula:

R

Xi

¿

1 ¿

δ = )] = 0,936679 m

o 2 πsk ¿

Qi ln

¿

∑ ¿

 Regime transitorio.

Si consideri un pozzo terebrato in falda in pressione intorno al quale sono disposti

radialmente 3 piezometri P , P P distanti x , x x dal centro del pozzo. Si hanno i

1 2, 3 1 2, 3

seguenti dati:

s = 10m

D = 1,5 m

Q = 0.04 m^3/s (portata emunta) Δi(x

Si calcoli l’andamento delle depressioni con il tempo ) per il piezometro P , P

t 1 2,

μ(coefficiente

P e i valori caratteristici della falda, di immagazzinamento) e T

3

(trasmissività).

X = 10m ; X = 25m ; X = 60m

1 2 3

t (s) (m) (m) (m)

Δ1 Δ2 Δ3

100 0,1 0 0

200 0,18 0 0

300 0,2 0 0

500 0,25 0,01 0,02

1000 0,3 0,05 0,04

2000 0,4 0,1 0,07

3000 0,44 0,18 0,09

5000 0,5 0,2 0,1

7000 0,52 0,3 0,15

10000 0,57 0,35 0,18

20000 0,69 0,39 0,23

1. Si parte dalla formula riguardante il regime transitorio derivante dalla teoria

di Theis-Jacob: 2

−μ x

Q t 4 πT

∙

= dt

e

Δ(x ) ∫ dove t = tempo ; T = trasmissività

t 4 πT t

0

Da qui arriviamo alla formula

2.25 tT

Q ∙

=

Δ(x ln

)

t 2

4 πT μ x

2.25 tT 2.25 T

Q Q

Δ(x ) = 0.183 log = 0.183 [log + logt ]

t 2 2

T T

μ x μ x

Indichiamo con:

Q

0.183

a = T T

Q

b = 0.183 log( 2.25 )

2

T μ x

 PIEZOMETRO P

1

Δ (x ) = b + a logt

1 t 1 1

a e b li calcoliamo attraverso il metodo dei minimi quadrati:

1 1 x

∑ ¿

¿

b = ¿

¿

∑ ∑ ∑ ∑

2

xy ∙ x− x ∙ y

¿

x

∑ ¿

¿

¿ Δ

a = con xi = log t ; yi =

2 −¿ ¿

x i

∑ ¿

n

∑ ∑ ∑

n∙ xy− x ∙ y

¿

y x XY X^2

0,1 2,0000 0,2000 4

5,2947

0,18 2,3010 0,4142 39

6,1361

0,2 2,4771 0,4954 3

7,2844

0,25 2,6990 0,6747 39

0,3 3,0000 0,9000 9

10,896

0,4 3,3010 1,3204 8

12,090

0,44 3,4771 1,5299 37

13,682

0,5 3,6990 1,8495 38

14,784

0,52 3,8451 1,9995 78

0,57 4,0000 2,2800 16

18,498

0,69 4,3010 2,9677 86

35,100 14,631 117,66

4,15 4 3 85

Σ 0,2451

a 68

1 -

0,4050

b 4

1

Dalle formule : T

Q Q

0.183 ; b = 0.183 log( 2.25 )

a = 2

T T μx

Ricaviamo : Q = 2

T = 0,183 0,029857 m /s

1 a1

−b 1 ∙

a 1

2.25 ∙ 10 T 1

μ = = 0,03015362

2

x 1

Si effettuano gli stessi passaggi per gli altri piezometri :

 PIEZOMETRO P 2

Nella sommatoria non si considerano i primi tre valori poiché sono nulli; quindi

cambia anche il numero del campione n.

y x XY X^2

0 2,0000 0,0000 4

5,2947

0 2,3010 0,0000 39

6,1361

0 2,4771 0,0000 3

7,2844

0,01 2,6990 0,0270 39

0,05 3,0000 0,1500 9

10,896

0,1 3,3010 0,3301 8

12,090

0,18 3,4771 0,6259 37

13,682

0,2 3,6990 0,7398 38

14,784

0,3 3,8451 1,1535 78

0,35 4,0000 1,4000 16

18,498

0,39 4,3010 1,6774 86

28,322 6,10369 102,23

1,58 22 96 76

Σ 0,2590

a 31

-

0,7195

b 4

Q = 2

T = 0,183 0,028259 m /s

2 a 2

−b 2 ∙

a 2

2 . 25 ∙10 T 2

μ = = 0,060993291

2 2

x 2

PIEZOMETRO P

 3

y x XY X^2

0 2,0000 0,0000 4

5,2947

0 2,3010 0,0000 39

6,1361

0 2,4771 0,0000 3

7,2844

0,02 2,6990 0,0540 39

0,04 3,0000 0,1200 9

10,896

0,07 3,3010 0,2311 8

12,090

0,09 3,4771 0,3129 37

13,682

0,1 3,6990 0,3699 38

14,784

0,15 3,8451 0,5768 78

0,18 4,0000 0,7200 16

18,498

0,23 4,3010 0,9892 86

28,322 3,37389 102,23

0,88 22 1 76

Σ 0,1312

a 5

-

0,3546

b 6

Q = 2

T = 0,183 0,055771 m /s

3 a3

−b 3 ∙

a 3

2 . 25 ∙10 T 3

μ = = 0,017557998

3 2

x 3

Calcolo di e :

μ́

T́ 2

= 0,037962 m /s

T́ = 0,036235

μ́ 2. Calcolo del raggio d’influenza R :