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x

2 x

1

Figura 4: Curve di indi¤erenza di un bene (x ) e un "male" (x )

2 1

5.4 Il vincolo di bilancio

Come è già stato detto, per risolvere il problema di ottimo del consumatore è necessario considerare due

elementi fondamentali: le preferenze del consumatore (appena trattate) e il vincolo di bilancio.

Il è il vincolo a cui è soggetto il consumatore dato il suo reddito limitato.

vincolo di bilancio

Consideriamo due beni, x e x , i rispettivi prezzi, p e p , e il reddito del consumatore, R. Il vincolo

1 2 1 2

di bilancio può essere rappresentato da una retta, la cosiddetta retta di bilancio. La è

retta di bilancio

il luogo geometrico di tutte le combinazioni di x e x per cui la spesa totale è uguale al reddito. In altri

1 2

termini, lungo la retta di bilancio si individuano tutti i panieri di beni il cui acquisto esaurisce il reddito del

consumatore. Formalmente, p x + p x = R (22)

1 1 2 2

che possiamo riscrivere come quantità del bene x in funzione del bene x :

2 1

R p 1

x = x (23)

2 1

p p

2 2

Scritto in questo modo, si può immediatamente notare che la pendenza della retta di bilancio è pari a

p , ossia il prezzo relativo dei due beni. Esso indica il tasso a cui si può sostituire un bene con un altro,

1

p

2

lasciando invariata la spesa complessiva.

Si noti che se tutto il reddito è destinato al consumo del bene x (per cui x = 0) allora il consumatore

1 2

può acquistare R=p unità del bene (intercetta orizzontale della retta di bilancio); se tutto il reddito viene

1

speso per acquistare solamente il bene x (quindi x = 0), allora il consumatore può acquistare R=p unità

2 1 2

del bene (intercetta verticale della retta di bilancio). Ovviamente il consumatore può scegliere di consumare

qualsiasi combinazione intermedia dei beni x e x lungo la retta. Qualsiasi paniere sopra la retta di bilancio

1 2 38

del consumatore non è raggiungibile, mentre ogni paniere sotto la retta di bilancio garantisce un’utilità

minore di quella garantita dai panieri che rispettano il vincolo di bilancio (non è una scelta razionale).

Se si veri…ca una delle seguenti circostanze, la retta di bilancio si sposta:

Un aumento del reddito R (Figura 5a) comporta uno spostamento parallelo verso l’esterno del vincolo

di bilancio (pertanto l’inclinazione del vincolo di bilancio rimane invariato, non essendo cambiati i

prezzi dei beni).

Un aumento del prezzo di un bene, ad esempio del bene x (Figura 5c), a parità di reddito e del prezzo

2

dell’altro bene, causa una riduzione del consumo del bene x . In tal caso, l’intercetta orizzontale non si

2

modi…ca (caso in cui tutto il reddito è speso nell’acquisto del bene x ), mentre il vincolo di bilancio si

1

sposta, ruotando verso l’interno e facendo perno sul punto (x ; 0). Viceversa, nel caso di una riduzione

1

del prezzo la retta di bilancio ruota verso l’esterno facendo perno sull’intercetta orizzontale.

Analogamente, un aumento del prezzo del bene x (Figura 5b), a parità di reddito e del prezzo dell’altro

1

bene, causa una riduzione del consumo del bene x . In tal caso, l’intercetta verticale non si modi…ca

1

(caso in cui tutto il reddito è speso nell’acquisto del bene x ), mentre il vincolo di bilancio si sposta,

2

ruotando verso l’interno e facendo perno sul punto (0; x ). Viceversa, nel caso di una riduzione del

2

prezzo la retta di bilancio ruota verso l’esterno facendo perno sull’intercetta verticale.

x x x

2 2 2 Δp +

2

ΔR+ Δp -

1 Δp -

Δp 2

+

ΔR- 1

x x x

1 1 1

Figura 5: Spostamenti della retta di bilancio dovuti alla variazione del reddito o dei prezzi dei beni

5.5. La scelta ottima del consumatore

Una volta compresi i due elementi che costituiscono il problema del consumatore (le preferenze e il vincolo

delle risorse), possiamo ora a¤rontare come il consumatore sceglie quanto acquistare di ciascun bene.

39

L’obiettivo del consumatore è quello di massimizzare l’utilità (ossia la soddisfazione che si trae dal con-

sumo di un paniere), dato il reddito di cui dispone.

La scelta ottimale deve soddisfare due condizioni:

i) il paniere scelto deve giacere sulla retta di bilancio. In altri termini, tutto il reddito disponibile deve

essere speso per l’acquisto dei beni che costituiscono il paniere ottimale;

ii) il consumatore sceglie quella combinazioni di beni che massimizza la propria utilità. Ciò signi…ca che

il paniere scelto deve essere posizionato sulla curva di indi¤erenza più esterna possibile.

Mettendo insieme queste due condizioni, si ottiene la soluzione al problema di ottimizzazione del con-

sumatore.

Gra…camente, ciò corrisponde ad individuare quel punto in cui la curva di indi¤erenza più esterna tocca

la retta di bilancio.

In generale, i panieri bilanciati (costituiti da combinazioni di diversi beni) sono preferiti e corrispondono

alle cosiddette "soluzioni interne". In tal caso, la curva di indi¤erenza è tangente alla retta di bilancio, ossia

le due curve hanno la stessa pendenza e si toccano in un solo punto.

x

2 U=f(x , x )

1 2

E*

x*

2 U 3

U 2

U

1 x

x* 1

1

Figura 6: Curve di indi¤erenza di un bene (x ) e un male (x )

2 1

Dato che la pendenza della retta di bilancio è data dal rapporto tra i prezzi dei due beni con segno

negativo ( p =p ), mentre la pendenza della curva di indi¤erenza è data dal saggio marginale di sostituzione

1 2

(SM S), la soddisfazione del consumatore è massima quando il saggio marginale di sostituzione tra x e x

1 2

in valore assoluto (jSM S j) è uguale al rapporta tra i prezzi dei due beni (p =p ):

x ;x 1 2

1 2 p 1

jSM Sj = (24)

p 2

Ciò corrisponde ad a¤ermare che il bene…cio marginale (o utilità marginale) è uguale al costo marginale

(rapporto tra i prezzi) associato al consumo di una unità aggiuntiva di bene.

40

L’ misura la maggior soddisfazione che si trae dal consumo di un’unità addizionale di

utilità marginale

un bene.

Se la variazione della quantità del bene è in…nitesimale, l’utilità marginale corrisponde alla derivata

dell’utilità complessiva del consumatore rispetto alla quantità del bene.

In generale, l’utilità marginale è decrescente poiché all’aumentare del consumo di un bene, l’ulteriore

soddisfazione che si trae dal consumo di unità aggiuntive diminuisce.

Si dimostra che il saggio marginale di sostituzione è uguale al rapporto tra l’utilità marginale di x e

1

l’utilità marginale di x .

2 @u(x ; x )=@x

0

u 1 2 1

x

1 = (25)

SM S = @u(x ; x )=@x

0

u 1 2 2

x

2

Quindi, la soddisfazione del consumatore è massima quando

p p

0 0

u u

1 1

x x

1 1

SM S = = =

() (26)

p p

0 0

u u

2 2

x x

2 2

Fanno eccezione le cosiddette "soluzioni d’angolo" in cui la curva di indi¤erenza più esterna tocca il

vincolo di bilancio in una delle sue intercette (ma le due curve non sono tangenti) e il paniere ottimale è

costituito da un solo bene (x nel caso in cui la curva di indi¤erenza più esterna tocca il vincolo di bilancio

1

nel punto di intercetta orizzontale o x se la curva di indi¤erenza più esterna tocca il vincolo di bilancio nel

2

punto di intercetta verticale). In tal caso il SMS del consumatore non è uguale al rapporto tra i prezzi (si

veda l’esercizio 7).

5.6. Ottimizzazione vincolata

Formalmente, il problema del consumatore può essere scritto nel modo seguente:

max u(x ; x ) (27)

1 2

x ;x

1 2

s:t: p x + p x = R (28)

1 1 2 2

Per risolvere questo problema di ottimizzazione vincolata si può ricorrere a tre metodi alternativi: il

metodo della tangenza, il metodo di sostituzione e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

A) Metodo della tangenza tra curva di indi¤erenza e vincolo di bilancio

Abbiamo visto che, data la funzione di utilità u(x ; x ); la pendenza di una sua generica curva di indi¤erenza

1 2

è data dal saggio marginale di sostituzione (SMS): @u(x ; x )=@x

0

u 1 2 1

x

1 = (29)

jSM Sj = @u(x ; x )=@x

0

u 1 2 2

x

2 41

La condizione di tangenza tra la retta di bilancio e la curva di indi¤erenza implica l’uguaglianza tra il

SMS e il rapporto tra i prezzi: @u(x ; x =@x p

1 1

2) 1

= (30)

@u(x ; x )=@x p

1 2 2 2

Attraverso il il problema di ottimo vincolato del consumatore si riduce alla

metodo di tangenza,

soluzione di un sistema di due equazioni (la (28) e la (30)) in due incognite, x e x .

1 2

Risolvendo il sistema di equazioni si individuano le scelte ottimali di consumo x e x .

1 2

B) Metodo di sostituzione

E’ possibile risolvere il problema di massimizzazione vincolata esplicitando il vincolo di bilancio rispetto

a uno dei due beni, ad esempio x , in funzione dell’altro bene (x ) e del reddito (R) e successivamente,

2 1

sostituendo l’espressione ottenuta nella funzione obiettivo:

R p 1 x (31)

x (x ) = 1

2 1 p p

2 2 R p 1

max u(x ; x ) =) max u(x ; x ) (32)

1 2 1 1

p p

x ;x x ;x 2 2

1 2 1 2

Attraverso la sostituzione nella funzione di utilità del vincolo scritto in forma esplicita x (x ; R), si ottiene

2 1

un problema di massimizzazione non vincolata.

Pertanto, per risolvere tale problema, è su¢ ciente di¤erenziare rispetto a x e porre il risultato uguale a

1

zero. Risolvendo l’equazione rispetto a x e combinandola al vincolo di bilancio si ottengono i valori ottimali

1

dei beni (x ; x ).

1 2

C) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

Dato il problema di ottimo vincolato descritto dalla (27), il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si basa

sulla costruzione di una funzione ausiliaria da massimizzare, chiamata Lagrangiana:

L = u(x ; x ) (p x + p x R): (33)

1 2 1 1 2 2

La nuova variabile è chiamata e moltiplica il vincolo scritto in forma im-

moltiplicatore di Lagrange

22

plicita. Il teorema di Lagrange a¤erma che una scelta ottima (x ; x ) deve soddisfare le seguenti condizioni

1 2

del primo ordine: 8 @u (x ; x )

@L

>

> 2

1

> = p = 0

> 1

> @x @x

< 1 1 )

@L @u (x ; x

1 2

= p = 0

2

> @x @x

>

> 2 2

> @L

>

: + p x R =0

= p x

1 2

1 2

@

2 2 Il moltiplicatore di Lagrange rappresenta la variazione dell’utilità che consegue da un allentamento del vincolo. In questo

contesto di massimizzazione dell’utilità del consumatore, il moltiplicatore di Lagrange corrisponde all’utilità marginale del

reddito. 42

Con questo metodo si ottiene un sistema formato da tre equazioni in tre incognite da cui si ricavano i

valori ottimali x e x .

1 2

5.7. Le curve prezzo-consumo, reddito-consumo e la curva di Engel

Una variazione del prezzo di un bene, a parità di reddito e del prezzo del’altro bene, spinge il consumatore a

scegliere un diverso paniere di mercato. Se si uniscono con una linea i panieri che massimizzano l’utilità del

consumatore in corrispondenza di diversi livelli di prezzo si ottiene la disegnata

curva di prezzo-consumo,

nel piano cartesiano {x ,x }. Tale curva mostra come cambia il paniere che massimizza l’utilità al variare

1 2

del prezzo di uno dei due beni. Lo stesso comportamento, se riportato nel piano cartesiano {x ,p } dove i è

i i

il bene il cui prezzo cambia, individua la curva di domanda di quel bene. Quindi, la curva di domanda

esprime la relazione tra la quantità di un bene acquistata da un consumatore e il suo prezzo.

individuale

Una variazione del reddito, mantenendo costanti i prezzi, induce i consumatori a scegliere panieri di

mercato di¤erenti. Se si uniscono con una linea tutti i panieri che massimizzano l’utilità del consumatore

al variare del reddito, si ottiene la disegnata nel piano cartesiano {x ,x }.

curva di reddito-consumo, 1 2

Tale curva mostra come cambia il paniere che massimizza l’utilità al variare del reddito del consumatore.

Lo stesso comportamento, se riportato nel piano cartesiano {x , R}, dove i è uno dei due beni considerati,

i

individua la curva di Engel. Pertanto, la esprime la relazione tra la quantità domandata di

curva di Engel

un bene e il livello di reddito del consumatore.

Se la curva di Engel ha pendenza positiva, il bene è un (il consumatore aumenta il consumo

bene normale

di quel bene all’aumentare del suo reddito). Se ha pendenza negativa è un (all’aumentare

bene inferiore

del reddito, il consumatore riduce il consumo di quel bene).

Inoltre, se la curva di Engel cresce in maniera decrescente, il se cresce in

bene è di prima necessità;

23

maniera crescente il bene è di lusso.

2 3 Si noti la correlazione tra la forma delle curve di Engel e il valore dell’elasticità della domanda al reddito.

43

x x

2 2

prezzo-consumo reddito-consumo

Δp ΔR

1 x

x

p 1

R

1

1 Curva di domanda Curva di Engel

x x

1 1

Figura 7: Curve di prezzo-consumo, di reddito-consumo, di Engel e di domanda

Esercizi proposti

ESERCIZIO 1. Si consideri un consumatore le cui preferenze tra due beni x e x sono rappresentate dalla funzione

1 2

1=4 3=4

di utilità u(x ; x = x x . Il consumatore dispone di un reddito R = 800. I prezzi di mercato dei

1 2) 1 2

due beni sono, rispettivamente, p = 2 e p = 4.

1 2

a) Si determini analiticamente la scelta ottima del consumatore.

b) Si rappresenti gra…camente il problema.

SOLUZIONE:

(a) L’individuo sceglierà quella combinazione di beni che massimizza la propria utilità, rispettando il vincolo

di bilancio a cui è soggetto. In termini più generali, possiamo scrivere il problema del consumatore in

questo modo: 1=4 3=4

max u(x x ) = x x

1 2 1 2

x x

1 2

s:t: 800 = 2x + 4x

1 2

Come abbiamo visto, il problema può essere risolto in tre modi:

Metodo di sostituzione

(a1) 44

x

Possiamo esplicitare dal vincolo di bilancio e sostituire l’espressione così ottenuta nella funzione obi-

2

ettivo da massimizzare, in modo da trasformare il problema da ottimo vincolato a ottimo libero:

1 2 1

x = 800 x ) x = 200 x

2 1 2 1

4 4 2

1

1=4 3=4 1=4 3=4

x )

u(x ; x ) = x x ) u(x ) = x (200 1

1 2 1

1 2 1 2

x x

Otteniamo una funzione di utilità in una sola variabile . Per trovare il valore di che massimizza la

1 1

funzione di utilità dati i prezzi dei due beni e il reddito, dobbiamo calcolare la derivata prima e porla

uguale a zero: 1 1 3 1 1

du 3=4 1=4

3=4 1=4

= x (200 x ) + x (200 x ) =0

1 1

1 1

dx 4 2 4 2 2

1

x = 100

Si ottiene .

1 x x

Per determinare la quantità ottimale di possiamo sostituire nel vincolo di bilancio, dati i prezzi e

2 1

x = 150

il reddito del consumatore. Da ciò si ricava .

2

Ne consegue che il paniere ottimale che massimizza l’utilità del consumatore contiene 100 unità del bene

2 4

x x

e 150 unità del bene .

1 2

Uguaglianza tra SMS e rapporto tra i prezzi

(a2) Per applicare questo metodo è necessario seguire tre fasi:

I) Determinare il SMS (pendenza della curva di indi¤erenza in valore assoluto). In valore assoluto, il

2 5

saggio marginale di sostituzione tra due beni è pari al rapporto tra le utilità marginali:

( 3=4) 3=4

1 x x

@u(x ; x )=@x 1 x

1 2 1 2

1 2

4

jSM Sj = =

= 1=4 ( 1=4)

@u(x ; x )=@x 3 x

3 x x

1 2 2 1

1 2

4

II) Determinare il rapporto tra i prezzi (pendenza del vincolo di bilancio in valore assoluto):

2

p 1 =

p 4

2

III) Uguagliare SMS e rapporto tra i prezzi (condizione di ottimo o di tangenza - questa uguaglianza

impone che nel punto di ottimo la curva d’indi¤erenza più esterna sia tangente al vincolo di bilancio,

ossia che le due curve abbiano la medesima pendenza):

p 1 x 2

1 2

jSM Sj = , =

p 3 x 4

2 1

2 4 Per veri…care che il paniere e¤ettivamente massimizzi e non minimizzi l’utilità del consumatore è necessario

2

d u

ricorrere alla derivata seconda della funzione di utilità rispetto a . Se la derivata seconda allora si ha un

x 0

1 2

dx 1

massimo.

Nel caso in questione, la derivata seconda assume sempre segno negativo e quindi il paniere trovato è un massimo.

Veri…catelo! h i o

n 2 (7=4) (7=4) 1=4

3=4 3=4 5=4

d u 3 1 3 1 3 1

= x (200 x ) + x (200 x ) + x (200 x ) < 0

1 1 1

2 1 1 1

16 2 16 2 64 2

dx 1

2 5 Si ricordi che l’utilità marginale di un bene è data dalla derivata parziale della funzione di utilità rispetto alla

quantità del bene considerato. 45

IV) Mettere a sistema il vincolo di bilancio con l’equazione che uguaglia il SMS e il rapporto tra i prezzi

e risolvere il sistema di due equazioni in due incognite. In questo modo si ottengono le quantità dei beni

che compongono il paniere ottimale.

x 24

1 3

= x = x x = 100

2 2 1 1

3 x 2 )

)

1 32 x = 150

800 = 2x + 4 x

800 = 2x + 4x 1 1

1 2 2

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

(a3) Questo metodo richiede che venga impostata una particolare funzione ausiliaria da massimizzare, chiamata

Lagrangiana. Questa funzione fonde in un’unica formula il vincolo di bilancio scritto in forma implicita

e la funzione da massimizzare (o minimizzare):

L = u(x x ) [p x + p x R]

1 2 1 1 2 2

1=4 3=4

L = x x [2x + 4x 800]

1 2

1 2

Per risolvere il problema è necessario determinare le cosiddette condizioni del primo ordine (note anche

x ; x ;

come F.O.C. o C.P.O.), ossia calcolare le derivate parziali della Lagrangiana rispetto a e porle

1 2

uguale a zero: 1

@L ( 3=4) 3=4

x x 2 =0

= 0 ) 1 2

@x 4

1

@L 3 1=4 ( 1=4)

x x 4 =0

= 0 ) 1 2

@x 4

2

@L = 0 ) 2x + 4x 800 = 0

1 2

@

Esplicitando dalle prime due condizioni del primo ordine e combinando le due equazioni, si ottiene

x x

un’unica equazione in due incognite ( e ).

1 2

3=4 3=4

18

@L = 0 ) = x x 1 3 3

3=4 3=4 1=4 1=4

1 2

@x ) x x = x x ) x = x

1 2 1

1 2 1 2

1=4 1=4

3

@L 8 16 2

= 0 ) = x x

1 2

@x 16

2

Successivamente, mettendo a sistema la relazione così ottenuta con il vincolo di bilancio, è possibile

x

x e .

determinare i valori ottimali di 1 2 32 x = 100

x = x

2 1 1

) x = 150

800 = 2x + 4x

1 2 2

ESERCIZIO 2. Un consumatore ha funzione di utilità u(x ; x = x x con vincolo di bilancio p x + p x = m. Si

1 1 2 1 1 2 2

2)

chiede di determinare le funzioni di domanda ottimale per entrambi i beni, sapendo che m = 10000

euro, p = 40 e p = 80. (A.M.)

1 2 46

Utilizzando le regole delle derivate parziali, otteniamo per prima cosa il SMS, dato da:

@u(x ; x )=@x x

1 2 1 2

SM S = = :

@u(x ; x )=@x x

1 2 2 1

Dalla condizione di tangenza tra curva di indi¤erenza e vincolo di bilancio troviamo:

x p x 40 1

2 1 2 = (34)

= () =

x p x 80 2

1 2 1

Possiamo quindi costruire un sistema tra (34) ed il vincolo di bilancio, che, sostituendo gli opportuni valori

40x + 80x = 10000

numerici, diventa :

1 2

8 (

x 1

< 1

2 = x

x = 1

2

=)

x 2 2

1

: 40x + 40x = 10000

40x + 80x = 10000 1 1

1 2 1 x = 62:5

x

x = 1

2 2

2 =) x = 125

80x = 10000

1 1 x = 125 x = 62:5

La scelta ottimale del consumo dei due beni corrisponde quindi a e .

1 2

21

ESERCIZIO 3. Data la funzione di utilità u(x ; x = x x , calcolare la domanda ottimale dei due beni sapendo che

1 2

2)

l’individuo dispone di un reddito monetario m = 3600 e che p = 30 e p = 60. (A.M.) - Soluzione:

1 2

x = 80; x = 20.

1 2

ESERCIZIO 4. Data la funzione di utilità u(x ; x ) = 2x x , determinare le funzioni di domanda ottimale sapendo

1 2 1 2

che m = 80 euro, p = 20 e p = 10. (A.M.) - Soluzione: x = 2; x = 4.

1 2 1 2 1

ESERCIZIO 5. La funzione di utilità di un consumatore è data da u(x ; x ) = x x con vincolo di bilancio p x +

1 2 1 1

1 2

p x = m. Determinare le funzioni di domanda ottimale per entrambi i beni. Quale proprietà delle

2 2

funzioni Cobb-Douglas possibile utilizzare? (A.M.)

In questo caso è possibile sfruttare le proprietà delle funzioni di utilità Cobb-Douglas con esponenti la

cui somma è uno. Il consumatore decide quindi di allocare una frazione …ssa del suo reddito al consumo

dei due beni, e tale frazione è data proprio dagli esponenti della funzione di utilità. La soluzione è

quindi data da m m

x = a e x = (1 a)

2

1 p p

1 2

ESERCIZIO 6. Curve di Engel

Le preferenze di Mario sono espresse dalla seguente funzione di utilità: u(x ; x ) = x x . I prezzi dei

1 2 1 2

due beni ammontano rispettivamente a p = 5 e p = 10.

1 2

47

a) Si determinino le curve di Engel per i due beni.

b) x e x sono beni normali o inferiori?

1 2

SOLUZIONE:

Una curva di Engel è una funzione che mette in relazione il consumo di un singolo bene con il reddito a

disposizione del consumatore. In particolare, essa indica come varia la quantità domandata al variare del

p p

reddito, dati i prezzi e :

1 2 x = f (R)

1

x = g(R)

2

In questo caso, le variabili da considerare non sono più quantità e prezzo ma quantità e reddito.

Per determinare e disegnare le curve di Engel è necessario imporre la condizione di ottimo del consumatore

jSM Sj = p =p

( ) e metterla a sistema con il vincolo di bilancio. L’unica di¤erenza rispetto ai casi trattati

1 2

in precedenza è che, in questo contesto, il reddito rimane incognito (non è speci…cato numericamente, essendo

una variabile). 8 x 5

< 2 =

x 10

1

: 5x + 10x = R

1 2

x x x x

Dalla prima equazione si ricava il valore di in funzione di (o, alternativamente di in funzione di )

1 2 2 1

x

e lo si sostituisce nel vincolo di bilancio, in modo da ottenere un’equazione in cui compaiono unicamente e

2

R x R

(o alternativamente, i valori di e ).

1

8 x 1

< 2 x = 2x

= 1 2

=)

x 2

1

: 20x = R

2

5x + 10x = R

1 2

Da questo sistema si possono ricavare le curve di Engel: R

x =

1 10

R

x =

2 20

R

Poichè entrambe le funzioni sono lineari e crescenti in , i beni sono normali: al crescere del reddito aumenta

la quantità domandata. 48

100

R 90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 0 1 2 3 4 5 6 7

x

Figura ES6

ESERCIZIO 7. Funzione di utilità lineare e beni sostituti (L.V.)

Pino consuma i beni x e x e dispone di un reddito di R = 100. Le sue preferenze sono descritte

1 2

dalla seguente funzione di utilità: u(x ; x ) = 2x + 8x . Il prezzo di mercato del bene x ammonta a

1 2 1 2 2

p = 8.

2

a) Si determini il SMS e si spieghi la relazione che intercorre tra i due beni.

b) Cosa succede se p = 4

1

c) Cosa succede se p = 2

1

d) Cosa succede se p = 1

1

SOLUZIONE: x x

a) Per conoscere la natura di e è necessario capire quale tipo di preferenze sia associato alla curva

1 2 x

d’indi¤erenza del consumatore. Esplicitando la funzione di utilità rispetto a , si ricava la mappa delle curve

2

1 1

x = u(x ; x ) x :

d’indi¤erenza: 2 1 2 1

8 4 1

In questo caso, l’insieme delle rette aventi inclinazione pari a rappresenta, in corrispondenza dei diversi

4

u(x ; x )

valori della funzione di utilità , la mappa delle curve d’indi¤erenza e i beni in questione sono beni

1 2 x x

sostituti. Per de…nire la domanda di e bisogna fare attenzione perché, in generale, con funzioni di

1 2

utilità lineari e beni perfetti sostituti si presentano soluzioni d’angolo. Infatti, la condizione di tangenza è

SM S

generalmente violata poiché il , ossia la pendenza della curva di indi¤erenza, è costante ed è raro che

p =p

coincida con la pendenza del vincolo di bilancio, . Il questo caso, il saggio marginale di sostituzione

1 2

49

1 26

SM S =

ammonta a . Ciò signi…ca che il nostro consumatore, quale che sia il livello di consumo, è

4 x x

disposto a scambiare un’unità del bene per un quarto unità di . Detto in altri termini, il consumatore

1 2

x 4 x p =p

è indi¤erente tra il consumo di 1 unità di e il consumo unità di . Il rapporto tra i prezzi

2 1 1 2

rappresenta la pendenza del vincolo di bilancio. jp =p j > jSM Sj

Pertanto, se il vincolo di bilancio è più ripido delle curve di indi¤erenza ( ), allora Pino

1 2

x

sceglierà di consumare solo (l’intercetta verticale è il punto che appartiene al vincolo di bilancio che tocca

2

la curva di indi¤erenza più esterna e quindi garantisce l’utilità maggiore nel rispetto del vincolo di bilancio).

jp =p j < jSM Sj

Se, invece, il vincolo di bilancio è meno ripido delle curve di indi¤erenza ( ), allora il con-

1 2

x

sumatore preferirà consumare solo perché l’intercetta orizzontale è quel punto appartenente al vincolo di

1 x

bilancio che tocca la curva di indi¤erenza più esterna. In tal caso, Pino valuta più il bene rispetto a quanto

1

viene valutato dal mercato e quindi acquisterà solo tal bene, nel rispetto del reddito disponibile.

In…ne, se la pendenza della curva di indi¤erenza e del vincolo di bilancio sono identiche, le due rette coincidono.

In tal caso si sovrappongono ed esistono in…niti punti di ottimo (tutti i punti sulla retta di bilancio).

Pertanto, in presenza di funzioni di utilità lineari, la funzione di domanda dei beni si può desumere a seconda

SM S p =p

della relazione tra e .

1 2

jp =p j < jSM Sj ) x ;

Se viene acquistato solo il bene

1 2 1

jp =p j > jSM Sj ) x ;

Se viene acquistato solo il bene

1 2 2

jp =p j = jSM Sj )

Se tutti i punti sulla retta di bilancio sono soluzioni di ottimo.

1 2

Nel caso speci…co: 1

4 > jSM Sj = ) x = 0; x = 12; 5

jp =p j =

b) 1 2

1 2 8 4

2 1

jp =p j = = jSM Sj = ) x ; x

c) tutte le combinazioni di che giacciono sul vincolo di bilancio

1 2 1 2

8 4

1

1 < jSM Sj = ) x = 100; x = 0

jp =p j =

d) 1 2

1 2 8 4

2 6 Potete calcolare il saggio marginale di sostituzione mettendo a rapporto l’utilità marginale di e l’utilità mar-

x

1

ginale di .

x

2 50

x

2 u(x ,x )=ax +bx

1 2 1 2 x

1

Figura ES7

ESERCIZIO 8. Funzioni maxmin e beni complementari

Un individuo dispone della seguente funzione di utilità u(x ; x ) = minf2x ; x g.

1 2 1 2

a) Si disegni la mappa delle curve di indi¤erenza e si descrivano le caratteristiche di questa struttura

delle preferenze.

b) Si determini la scelta ottimale quando i prezzi e il reddito destinato all’acquisto di questi due beni

sono, rispettivamente, p = p = 5 e R = 100.

1 2

c) Come varia la scelta ottima se p = 5, a parità di tutto il resto?

2

d) Cosa succede se u(x ; x ) = minfx ; x g?

1 2 1 2

SOLUZIONE:

a) La funzione d’utilità assegnata dice che, data una qualunque combinazione dei due beni, ciò che è rilevante

x = 2 x = 4

è il rapporto 1:2 dei due beni: avere ad esempio e dà al consumatore la stessa utilità di avere

1 2

x = 2 x = 10 x

e . Si tratta dunque di beni perfettamente complementari. Tipico esempio è la bicicletta ( )

1 2 1

x

e le ruote ( ).

2

Gra…camente le curve d’indi¤erenza saranno a forma di L. Per il consumatore sarà ottimale collocarsi lungo

un qualsiasi punto della curva che passa per i vertici delle curve di indi¤erenza (più schiacciate verticalmente).

Un qualsiasi altro punto comporterebbe l’acquisto di unità del bene inutili (ad esempio non serve acquistare 4

x = 2x

ruote e 1 bicicletta!). Per il consumatore è quindi ottimale collocarsi lungo la retta ; tutti gli altri

2 1

x x

punti contengono quantità inutili di o di . Nel punto d’angolo la funzione di utilità non è derivabile e

1 2

non possiamo utilizzare la condizione usuale di ottimo data dalla tangenza tra curva di indi¤erenza e vincolo

di bilancio. 51 2x = x

b) Per stabilire la scelta ottimale, accanto alla condizione di ottimo dobbiamo considerare il vincolo

1 2

5x + 5x = 100

di bilancio che, dato il caso speci…co, è pari a: . Ponendo a sistema le due equazioni si ricava

1 2

20 40

x = x =

e .

1 2

3 3

x 2 2x = x

c) Se il prezzo di è pari a , a parità di struttura delle preferenze, il punto di ottimo dato da

2 1 2

200

100 x =

5x + 2x = 100 x = e . Si noti

rimarrà invariato ma il nuovo vincolo sarà: . Da ciò si ricava

1 2 2

1 9 9

x

come una diminuzione del prezzo di determini una maggiore domanda ottimale di entrambi i beni (perché

2

sono complementari). u(x ; x ) = minfx ; x g;

d) La funzione d’utilità assegnata, dice che, data una qualunque combinazione dei

1 2 1 2 x = x = 2

due beni, ciò che è rilevante è la quantità minima tra i due: avere ad esempio dà al consumatore

1 2

x = 2 x = 50

la stessa utilità di avere e . Si tratta dunque di beni perfettamente complementari.

1 2

Gra…camente le curve d’indi¤erenza saranno a forma di L. Per il consumatore sarà ottimale collocarsi lungo un

qualsiasi punto della curva che passa per i vertici delle curve di indi¤erenza (della bisettrice del primo quadrante

nel caso speci…co). Un qualsiasi altro punto comporterebbe l’acquisto di unità del bene inutili (ad esempio non

serve acquistare 12 scarpe sinistre e 2 destre!). I consumatori danno uguale peso ad entrambi i beni (es. scarpa

destra e scarpa sinistra).

x x

2 2 x =2x

2 1

x =x

2 1 x x

1 1

Figura ES8

ESERCIZIO 9 E¤etti di una variazione di prezzo sulla domanda (A.M.) m

La funzione di domanda di benzina di un consumatore è pari a x = 1000 + con m = 15000. Il

b 10 p

b 0

prezzo iniziale è pari a p = 1 al litro, ma, a fronte di un rincaro esso aumenta …no a p = 1; 2 al

b b

litro. Trovate la variazione complessiva della domanda dovuta all’aumento del prezzo. Che tipo di

bene stiamo considerando?

SOLUZIONE:

Per prima cosa possiamo calcolare il valore della domanda iniziale e quello della domanda …nale:

15000

x = 1000 + = 2500 litri (35)

b 10 1

52

15000

0

x = 1000 + = 2250 litri (36)

b 10 1; 2

Dalla di¤erenza tra (36) e (35) si ottiene la variazione complessiva della domanda causata dalla variazione di

prezzo: 0

x = x x = 250 litri

b b

b

Il bene in questione è ordinario perché la domanda è calata a fronte di un aumento del prezzo.

ALTRI ESERCIZI Esercizi 1-4 e 13-16, capitolo V (C.L.). 53

6. Teoria della produzione

La teoria dell’impresa descrive il modo in cui le imprese prendono decisioni di produzione in modo da

minimizzare i costi, i quali variano in funzione della quantità prodotta. Data la tecnologia di produzione

delle imprese e i costi di produzione, dal comportamento dei produttori è possibile costruire l’o¤erta delle

singole imprese e conseguentemente l’o¤erta di mercato.

Per comprendere il comportamento delle imprese è necessario esaminare i seguenti elementi:

1. La ossia il modo in cui i fattori produttivi o input (lavoro, capitale, ecc.)

tecnologia di produzione,

vengono utilizzati in modo da essere trasformati in prodotto o output. Formalmente, per descrivere la

tecnologia si ricorre alla funzione di produzione.

2. Il le imprese devono massimizzare la produzione dati i costi di produzione o

vincolo di costo:

minimizzare i costi per produrre una data quantità di output. I costi di produzione sono determinati

in parte dai prezzi degli input.

3. La data la tecnologia di produzione e i prezzi dei fattori produttivi, ciascuna

scelta dei fattori:

impresa deve scegliere la migliore combinazione dei fattori da impiegare nella produzione.

Per la produzione dell’output, le imprese utilizzano svariati o Sono tanti i

fattori produttivi input.

fattori produttivi che le imprese possono utilizzare nel proprio processo produttivo (lavoro, capitale, materie

prime, terra, ecc.), tuttavia, per semplicità ne considereremo solamente due: il capitale, K, e il lavoro, L.

Inoltre, per produrre l’ l’impresa può combinare e trasformare i fattori produttivi in svariati modi.

output,

Formalmente la relazione tra la quantità di output e le quantità di fattori produttivi usati nel processo

produttivo, ossia la tecnologia di produzione dell’impresa, può essere descritta attraverso la funzione di

produzione. Una indica il massimo prodotto q che un’impresa può produrre per

funzione di produzione 27

ogni data combinazione di fattori produttivi: q = f (K; L) (37)

Per decidere quanto produrre è necessario confrontare i costi e i bene…ci marginali e medi.

Per fare ciò è necessario introdurre due concetti fondamentali nella teoria dell’impresa: il prodotto medio

e il prodotto marginale.

Il (o di un fattore produttivo (P M ) è il prodotto per unità

prodotto medio produttività media) input

di un fattore produttivo e si calcola dividendo il prodotto per le unità dell’input considerato:

2 7 La funzione di produzione descrive ciò che è tecnicamente possibile nel momento in cui l’impresa opera in maniera e¢ ciente

e dato lo stato dell’arte. Il progresso tecnologico tende a modi…care la funzione di produzione nel tempo, facendo produrre di

più a parità di fattori produttivi. 54 q

P M = (38)

input input

Ad esempio, il prodotto medio del lavoro P M si ottiene dividendo il prodotto totale q per le unità (ore

L

lavorate, numero di lavoratori ecc.) di lavoro L.

Il (o rappresenta la quantità addizionale prodotta a

prodotto marginale produttività marginale)

seguito di un aumento marginale del fattore produttivo: dq

0 (39)

P =

input dinput

Prodotto totale, prodotto medio e prodotto marginale aumentano inizialmente per poi decrescere.

Tuttavia, per l’impresa non è conveniente né razionale posizionarsi nella porzione decrescente della curva

del prodotto totale poiché signi…cherebbe utilizzare più input per produrre di meno.

Si noti che:

il prodotto marginale è positivo in corrispondenza di un prodotto totale crescente, si annulla quando il

prodotto raggiunge il suo massimo per poi diventare negativo nella porzione decrescente della funzione

di produzione.

Quando il prodotto marginale è maggiore del prodotto medio, il prodotto medio è crescente, mentre

quando il prodotto marginale è minore del prodotto medio, il prodotto medio è decrescente, pertanto

prodotto marginale e prodotto medio si uguagliano nel punto in cui il prodotto medio è massimo.

Si consideri un qualsiasi punto lungo la curva del prodotto totale. Il prodotto medio di un fattore

produttivo corrisponde alla pendenza della retta uscente dall’origine degli assi che passa per il punto

considerato. Il prodotto marginale dell’input è dato dalla pendenza della tangente alla curva di prodotto

totale nel punto considerato. 55

P tot Prodotto totale

P medio input

P marginale Prodotto medio

Prodotto marginale

input

Figura 1: Produzione totale, prodotto medio e prodotto marginale

6.1. Rendimenti marginali e rendimenti di scala

In generale, i processi produttivi sono caratterizzati da un prodotto marginale decrescente dei fattori pro-

duttivi. Ciò signi…ca che man mano che si aumenta l’intensità d’uso di un input, a parità degli altri fattori,

28

si arriva a un punto oltre il quale l’apporto del fattore alla produzione totale inizia a diminuire.

Come è stato accennato, per calcolare il di un fattore è necessario calcolare la

rendimento marginale

derivata parziale del prodotto rispetto a un fattore, tenendo costanti tutti gli altri input:

@q

0

P = (40)

input @input

Per veri…care che il rendimento marginale del fattore sia crescente, costante o decrescente, si deve calcolare

la derivata seconda parziale del prodotto rispetto al fattore considerato (ossia la derivata rispetto all’input

della produttività marginale), tenendo costanti tutti gli altri input, e controllarne il segno:

8 0

@q < 0 ) P decrescente = rendimento marginale decrescente

<

@

2 input

@ q @input 0

= 0 ) P costante = rendimento marginale costante

= = (41)

input

:

2

@input @input 0

> 0 ) P crescente = rendimento marginale crescente

input

Pertanto, facendo variare un fattore produttivo alla volta è possibile valutare non solo la produttività del

fattore ma anche il fatto che il suo rendimento marginale sia crescente, costante o decrescente. Tuttavia,

se un’impresa vuole modi…care la sua scala di produzione o decidere su quale scala produrre è necessario

2 8 Attenzione a non confondere rendimenti marginali decrescenti con rendimenti negativi!

56

valutare come vari il prodotto modi…cando contemporaneamente e nella stessa proporzione tutti i fattori

produttivi.

In tal caso si parla di che corrispondono al tasso al quale il livello di produzione

rendimenti di scala

aumenta se si aumentano in misura proporzionale tutti i fattori produttivi.

I rendimenti di scala variano considerevolmente tra imprese diverse e settori produttivi di¤erenti.

Formalmente, data una generica funzione di produzione q = f (K; L), si studia la variazione dell’output

q nell’ipotesi che tutti i fattori di produzione vengano moltiplicati per un medesimo scalare t > 1. Tre

situazioni sono possibili:

f (tK; tL) > tq : Se, raddoppiando la quantità di tutti i fattori produttivi, il prodotto più che raddoppia,

allora l’impresa in questione presenta rendimenti di scala crescenti.

f (tK; tL) = tq : Se, raddoppiando la quantità di tutti i fattori produttivi, il prodotto esattamente raddoppia,

allora l’impresa in questione presenta rendimenti di scala costanti.

f (tK; tL) < tq : Se, raddoppiando la quantità di tutti i fattori produttivi, il prodotto aumenta meno del

doppio, allora l’impresa in questione presenta rendimenti di scala decrescenti.

6.2. Gli isoquanti e il saggio marginale di sostituzione tecnica

Come fa un’impresa a scegliere la giusta combinazione di fattori produttivi tra le tante alternative che

generano la stessa quantità di output?

Gra…camente possiamo rappresentare le possibili combinazioni di fattori produttivi che generano lo stesso

livello di produzione ricorrendo agli isoquanti. Un è una curva che descrive tutte le combinazioni

isoquanto

di fattori produttivi che generano lo stesso livello di output. Gli isoquanti hanno pendenza negativa e sono

convessi verso l’origine. Se nello stesso piano fL; Kg si considerano diversi isoquanti a cui corrispondono di-

versi livelli di output, si ottiene una che corrisponde alla rappresentazione gra…ca della

mappa di isoquanti, 29

funzione di produzione. Allontanandosi dall’origine degli assi si ottengono maggiori livelli di produzione.

2 9 Si noti l’analogia tra isoquanti e mappa di isoquanti con le curve di indi¤erenza e la mappa di indi¤erenza nella teoria del

consumatore. 57

K q=f(K,L) q L

Figura 2: Mappa di isoquanti

La pendenza dell’isoquanto indica in che misura un fattore può essere sostituito all’altro, mantenendo

costante il livello della produzione. Il valore assoluto della pendenza dell’isoquanto viene chiamato tecni-

camente e misura di quanto è possibile ridurre un

saggio marginale di sostituzione tecnica (SMST)

input (K) a fronte di un aumento di un altro input (L), a parità di livello di output (q). Se l’aumento

dell’input (L) è marginale, il SMST corrisponde a dK=dL (con il davanti se lo si vuole in valore assoluto):

dK

jSM ST j = (42)

dL

In generale, il valore assoluto del SMST è decrescente all’aumentare del fattore produttivo. Ciò signi…ca

che la produttività del singolo fattore è decrescente e implica la convessità degli isoquanti.

Inoltre si dimostra che la pendenza degli isoquanti, ossia il SMST, corrisponde al rapporto tra le produt-

tività marginali dei fattori produttivi: dK @q=@L

jSM ST j = = (43)

dL @q=@K

6.2.1 Funzioni di produzioni speciali

Nell’ampio spettro di possibili livelli di sostituibilità tra i fattori si presentano due casi limite: il caso di

fattori perfetti sostituti e, all’opposto, il caso di fattori in proporzioni …sse.

Nel caso di fattori perfetti sostituti, gli isoquanti sono linee rette e il SMST è costante in ogni punto

dell’isoquanto.

Diversamente, nel caso di funzioni di produzione a proporzioni …sse non è possibile sostituire tra loro

i fattori produttivi. Per aumentare il livello di produzione è necessario aumentare gli input nella stessa

proporzione. In questo caso gli isoquanti sono ad angolo retto e il SMST è 0 o 1.

58

K

K L

L

Figura 3: fattori produttivi perfetti sostituti o a proporzioni …sse

6.3. I costi di produzione

Data la tecnologia di produzione a disposizione, l’impresa decide come produrre scegliendo quella combi-

30

nazione ottimale di fattori che minimizza il costo di produzione.

In economia si distinguono diverse tipologie di costi

Costi …ssi vs. Costi variabili

Un costo si dice …sso (CF ) se non varia al variare del livello di produzione.

– Un costo si dice variabile (CV ) se varia in funzione del livello di produzione.

– La somma dei costi …ssi e dei costi variabili determina il (CT ).

– costo totale

Costo marginale vs Costo medio

0

Il costo marginale ( C ) rappresenta l’aumento di costo generato dall’aumento marginale della

– 0

produzione e corrisponde alla derivata del costo totale rispetto alla quantità dell’output: C =

@CT =@q.

Il costo medio (totale) corrisponde al costo totale diviso per il livello di produzione: CM = CT =q.

– Esso rappresenta il costo unitario di produzione e si può anche scomporre in due componenti:

Costo medio …sso (CM F ) pari al costo …sso diviso per il prodotto: CM F = CF=q.

Costo medio variabile (CM F ) pari al costo variabile diviso per il prodotto: CM V = CV =q.

Costi di breve periodo e Costi di lungo periodo

Nella …gura 4 sono rappresentate gra…camente le diverse tipologie di costo.

3 0 L’impresa, simmetricamente, può scegliere quella combinazione di fattori che massimizza l’output dato un vincolo di spesa

di produzione (problema duale). Come si vedrà tra poco, l’impresa anziché minimizzare i costi data la funzione di produzione,

può decidere di massimizzare il pro…tto sotto il vincolo tecnologico (la funzione di produzione).

59

C CT

CV

CF

q

C

medio

C C’

marginale CMT

CMV

CMF

q

Figura 4

Si noti che:

Le curve di costo totale e variabile sono parallele e inclinate positivamente. La loro distanza è pari al

costo …sso;

Il costo …sso è rappresentato da una semiretta parallela all’asse delle ascisse.

Le curve di costo medio (totale) e costo medio variabile sono a forma di U .

Il costo medio …sso è monotono e tendente a zero all’aumentare del livello di produzione. Infatti, è

rappresentato da una curva con inclinazione negativa.

Il costo marginale è a forma di U e interseca le curve di costo medio (totale) e costo medio variabile

nel loro punto di minimo.

6.4. La minimizzazione del costo

Nello studio delle scelte di produzione di un’impresa bisogna operare un’iniziale distinzione tra l’operazione

di massimizzazione del pro…tto e quella di minimizzazione del costo. A livello concettuale i due problemi

possono essere concepiti come identici e la teoria della dualità fornisce un fondamentale strumento per la

corretta interpretazione teorica dei due approcci. A livello di applicazioni si preferisce tuttavia separare i

due problemi e le relative tecniche di risoluzione.

In questa prima parte dell’esercitazione si intendono risolvere i problemi di minimizzazione dei costi

dell’impresa per un dato livello di produzione (e, simmetricamente, di massimizzazione dell’output, dato

l’ammontare pre…ssato di spesa di produzione). In questo caso la scelta ottimale da parte dell’impresa viene

intesa come domanda condizionale dei fattori produttivi.

60

La questione fondamentale dell’impresa si con…gura come un problema di minimo vincolato: quale com-

binazione di fattori consente di produrre un dato livello di produzione al minimo costo? Formalmente, si

tratta di minimizzare il costo di produzione data la tecnologia a disposizione dell’impresa.

La decisione dipenderà dai fattori produttivi considerati, dai rispettivi prezzi e dalla tipologia di mercato

in cui gli input sono scambiati. Per semplicità noi consideriamo due input, il capitale K e il lavoro L,

scambiati in mercati perfettamente concorrenziali al prezzo di, rispettivamente, r e w.

La funzione di costo totale da minimizzare può essere rappresentata dalla seguente funzione:

C = wL + rK (44)

Questa equazione rappresenta una ossia una curva che mostra tutte le possibili

retta di isocosto,

combinazioni degli input che possono essere acquistate a un dato costo totale. Variando il costo totale, C, a

parità dei prezzi degli input, si identi…ca un’altra curva di isocosto parallela alla precedente.

Esplicitando il capitale dalla (44) w

C L (45)

K = r r

Cr w

) e la sua pendenza ( ), pari al rapporto tra i

si può identi…care l’intercetta della retta di isocosto ( r

prezzi dei due fattori.

Gra…camente (Figura 5), dato un certo livello di produzione, q, per identi…care la combinazione ottimale

di fattori produttivi che consente di produrre tale livello di output al minimo costo è necessario trovare il

punto in cui la retta di isocosto più interna possibile tocca l’isoquanto q. In altri termini, ciò corrisponde

a trovare il punto di tangenza tra l’isoquanto q e la retta di isocosto più interna possibile. A quel punto

di tangenza corrisponderà, nel piano (L; K), la combinazione di fattori che, producendo q, consente di

minimizzare il costo di produzione.

K K

K 0

K 1 q

K* C

C C

C C 0

0 1

1 1 L L

L

L* L

0 1

Figura 5: scelta ottimale dell’impresa

Tecnicamente, ciò corrisponde ad imporre l’uguaglianza tra il saggio marginale di sostituzione tecnica

(che corrisponde alla pendenza dell’isoquanto) in valore assoluto e il rapporto tra i prezzi dei fattori (che

corrisponde alla pendenza della retta di isocosto con segno negativo):

61 0

dK P w

L

jSM ST j = = = (46)

0

dL r

P

K

Se viene fatto variare il livello di produzione selezionato dall’impresa, si possono costruire due curve:

il il quale descrive nel piano cartesiano fL; Kg, per ogni livello di produzione,

sentiero di espansione,

tutte le combinazioni di fattori produttivi scelte dall’impresa per minimizzarne il costo di produzione.

Questa curva è il luogo geometrico di tutti i punti di tangenza tra le rette di isocosto e gli isoquanti.

la dell’impresa, che descrive nel piano fq; Cg il costo minimo per produrre ogni

curva di costo totale

livello di output.

K C

Sentiero di espansione Costo totale

àq

Isoquanti

q i

3 à

Isocosti Ci

q 2

q

1 C C

C 2 3

1 q

L

Figura 6: sentiero di espansione e curva di costo totale

Formalmente, il problema di minimizzazione vincolata si può scrivere in questo modo.

min C = wL + rK (47)

L;K

s:t: q = f (L; K) (48)

Esiste un problema duale che produce gli stessi risultati e che richiede di determinare il livello massimo

di produzione spendendo una certa somma C:

max q = f (L; K) (49)

L;K

s:t: C = wL + rK (50)

62

Pertanto, lo stesso problema lo si può vedere o come minimizzazione di un costo per produrre un certo

livello di produzione o come massimizzazione dell’output da produrre spendendo un ammontare C.

Ancora una volta esistono tre metodi di risoluzione: il metodo della tangenza, il metodo della sostituzione

e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

A) Metodo della tangenza tra isoquanto e isocosto

Abbiamo visto che, data la generica funzione di produzione q = f (L; K); la pendenza (in valore assoluto) di

un generico isoquanto è data dal saggio marginale di sostituzione tecnica (SM ST ):

@q(L; K)=@L

0

P L = (51)

jSM ST j = @q(L; K)=@K

0

P K wr

La pendenza (in valore assoluto) della retta di isocosto è pari al rapporto tra il prezzo degli input: ( ).

La condizione di tangenza tra isoquanto e isocosto implica l’uguaglianza tra SM ST e rapporto tra i prezzi

dei fattori produttivi: @q(L; K)=@L w

= (52)

@q(L; K)=@K r

Attraverso il il problema di ottimo vincolato del produttore si riduce alla soluzione

metodo di tangenza,

di un sistema di due equazioni in due incognite, L e K.

Nel caso del problema di minimizzazione del costo dato un certo livello di produzione, il sistema di

equazioni è composto dalla (48) e dalla (52); nel caso della massimizzazione dell’output dato il costo di

produzione le due equazioni da considerare sono la (50) e la (52).

Risolvendo il sistema di equazioni si individua la combinazione ottimale dei fattori produttivi L e K .

B) Metodo di sostituzione

Per risolvere il problema di minimizzazione con il metodo della sostituzione è necessario esplicitare, in primo

luogo, la funzione di produzione rispetto a uno dei due fattori, ad esempio K. Successivamente, si deve

sostituire l’espressione ottenuta nella funzione obiettivo:

1

K(L) = f (L; q) (53)

1

min C(L; K) =) min C(l) = wL + rf (L; q) (54)

L;K L;K

Attraverso tale sostituzione, si ottiene un problema di minimizzazione non vincolata.

Pertanto, per risolvere tale problema, è su¢ ciente di¤erenziare rispetto a L e porre il risultato uguale a

zero. Si otterrà la combinazione ottimale dei fattori (L ; K ).

Si procede analogamente nel problema duale, esplicitando dapprima K dalla funzione di costo C, e

sostituendo il risultato nella funzione di produzione q(L; K); che si riduce a una funzione in una variabile

63

q(L). Poi si procede alla massimizzazione, derivando q(L) rispetto al lavoro e ponendo il risultato uguale a

zero.

C) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

Dato il problema di ottimo vincolato descritto dalla (47) e dalla (48), il metodo dei moltiplicatori di Lagrange

si fonda sulla costruzione della Lagrangiana:

L = C(L; K) (f (L; K) q) ) L = wL + rK (f (L; K) q): (55)

dove è il che moltiplica la funzione di produzione scritta in forma

moltiplicatore di Lagrange

implicita. Per trovare la scelta ottima dei fattori (L ; K ) ; devono essere contemporaneamente soddisfatte

le seguenti condizioni del primo ordine:

8 @L C(L; K)

>

> 0

= f = 0

>

> L

@L @L

< @L C(L; K) 0 (56)

=0

= f

> K

@K @K

>

>

> @L

: = f (L; K) q =0

@

Ne deriva un sistema di tre equazioni in tre incognite, la cui soluzione produce i valori ottimali L e K .

Simmetricamente, nel problema duale, la Lagrangiana corrisponde alla seguente equazione:

L = q(L; K) (wL + rK C) (57)

Le condizioni del primo ordine si ottengono derivando la Lagrangiana rispetto a L, K e , e uguagliando il

risultato a zero. La soluzione del sistema di tre equazioni in tre incognite identi…ca la combinazione ottimale

dei fattori produttivi.

6.5. La massimizzazione del pro…tto

Questa seconda parte della dispensa introduce il modello duale, ossia il modo in cui l’impresa sceglie la

combinazione ottimale dei fattori produttivi massimizzando il pro…tto anziché minimizzando il costo di

produzione, data la tecnologia a disposizione.

Di nuovo si presenta un problema di ottimizzazione vincolata in cui si vuole massimizzare il pro…tto

dell’impresa data la tecnologia a sua disposizione:

max = R(q(L; K)) C(q(L; K)) = p q(L; K) CV q(L; K) CF (58)

q Ricavo Costo totale

s:t: q = f (L; K) (59)

64

In tal caso è su¢ ciente sostituire q(L; K) nella funzione di pro…tto, e massimizzarla rispetto a L e a K.

In altri termini, è necessario calcolare le derivate della funzione di pro…tto rispetto agli input e porle

uguali a zero. Combinando tali equazioni con la funzione di produzione, si ottengono le domande ottimali

degli input in funzione del livello di produzione:

@q @q @q @q

@R @C

d = = p CV = 0

dL @q @L @q @L @L @L L = f (q)

@q @q @q @q

d @R @C ) (60)

= = p CV = 0 K = g(q)

dK @q @K @q @K @K @K

q = f (L; K)

Risolvere questo problema signi…ca individuare i livelli di input e output che massimizzano il pro…tto,

ossia che rendono massima la di¤erenza tra i ricavi totali (R) e i costi totali (C).

π

C, R, C(q)

R R(q)

S

0 q

q*

q 0 π(q)

Figura 7: massimizzazione del pro…tto

65

Esercizi proposti:

1. (A.M.)

Rendimenti di scala

Si studi l’andamento dei rendimenti di scala per le seguenti funzioni di produzione:

12

(a) Y = (K L);

(b) Y = K + 2L;

p

4

(c) Y = K L;

dove K ed L indicano gli input di produzione (capitale e lavoro).

SOLUZIONE:

Applicando le de…nizioni riportate sopra, si trova che: 1 1

1 2

(tK tL) = t (K L) tY = t(K L);

(a) f (tK; tL) > tY f (tK; tL) = mentre quindi in

dato che 2 2 2

questo caso i rendimenti di scala sono crescenti;

(b) f (tK; tL) = tY f (tK; tL) = (tK + 2tL) = t(K + 2L) tY = t(K + 2L)

dato che e ed i rendimenti di

scala sono costanti; p p

p p 4 4

4 tK tL = t K L tY = t K L

(c) f (tK; tL) < tY f (tK; tL) = mentre ed i rendimenti

dato che

di scala sono in questo caso decrescenti.

2. (L.V.)

Produttività marginale

Date le seguenti funzioni di produzione, calcolate la produttività marginale del lavoro e del capitale.

Inoltre veri…cate se la produttività marginale (rendimento marginale) sia costante, crescente o decres-

cente.

a) q = F (K; L) = K + 5L

b) q = F (K; L) = 100K + 55L

c) q = F (K; L) = 20KL

1=4 3=4

d) q = F (K; L) = K L p

3

e) q = F (K; L) = 4K + 5 L

2 2

f) q = F (K; L) = K + L

SOLUZIONE:

0 0

P = 5 P = 1

a) e rendimento marginale costante; e rendimento marginale costante.

L K 66

0 0

P = 55 P = 100

b) e rendimento marginale costante; e rendimento marginale costante.

L K

0 0

P = 20K P = 20L

c) e rendimento marginale costante; e rendimento marginale costante.

L K

3 1

0 0

1=4 1=4 3=4 3=4

P = K L P = K L

d) e rendimento marginale decrescente; e rendimento marginale

L K

4 4

decrescente. p 5

5 1

0 0

2=3

1=3

3 L =

q = 4K + 5 L = 4K + 5 L ) P = P =4

e) e rendimento marginale decrescente;

p

3

L K

3 3 2

L

e rendimento marginale costante.

0 0

P = 2L P = 2K

f) e rendimento marginale crescente; e rendimento marginale crescente.

L K

3. (L.V.)

Rendimenti di scala

Si considerino le seguenti funzioni di produzione, q = F (K; L), in cui q è il prodotto aggregato, K è il

capitale e L è il lavoro. Esse presentano rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti? (L.V.)

a) q = 4 L + 12 K

2

b) q = (L + K)

p L + K

c) q = p LK

d) q = 2

e) q = (L K)

f) q = L K

0:2 0:8

g) q = L K

SOLUZIONE: a) costanti; b) crescenti; c) decrescenti; d) costanti; e) crescenti; f) crescenti; g) costanti.

4. (L.V.)

Rendimenti di scala, prodotto marginale e rendimenti marginali

Nell’economia Alfa, la tecnologia di produzione disponibile è descritta dalla seguente funzione di pro-

duzione: 0;25 0;75

q = F (K; L) = K L

in cui il volume di produzione (q) dipende dalla quantità di lavoro (L) e di capitale (K) impiegati nel

processo produttivo.

a) Di che tipo di funzione si tratta?

b) Questa funzione ha rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti?

c) Calcolate la produttività marginale del lavoro e del capitale. I rendimenti del lavoro e del capitale

sono costanti, crescenti o decrescenti?

SOLUZIONE: 67

a) Cobb-Douglas

b) costanti

c) Il prodotto marginale del lavoro e il prodotto marginale del capitale sono positivi ma decrescenti, infatti la

0 0

P > 0; P > 0

derivata prima del prodotto rispetto a ciascun input è positiva ( ), mentre la derivata seconda

L K

00 00

P < 0; P < 0

è negativa ( ). Ciò signi…ca che all’aumentare di ciascun input il prodotto aumenta ma in

L K

maniera meno che proporzionale e quindi che i rendimenti marginali sono decrescenti. Infatti,

0;25

K

0 0;25 0;25

P = 0; 75 K L = 0; 75 > 0

L L

00 0;25 1;25

P = 0; 25 0; 75 K L < 0

L 0;75

L

0 0;75 0;75 > 0

P = 0; 25 K L = 0; 25

K K

00 1;75 0;75

P = 0; 75 0; 25 K L < 0

K

5. Minimizzazione del costo, massimizzazione dell’output, massimizzazione del pro…tto e

(L.V.)

funzioni di costo

L’impresa Nanorazio produce beni utilizzando una tecnologia descritta dalla seguente funzione di pro-

duzione: 1 1

q = f (L; K) = L K

2 2

I prezzi dei fattori lavoro, L, e capitale, K, risultano rispettivamente pari a p = 25, e p = 16.

L K

(a) Sulla base di una serie di considerazioni, si supponga che l’impresa abbia deciso di produrre una

quantità di output pari a q = 20. Si determini la combinazione ottimale di lavoro e capitale che

minimizza il costo per produrre q = 20.

(b) Alternativamente, si supponga che l’impresa abbia deciso di volere spendere al massimo C = 1600

nel processo produttivo. Si determini la combinazione ottimale di lavoro e capitale che permette

di massimizzare la produzione dato il vincolo di spesa.

(c) Si determinino le funzioni di costo totale, di costo marginale e di costo medio di lungo periodo.

(d) Si supponga che nel breve periodo la dotazione di capitale a disposizione dell’impresa sia …ssa e

pari a K = 9. Si determinino le funzioni di breve periodo di costo totale, medio e marginale.

(e) Massimizzando la funzione di pro…tto, si determinino le funzioni di domanda dei due fattori

produttivi (in funzione del livello di output) e la conseguente o¤erta del prodotto.

SOLUZIONI: 68

(a) K L

Per determinare il livello ottimale di e , l’impresa deve minimizzare il costo necessario a produrre

q = 20 unità di prodotto.

In tal caso, il problema di ottimo vincolato si può scrivere in questo modo:

min C(L; K) = 25 L + 16 K

L;K 1 1

s:t: 20 = L K

2 2

e lo si può risolvere ricorrendo a uno dei tre metodi presentati:

Metodo della tangenza . In tal caso si mette a sistema i) l’uguaglianza tra il saggio marginale di

sostituzione tecnica e il rapporto tra i prezzi dei fattori produttivi, e ii) l’equazione dell’isoquanto

q = 20

che consente di produrre .

( @q(L;K)=@L

p wr K 25

() = ) =

jSM ST j = L K = 25

p @q(L;K)=@K L 16 )

K

1 1 1

1 L = 16

K ) 20 = L K

q = L 2 2 2 2

Metodo di sostituzione . Si esplicita la funzione di produzione in termini di un fattore produttivo (ad

L

esempio ) in funzione delle unità dell’altro fattore e del valore pre…ssato dell’output. Si sostituisce

l’equazione nella funzione obiettivo e la si minimizza.

2

1 400

1

L = 20 K = 400 K =

2 K

400 10000

min C(K) = 25 + 16 K = + 16 K

K K K K = 25

dC(K) 10000 10000

2

=0 ) + 16 = 0 ) K = ) 400

2

dK K 16 = 16

L = K

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange . Se si decide di utilizzare questo metodo, è necessario

L K

costruire la Lagrangiana e risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite ( , , ) costituite

dalle condizioni del primo ordine: 1 1

L = C(L; K) (f (L; K) q) ) L = 25 L + 16 K L K 20

2 2

8 @L C(L; K)

> 1 1

1

> 0

= f L K =0

= 0 ) 25

> 2 2

> L 2

@L @L

< K = 25

@L C(L; K) 12 1

1

0 )

= f = 0 ) 16 L K =0

2

> L = 16

K 2

@K @K

>

>

> @L

: 12 12

= f (L; K) q = 0 ) L K 20 = 0

@ L = 16 K = 25

Ne consegue che il valore ottimale dei fattori è e , mentre il costo che minimizza la

q = 20 C = 25 16 + 16 25 = 800

produzione di ammonta a .

(b) K L

Per determinare il livello ottimale di e , l’impresa deve massimizzare il livello di produzione tenendo

C = 1600

conto di un vincolo di spesa pari a .

In tal caso, il problema di ottimo vincolato si può scrivere in questo modo:

1 1

max q(L; K) = L K

2 2

L;K 69

s:t: 1600 = 25 L + 16 K

e lo si può risolvere ricorrendo a uno dei tre metodi presentati:

Metodo della tangenza . In tal caso si mette a sistema i) l’uguaglianza tra il saggio marginale di

sostituzione tecnica e il rapporto tra i prezzi dei fattori produttivi, e ii) l’equazione dell’isocosto che

C = 1600

permette di produrre a un costo pari a .

( @q(L;K)=@L

p wr K 25 K = 50

jSM ST j = () = ) =

L

p @q(L;K)=@K L 16 )

K L = 32

C = 25 L + 16 K ) 1600 = 25 L + 16 K

Metodo di sostituzione . Si esplicita la funzione di costo in termini di un fattore produttivo (ad

L

esempio ) in funzione delle unità dell’altro fattore e dell’ammontare pre…ssato della spesa. Si

sostituisce l’equazione nella funzione obiettivo e la si massimizza.

16 K

L = 64 25 1 1

16 2

max q(K) = 64 K K 2

K 25 1 1

1 1

dq(K) 12

1 16 16 16

2 2

+ =0 )

=0 ) 64 K K 64 K K

2 2

dK 2 25 25 25

1 1

1 1

16 12

16 16

2 2

) =

64 K K 64 K K

2 2

50 25 25

1 1

1

1 1 16

16 16 2 2

K = 64

) K 64 K K

2 2

50 2 25 25

16 1 16 32

) K = 64 K ) K = 32

50 2 25 50

K = 50

) L = 32

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange . Se si decide di utilizzare questo metodo, è necessario

L K

costruire la Lagrangiana e risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite ( , , ) costituite

dalle condizioni del primo ordine: 1

1 K (25 L + 16 K 1600)

L = q(L; K) (wL + rK C) ) L = L 2 2

8 @L q(L; K)

> 1

1

12

> 0

= f = 0 ) K 25 = 0

L

> 2 2

> L

@L @L

< K = 50

@L q(L; K) 1

1

12

0 )

= f L

= 0 ) K 16 = 0

2 2

> L = 32

K

@K @K

>

>

> @L

: = wL + rK C = 0 ) 25 L + 16 K 1600 = 0

@ L = 32 K = 50

Ne consegue che il valore ottimale dei fattori è e , mentre l’output massimo che

p p

1 1

C = 1600 q = L K = 32 50 = 40

l’impresa riesce a produrre spendendo ammonta a .

2 2

(c) Nel lungo periodo, quando tutti i fattori produttivi sono variabili, per determinare le varie funzioni di

costo, è necessario individuare la domanda ottimale di capitale e lavoro in funzione dell’output. Per

fare ciò è necessario imporre l’uguaglianza tra le pendenze della curva di isocosto e dell’isoquanto, ossia

p

jSM ST j = L , e mettere a sistema tale equazione con la funzione di produzione. In tal caso è necessario

p

K

mantenere incognito il valore dell’output: (

( 25

p K 25 54

K = L

jSM ST j = () =

L K = q

16

p L 16 ) )

K 1 45

1 1 1 25 5 L = q

q = L K 2

q = L L = L

2 2 2 16 4

70

Una volta determinata la domanda dei fattori in funzione del livello di produzione, è possibile derivare la

funzione di costo totale, di costo medio e di costo marginale di lungo periodo:

4 5

C = 25 q + 16 q = 40q

5 4

dC(q)

0

C = = 40

dq

C(q) 40q

CM = = = 40

q q

Si noti che i rendimenti di scala sono costanti (la somma degli esponenti della Cobb-Douglas è pari a 1)

e il costo marginale uguaglia il costo medio.

(d) K = 9

Nel breve periodo, il capitale è …sso e pari a . Dopo aver scritto la funzione di produzione in forma

3 1

inversa 1

1 1

1 2

(9) = 3L ) L = q

q = L 2

2 2 9

è possibile derivare le funzioni di costo di breve periodo 25

1 2 2

q + 16 (9) = 144 + q

C = 25 9 9

dC(q) 50

0

C = = q

dq 9

C(q) 144 25

CM = = + q

q q 9

(e) Per determinare la domanda ottimale dei fattori, è possibile o minimizzare il costo oppure mas-

simizzare il pro…tto, data la funzione di produzione.

Il pro…tto è dato dalla di¤erenza tra ricavi totali e costi totali e, a¢ nché sia massimizzato, è

necessario che la distanza tra ricavi totali e costi totali sia massima. Ciò corrisponde a dire che il

ricavo marginale sia uguale al costo marginale.

Il problema di massimo vincolato per determinare la domanda ottimale di input può essere scritto

in questo modo: max = p q(L; K) (wL + rK) (61)

L;K Ricavo Costo totale

1

1

s:t: q(L; K) = L K (62)

2 2

Per risolvere il problema è necessario sostituire la funzione di produzione nella funzione obiettivo e

massimizzare la funzione di pro…tto rispetto ai due fattori produttivi. In altri termini, è necessario

calcolare le derivate del pro…tto rispetto a L e a K e porle uguale a zero.

1 1

max = p L K wL rK (63)

2 2

L;K 1

3 1 Data la funzione di produzione la funzione in forma inversa è

q = f (L), L = f (q).

71

@ 1 1

1 K w =0 (64)

= 0 ) pL 2 2

@L 2

@ 1 1

1 K r =0 (65)

= 0 ) pL 2 2

@K 2

Combinando la (64) e la (65) si ottiene: K w 25

= = (66)

L r 16

Inoltre, scrivendo la funzione di produzione in forma inversa, ossia come input in funzione dell’output

2

q

L = K

2

q

K = L

e combinandole con la (62), si ottengono le domande ottimali dei due fattori:

2

25 q 25 5

2 2

K = ) K = q ) K = q

16 K 16 4

2 2

q q 4

L = ) L = ) L = q

5

K 5

q

4

6. (A.M.)

Scelta ottima dei fattori produttivi (minimizzazione del costo)

p

Data la funzione di produzione Y = LK, determinare la combinazione ottima dei fattori produttivi

il cui prezzo è p = 40 e p = 10 per ottenere un livello di produzione pari a Y = 300.

L K

SOLUZIONE:

Per facilitare i calcoli conviene esprimere la funzione di produzione nella forma equivalente:

1 1

Y = L K

2 2

Calcoliamo la produttività marginale per ciascun fattore produttivo:

1 1

1 1 1 1

1

@Y =@L = L K = L K

2 2 2 2

2 2

1 1

1 1 1 1

1

@Y =@K = L K = L K

2 2 2 2

2 2

Il SMST è pari al rapporto tra le utilità marginali di ciascun fattore:

1

1

1 L K

@Y =@L K

2 2 1 1 1 1

( ) ( + )

2

M RST = = = L K =

2 2 2 2

12 1

1

@Y =@K L

K

L 2

2 72

p L

jM RST j =

Poniamo ed impostiamo il seguente sistema:

p K 8 p

( <

Y = 300 LK = 300

p =) =)

K

L

jM RST j = : =4

p L

K p

p 2 L = 150

LK = 300 4L = 300 =) :

=) K = 600

K = 4L K = 4L

7. (A.M.)

Produttività dei fattori produttivi, rendimenti di scala e scelta ottima dell’impresa

p

p X X ed i prezzi dei fattori produttivi p = 20 e

Data la seguente funzione di produzione Y = 3 1 2 1

p = 5, dopo aver esaminato la produttività marginale dei singoli input ed i rendimenti di scala della

2

funzione di produzione, si determini la scelta ottimale dell’impresa, nell’ipotesi che essa voglia produrre

Y = 36.

SOLUZIONE:

Per quanto riguarda la produttività marginale dei due input, si ottiene:

p p

3 X 3 X

2 1

p p

@Y =@X = e @Y =@X =

1 2

2 X 2 X

1 2

In entrambi i casi, la produttività marginale è decrescente in quanto l’aumento dei singoli input riduce la

produttività marginale.

I rendimenti di scala sono invece constanti, come si può facilmente dimostrare:

p p p p p

p t X t X = 3t X X tY = 3t X X

f (tX ; tX ) = tY f (tX ; tX ) = 3 e .

dato che 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

L’ultima parte dell’esercizio consiste invece nella determinazione delle domande condizionali dei fattori. Il

problema può essere risolto impostando il seguente sistema:

8 8 p p

3 X X = 36

< <

Y = 36 1 2

p p

@Y =@X p (3 X )=(2 X ) 20

=) =)

1 1 2 1

: : p p

= =

@Y =@X p 5

(3 X )=(2 X )

2 2 1 2

8 p p p p

X X = 12

< 1 2

p p X = 6

X 4X = 12

1 1 1

X = X =) =)

2 1

: = 24

X

p p X = 4X

=4 2 1 2

X = X

1 2 Y = 36

L’impiego ottimale dei fattori produttivi per minimizzare il costo nella produzione di prevede dunque

X = 6 X = 24

e .

2

1

8. (A.M.)

Scelta ottima del livello di produzione dell’impresa (massimizzazione del pro…tto)

La funzione di produzione di un’impresa è data da Y = K L. Indicando con w ed r rispettivamente

i prezzi dei fattori produttivi lavoro (L) e capitale (K) e con p il prezzo dell’output, si determini la

domanda ottimale dei due input e la conseguente o¤erta.

73

SOLUZIONE:

In questo esercizio si deve determinare l’impiego ottimale dei fattori produttivi, che comportano comunque un

certo costo per l’impresa, che consenta di ottenere il livello di produzione ottimale, cioè quello che massimizza

il pro…tto. La funzione di pro…tto dell’impresa è data da:

= pY wL rK = p(K L) wL rK (67)

pY C = wL + rK

dove è il ricavo totale e è la funzione di costo. L’impiego ottimale dei fattori produttivi si

K L

ottiene derivando il pro…tto (67) rispetto ai due input ed e ponendo il risultato uguale a zero:

@ = 0 () pK w =0

@L

@ = 0 () pL r =0

@K

da cui si ottiene rispettivamente: w

r e K = : (68)

L = p p

Per quanto riguarda il livello di produzione ottimale, sostituendo nella funzione di produzione i risultati di (68)

si ottiene: r w

Y = K L = 2

p

9. Altri esercizi: p 2

K + L , calcolare la domanda ottimale dei due input e

(a) Data la funzione di produzione Y =

la relativa o¤erta nell’ipotesi che p = 10; w = 60; r = 5. (A.M.) - Soluzione: K = 1; L = 3,

Y = 10.

(b) Esercizio 2 pag. 155 (C.L.): introduzione a produttività media e marginale.

(c) Esercizi 7 e 8 pag. 159-161 (C.L.): rendimenti di scala e produttività marginale.

(d) Esercizio 11 pag. 163 (C.L.) - scelta ottimale dell’impresa.

74

7. Concorrenza perfetta

La concorrenza perfetta è una forma di mercato caratterizzata da numerose imprese, tutte di piccola dimen-

sione rispetto al mercato, e da innumerevoli consumatori. Essi producono e consumano un determinato bene

omogeneo senza essere in grado, individualmente, di in‡uenzarne il prezzo. 32

Il mercato di concorrenza perfetta conduce al miglior risultato possibile, in termini di benessere sociale.

Le condizioni alla base della concorrenza perfetta sono tre:

- La quantità venduta da ciascuna impresa rap-

Le imprese e i consumatori sono price-taker

presenta una quota irrilevante rispetto alla produzione totale del mercato, pertanto le sue decisioni

di produzione non in‡uenzano il prezzo di equilibrio. Anche i consumatori sono tanti e incapaci di

in‡uenzare con le loro decisioni di consumo il prezzo del bene.

- Il bene o¤erto in ogni mercato perfettamente concorrenziale è

Il bene prodotto è omogeneo

omogeneo, cioè tutte le imprese del mercato producono beni che sono identici e perfetti sostituti.

Pertanto, il consumatore sceglierà di comprare il bene da quell’impresa che lo o¤re al prezzo più basso.

L’omogeneità garantisce l’assenza di di¤erenziazioni di prezzo dovute alla qualità e un unico prezzo di

mercato. - In mercati perfettamente concorrenziali, le imprese

Assenza di barriere all’entrata e all’uscita

non sostengono alcun costo se decidono di entrare o di uscire dal mercato. In altri termini, non ci sono

né barriere all’entrata, né barriere all’uscita.

- Tutti gli operatori del mercato (consumatori, produttori, governo ecc.)

Perfetta informazione

dispongono di informazioni complete in merito ai costi di produzione, ai prezzi del bene e dei fattori

produttivi ecc.

Anche se nella realtà non esiste un mercato che soddis… pienamente tutte le condizioni richieste dalla

perfetta concorrenza, vi sono alcuni settori che si avvicinano a tale struttura di mercato.

7.1. La massimizzazione del pro…tto

Il …ne ultimo delle imprese è la massimizzazione del pro…tto, indipendentemente dal mercato in cui esse

operano (monopolistico, di concorrenza perfetta o imperfetta ecc.). Tale obiettivo può essere espresso in

questo modo: max = R(q) C(q) = p q CV q CF (69)

q Ricavo Costo totale

3 2 Secondo la teoria classica e sulla base del Primo Teorema dell’Economia del Benessere, la concorrenza perfetta è il mec-

canismo ottimale per l’allocazione e¢ ciente delle risorse in quanto il prezzo di vendita che si forma sul mercato è quello che

remunera tutti i fattori produttivi in base alla loro produttività marginale. Inoltre, il prezzo è anche quello che consente ai

consumatori di massimizzare la loro utilità. 75

Risolvere questo problema rispetto a q, signi…ca individuare quel livello di produzione che massimizza il

pro…tto, ossia che rende massima la di¤erenza tra i ricavi totali (R = pq) e i costi totali (C). La di¤erenza

0 0

tra ricavi e costi è massima quando il ricavo marginale, R , è esattamente uguale al costo marginale, C : Ciò

signi…ca che la variazione del ricavo risultante da un aumento marginale della quantità prodotta deve essere

33

esattamente uguale al costo marginale di produzione.

dR dC dR dC

d 0 0

= =0 ) = , R (q) = C (q) (70)

dq dq dq dq dq

Per risolvere il problema, si sostituisce la funzione di produzione all’interno della funzione obiettivo e la si

massimizza rispetto a q (in altre parole, si deriva la funzione di pro…tto rispetto a q e si uguaglia il risultato

a zero). Alternativamente, si può pensare di uguagliare direttamente il ricavo marginale al costo marginale

ed esplicitare il valore ottimale di q .

Nel caso particolare di un mercato perfettamente concorrenziale, le decisioni di produzione di ogni singola

impresa non hanno alcuna in‡uenza sul prezzo di mercato del bene che produce e la curva di domanda che

a¤ronta ciascuna impresa può essere rappresentata da una retta orizzontale.

Per distinguere la domanda e l’o¤erta di ciascun agente (es. consumatore, produttore, ecc.) da quelle di

mercato, indicheremo con le lettere maiuscole D e S le rispettive curve di domanda e di o¤erta di mercato,

mentre con le lettere minuscole d e s, quelle riferite ai singoli agenti.

Poiché la curva di domanda di un’impresa in un mercato perfettamente concorrenziale corrisponde sia

0

alla curva di ricavo medio (R=q), sia a quella di ricavo marginale (R ), possiamo riscrivere la condizione di

0 0

ottimo di una generica impresa C = R , in questo modo:

0 0

p = R = C (q)

In condizioni di concorrenza perfetta, a¢ nché un’impresa continui a produrre, è necessario che:

- nel l’impresa sia in grado di coprire almeno i costi variabili;

breve periodo

- nel l’impresa sia in grado di coprire tutti i costi.

lungo periodo

Per l’impresa conviene cessare l’attività se il prezzo è inferiore al costo medio di produzione in corrispon-

denza della quantità che massimizza il pro…tto.

Pertanto, nel breve periodo, se la curva del ricavo marginale, che in concorrenza perfetta coincide con il

prezzo, scende al di sotto del minimo della curva del costo medio variabile, non è più conveniente produrre

(p < CM V ). Quando il prezzo è compreso fra il valore minimo del costo medio totale e quello del costo

medio variabile, ci si trova in una situazione in cui è conveniente produrre in perdita pur di ammortizzare i

costi …ssi.

Ne consegue che la curva di o¤erta dell’impresa ha pendenza positiva e coincide con la parte della curva

di costo marginale in cui il costo marginale è maggiore del costo medio variabile (p CM V ).

0 0

3 3 Questa condizione è vera purchè in un punto in cui il costo marginale è crescente.

R C

= 76

Curva di offerta di breve periodo

P

C C’

medio CMT

C

marginale CMV

q

Figura 1: curve di costo e di o¤erta di un’impresa

La curva di o¤erta di mercato di breve periodo esprime la relazione tra la quantità prodotta nel breve

periodo e il prezzo. La produzione del settore è la somma della quantità o¤erta da tutte le imprese che ne

fanno parte e può essere ottenuta sommando orizzontalmente le curve di o¤erta di ciascuna impresa.

Nel lungo periodo, in regime di concorrenza perfetta, il pro…tto economico delle imprese tende a zero. Ciò

non signi…ca che le imprese abbiano una prestazione insoddisfacente, ma semplicemente che il rendimento

del loro investimento in tale mercato è normale, nel senso che non è inferiore a quello che si otterrebbe

investendo in impieghi alternativi (es. investimenti mobiliari o immobiliari, in opere d’arte, in altre attività

o altri settori ecc.).

Nel punto di equilibrio di lungo periodo la domanda di mercato è uguale all’o¤erta e tutte le imprese

realizzano pro…tti nulli. Pertanto, non esistono incentivi a entrare o uscire dal mercato (causati, rispettiva-

mente, da prospettive di pro…tti positivi o negativi). A¢ nché si realizzi un equilibrio concorrenziale di lungo

periodo, devono veri…carsi le seguenti condizioni:

Tutte le imprese del settore massimizzano il pro…tto;

Nessuna impresa ha incentivo a entrare nel mercato o a uscire da esso, poiché tutte le imprese operanti

nel settore realizzano un pro…tto economico nullo;

Il prezzo di mercato è tale per cui la quantità domandata dai consumatori uguaglia la quantità o¤erta

da tutte le imprese del mercato.

Ciò corrisponde a dire che tutte le imprese producono a quel livello in cui il costo marginale (e quindi

il prezzo) uguaglia il costo medio e i pro…tti di lungo periodo sono nulli. Se il prezzo di mercato è, invece,

superiore (inferiore) al costo medio, si avranno pro…tti positivi (negativi) che favoriranno l’ingresso di nuove

imprese attirate (l’uscita di imprese operanti nel mercato, allontanate) dalla prospettiva di pro…tti positivi

34

(negativi) di breve periodo.

3 4 L’entrata e l’uscita (strategia mordi e fuggi o hit and run ) è permessa dall’assenza di barriere all’entrata e all’uscita. In

altri termini, le imprese che entrano nel mercato possono appro…ttare della presenza di pro…tti positivi e uscire una volta che

77

7.2. Il surplus del consumatore, del produttore e della collettività

Il surplus del consumatore è pari alla di¤erenza tra il prezzo che il consumatore è disposto a pagare per

acquistare un dato bene e il prezzo e¤ettivamente corrisposto. Gra…camente, il surplus del consumatore

corrisponde all’area compresa tra la curva di domanda (che corrisponde alla massima disponibilità a pagare

per ogni unità di prodotto) e la retta orizzontale in corrispondenza del prezzo corrisposto.

Il surplus del produttore è pari alla di¤erenza tra il prezzo percepito per la vendita del bene e il costo

marginale per produrre ciascuna unità. Gra…camente, il surplus del produttore corrisponde all’area compresa

tra la retta orizzontale in corrispondenza del prezzo percepito dalla vendita e la curva del costo marginale,

ossia la curva di o¤erta.

Il benessere sociale è dato dalla somma del surplus del consumatore e del produttore (SW = SC + SP ).

In assenza di esternalità o di imperfetta informazione (fallimenti di mercato), il mercato concorrenziale non

regolamentato conduce a un livello di produzione economicamente e¢ ciente.

Come valutare gli e¤etti sul benessere generati da un intervento pubblico? Calcolando la variazione del

surplus degli agenti che operano nel mercato (consumatori e produttori) si ottiene la variazione positiva o

negativa del benessere collettivo dovuta all’intervento pubblico.

P S

A

P* B D

Q* Q

Figura 2: Surplus del produttore (B) e del consumatore (A)

7.3. Le tasse e i sussidi

In alcune circostanze, lo Stato introduce delle tasse sui beni prodotti e venduti in un mercato. Le tasse

possono essere fatte pagare ai consumatori all’atto dell’acquisto oppure ai venditori all’atto della vendita.

Ma di fatto, su chi gravano queste tasse? Che e¤etti hanno sul benessere della collettività?

non sia più conveniente operare in quel settore, senza sostenere alcun costo all’entrata o all’uscita dal mercato. Il processo ha

termine quando l’o¤erta dell’output è aumentata in misura tale da portare il prezzo di mercato al livello del costo medio totale

per ciascuna impresa. In tale situazione tutte le imprese utilizzano la stessa tecnologia di produzione (con uguale costo medio)

che è anche quella più e¢ ciente. In altri termini, nel lungo periodo sopravvivono solo le imprese più e¢ cienti con costi medi

più bassi (P=CMT minimo). 78

Consideriamo inizialmente una tassa sulle vendite.

L’introduzione di una tassa sulle vendite, T , equivale a un incremento dei costi unitari per i produttori

di un ammontare pari a T . Di conseguenza, T eleva il prezzo minimo al quale i produttori sono disposti a

vendere il bene prodotto e, quindi, la curva di o¤erta del bene si sposta verso l’alto. Il maggior prezzo richiesto

0

dalle imprese induce a una riduzione della quantità scambiata in equilibrio (q ), a un incremento del prezzo

L N

sostenuto dai consumatori per l’acquisto del bene (P ) e a un minore prezzo incassato dai produttori (P )

per unità di prodotto. Tuttavia, sebbene i produttori debbano pagare un’imposta speci…ca di ammontare

N

pari a T su ogni unità venduta, il ricavo unitario netto si riduce di un importo inferiore a T (P P < T ).

La ragione è che una parte dell’imposta ricade sul consumatore (che paga di più).

Tecnicamente, la prospettiva amministrativa (chi paga la tassa di fatto) è diversa da quella economica

(su chi grava di fatto l’imposta). Infatti, l’onere …scale è ripartito tra consumatore e produttore:

L

Il consumatore paga in più P P ; N

Il produttore incassa di meno P P : L

Il prezzo pagato dal consumatore (prezzo lordo, P ) è superiore al prezzo di equilibrio senza intervento

N L

pubblico (P ), il quale è a sua volta superiore all’importo riscosso dai produttori (prezzo netto, P = P T ):

N L

P < P < P

Di fatto, si dimostra che la distribuzione della tassa è indipendente dal fatto che la tassa sia sulle vendite

o sui consumi. Quanto più è elastica la domanda (l’o¤erta) tanto più è elevata la quota di tassa che ricade

sul produttore (consumatore). N

p p :

La quota percentuale di tassa che grava sul produttore è pari a T

L

p p

La quota percentuale di tassa che grava sul consumatore è pari a :

T

Pertanto si scredita la convinzione che l’onere ricada solo e unicamente sul soggetto che …sicamente paga

l’onere …scale: l’onere di fatto grava sull’operatore di mercato che è meno in grado di evitarlo, ossia con

minore elasticità della domanda/o¤erta al prezzo.

Si consideri ora l’introduzione di un’ La curva di domanda si sposta

imposta speci…ca sul consumo.

verso il basso di un importo esattamente pari a T . Si dimostra che un’imposta speci…ca pagata dai produttori

e una tassa dello stesso importo pagata dai consumatori hanno gli stessi e¤etti sull’equilibrio e sul benessere

degli agenti (e della collettività). 35

Una situazione simmetrica si manifesta in presenza di sussidi sulle vendite o sul consumo.

Un riduce il costo di produzione per unità di prodotto, riducendo il costo

sussidio sulle vendite

marginale di produzione e quindi spostando la curva di o¤erta verso il basso. In altri termini, a parità

di prezzo, i venditori sono disposti a vendere una quantità superiore del prodotto (poiché compensati dal

sussidio).

3 5 Una tassa può essere vista come un sussidio negativo. 79

Un sposta verso destra la curva di domanda perchè, a parità di prezzo, i con-

sussidio sul consumo

sumatori sono disposti ad acquistare una quantità superiore del bene (poiché compensati dal sussidio).

Il sussidio non favorisce unicamente chi percepisce …sicamente la sovvenzione, ma viene ripartita tra

consumatori e produttori sulla base dell’elasticità della domanda e dell’o¤erta.

S S

P P

1 1

Tassa sulle vendite Tassa sul consumo

S S

0

L L

P P

P* P*

N N

P P

D D D

1 0

Q Q* Q Q Q* Q

1 1

S S

0 Sussidio sul consumo

P P

S

Sussidio sulle vendite 1

N N

P P

* *

P P

L L

P P

D D D

0 1

Q* Q Q* Q

Q Q

1 1

Figura 3: Tassa sulle vendite e sul consumo; sussidio sulle vendite e sul consumo

Esercizi proposti

1. (L.V.)

Equilibrio di breve periodo

In un mercato perfettamente concorrenziale operano due imprese, A e B, che producono un bene

1

d

omogeneo, q, a fronte di una domanda di mercato pari a Q = 10 p: Le imprese sono caratterizzate

4

dalle seguenti funzioni di costo:

2

C = 2q

A A

2

C = 4q

B B

(a) Si determinino le funzioni di o¤erta delle singole imprese (attenzione a veri…care che la condizione

di cessazione dell’attività non sia veri…cata).

(b) Si determini la funzione di o¤erta di mercato.

80

(c) Si calcolino quantità e prezzo di equilibrio di mercato.

(d) Si calcoli la quantità prodotta da ciascuna impresa in equilibrio e i pro…tti di breve periodo.

SOLUZIONE:

(a) Come prima cosa conviene calcolare i costi medi totali, medi variabili e marginali delle due imprese.

Nell’esercizio, le imprese non presentano costi …ssi, pertanto i costi medi totali e i costi medi variabili

coincidono. 0 )

Costo totale (C ) Costo medio (CM ) Costo marginale (C

i i i

0

2

Impresa A C = 2q CM = 2q C = 4q

A A A A

A A

0

2

Impresa B C = 4q 4q C = 8q

B B B

B B

La curva di o¤erta di ciascuna impresa coincide con la porzione della curva di costo marginale in cui

0

p = C CM V

il prezzo è superiore al costo medio variabile ( ). Se il prezzo è inferiore al costo

medio variabile, all’impresa conviene non produrre nulla e cessare l’attività. In questo esercizio, entrambe

le imprese presentano un costo medio minore del costo marginale, ossia minore del prezzo, pertanto,

produrranno quantità positive del bene desumibili dalle seguenti funzioni di o¤erta:

1

p = C0 = 4q ) q = p

A A A 4

1

0

p = C = 8q ) q = p

B B

B 8

(b) La funzione di o¤erta di mercato si ottiene dalla somma orizzontale delle curve di o¤erta delle singole

imprese: 1 1 3

s

Q = q +q = p+ p = p

A B 4 8 8

(c) Per trovare l’equilibrio di mercato, è necessario risolvere un sistema composto dall’equazione della do-

manda di mercato e dalla curva di o¤erta di mercato: 3

s

Q = p

8 14

d

Q = 10 p q = 6 p = 16

Ne consegue che la quantità e il prezzo di equilibrio del mercato sono pari a ; .

(d) Le imprese in equilibrio producono quantità diverse poiché sono caratterizzate da di¤erenti funzioni di

3 6

costo e da un diverso grado di e¢ cienza. Per individuare la quantità o¤erta da ciascuna impresa in

equilibrio è su¢ ciente sostituire il prezzo di mercato nelle rispettive funzioni di o¤erta:

1

q = 16 = 4

A 4

1

q = 16 = 2

B 8

3 6 L’impresa A è più e¢ ciente dell’impresa B poichè produce a un costo minore e, pertanto, venderà in equilibrio

una quantità maggiore di prodotto. 81

2. (L.V.)

Equilibrio di breve e di lungo periodo

Si consideri un mercato perfettamente concorrenziale in cui operano 40 imprese identiche, la cui funzione

2 + 16. La curva di domanda del mercato in cui operano le imprese è data da

di costo è C = q

i i

d

Q = 180 10p.

(a) Si determini la curva di o¤erta di breve periodo di ciascuna impresa.

(b) Si determini la curva di o¤erta di breve periodo del mercato, la quantità e il prezzo di equilibrio.

(c) Si calcoli la produzione di equilibrio delle singole imprese nel breve periodo e i pro…tti conseguiti.

(d) Si calcoli la quantità prodotta e il numero di imprese operanti sul mercato nel lungo periodo.

SOLUZIONE:

(a) Nel breve periodo la curva di o¤erta di ciascuna impresa corrisponde alla porzione della curva di costo

0

p = C CM V

marginale in cui . Pertanto, la funzione di o¤erta di ciascuna impresa corrisponde a:

i

i 1

0

p = C = 2q ) q = p

i i

i 2

(b) La curva di o¤erta di mercato si ottiene dalla somma orizzontale delle curve di o¤erta delle singole imprese:

1

s p = 20p

Q = 40 2

Per determinare la quantità e il prezzo di equilibrio, è necessario risolvere un sistema di due equazioni (la

funzione di domanda e di o¤erta di mercato) in due incognite (il prezzo e la quantità):

s

Q = 20p Q = 120

)

d p =6

Q = 180 10p 1 1

(c) q = p = 6 = 3

Nel breve periodo, le imprese produrranno una quantità pari a e conseguiranno

i 2 2

2

= p q C = 6 3 3 16 = 7 < 0

dei pro…tti pari . I pro…tti sono negativi, tuttavia le

i i 16

imprese continueranno a produrre per coprire i costi …ssi (pari a ), dato che il prezzo è superiore al

p = 6 > CM V = q = 3

costo medio variabile: . Tuttavia, pro…tti negativi sono indice di un numero

eccessivo di imprese sul mercato, quindi, nel lungo periodo ci si aspetta che alcune di esse abbandoneranno

il mercato. Questo processo di uscita di imprese dal mercato continua …no a quando le imprese ancora

attive conseguono pro…tti nulli. 0

(d) p = C = CM

Nel lungo periodo, il prezzo di mercato sarà pari al costo marginale e al costo medio, , (si

i

i

rammenti che la curva di costo marginale interseca la curva di costo medio nel suo punto di minimo) e le

imprese sul mercato conseguiranno pro…tti nulli. Per trovare la quantità prodotta da ciascuna impresa è

0

p = C = CM

su¢ ciente imporre la suddetta condizione di lungo periodo: .

i

i

8 0

p = C = CM

< i

i 16

0 LP

C = 2q ) 2q = q + ) q = 4

i i i

i i

: q

16 i

CM = q +

i i q

i 82 p = 8

Ne consegue che il prezzo di mercato nel lungo periodo sarà pari a . d

p = 8 Q = 180 10 8 = 100

In corrispondenza di un prezzo , la quantità domandata sarà pari a . Dato

4

che le imprese nel lungo periodo produrranno una quantità di prodotto pari a , il numero di imprese

LP

Q 100

LP

n = = = 25

i

che sopravviveranno al processo di uscita dal mercato sarà pari a . Pertanto,

LP 4

q

i 15

come era già stato preannunciato, nel lungo periodo ci si aspetta che alcune imprese, e precisamente

imprese, usciranno dal mercato.

3. (L.V.)

Equilibrio di breve e di lungo periodo

Si consideri un mercato perfettamente concorrenziale in cui operano 20 imprese identiche, la cui funzione

2 d

di costo è C = q + 36. La curva di domanda del mercato è data da Q = 300 5p.

i i

(a) Si determini la curva di o¤erta di breve periodo di ciascuna impresa.

(b) Si determini la curva di o¤erta di breve periodo del mercato, la quantità e il prezzo di equilibrio.

(c) Si calcoli la produzione di equilibrio delle singole imprese nel breve periodo e i pro…tti conseguiti.

(d) Si calcoli la quantità prodotta e il numero di imprese operanti sul mercato nel lungo periodo.

SOLUZIONE:

(a) Nel breve periodo la curva di o¤erta di ciascuna impresa corrisponde alla porzione della curva di costo

0

p = C CM V

marginale in cui . Pertanto, la funzione di o¤erta di ciascuna impresa corrisponde a:

i

i 1

0 p

p = C = 2q ) q =

i i

i 2

(b) La curva di o¤erta di mercato si ottiene dalla somma orizzontale delle curve di o¤erta delle singole imprese:

1

s p = 10p

Q = 20 2

Per determinare la quantità e il prezzo di equilibrio, è necessario risolvere un sistema composto dalle

funzioni di domanda e di o¤erta di mercato:

s

Q = 10p Q = 200

)

d p = 20

Q = 300 5p 12 12

(c) q = p = 20 = 10

Nel breve periodo, le imprese produrranno una quantità pari a e conseguiranno dei

i

2

= p q C = 20 10 10 36 = 74 > 0

pro…tti pari . Dato che nel breve periodo i pro…tti di tutte

i i

le imprese sono positivi, ci si aspetta che nel lungo periodo entreranno nuove imprese. Questo processo

di entrata di nuove imprese continuerà …no a quando tutte le imprese attive conseguono pro…tti nulli.

83 0 = CM ;

(d) p = C e

Nel lungo periodo, il prezzo di mercato sarà pari al costo marginale e al costo medio, i

i

le imprese sul mercato conseguiranno pro…tti nulli. Per trovare la quantità prodotta da ciascuna impresa

0

p = C = CM

è su¢ ciente imporre la suddetta condizione di lungo periodo :

i

i

0

p = C = CM i

i 36

0 LP

C = 2q ) 2q = q + ) q = 6

i i i

i i

q

36 i

CM = q +

i i q

i p = 12

Ne consegue che il prezzo di mercato nel lungo periodo sarà pari a .

d

p = 12 Q = 300 5 12 = 240

In corrispondenza di un prezzo , la quantità domandata sarà pari a . Dato

6

che le imprese nel lungo periodo produrranno una quantità di prodotto pari a , il numero di imprese

LP

Q 240

LP = = 40

n = i . Pertanto, come era

che opereranno nel mercato nel lungo periodo sarà pari a LP 6

q

i 20

già stato preannunciato, ci si aspetta che nel lugno periodo nuove imprese, e precisamente imprese,

entreranno nel mercato.

4. (A.M.)

Equilibrio di breve periodo

Si supponga che il mercato dei taxi a Bologna sia perfettamente concorrenziale. Il costo di ogni

trasporto è dato da c(q) = 5q ed ogni taxi opera 20 trasporti al giorno. La domanda per il trasporto

in taxi è data da: D

Q = 1200 20p (71)

Si determini:

(a) il prezzo di equilibrio (giornaliero) per ciascun trasporto;

(b) il numero complessivo di trasporti e¤ettuati al giorno;

(c) il numero di taxi in equilibrio.

SOLUZIONE:

In concorrenza perfetta il prezzo è uguale al costo marginale, quindi:

0

p = c (q) () p = 5: (72)

D

Q

Inserendo (72) nella funzione di domanda (71) e ricordando che in equilibrio la domanda è uguale

S

Q

all’o¤erta si ottiene: D S

Q = Q = 1200 20 5 = 1100 (73)

20

Sapendo che ogni taxi opera trasporti al giorno ed avendo l’o¤erta complessiva si ottiene:

S

Q 1100

n = = = 55. (74)

q 20

q = 20

dove indica l’o¤erta individuale di ciascun taxi.

84

5. (A.M.)

Equilibrio di mercato nel breve e nel lungo periodo

Si ipotizzi un mercato perfettamente concorrenziale caratterizzato dalla seguente funzione di domanda:

D

Q = 190 p (75)

2

Nel breve periodo operano solo 80 imprese che producono un bene omogeneo al costo c(q) = 2q + 1.

Determinare la con…gurazione di equilibrio di mercato sia nel breve che nel lungo periodo, supponendo

che il costo rimanga invariato.

SOLUZIONE:

La con…gurazione di equilibrio di mercato consiste nella determinazione di prezzo, quantità e numero di imprese

80

di equilibrio. Nel breve periodo sappiamo che operano solo imprese e quindi dobbiamo trovare prezzo e

quantità.

Partendo dal breve periodo, il prezzo in funzione della quantità si ricava facilmente dalla condizione di

equaglianza tra prezzo e costo marginale: 0

p = c (q) () p = 4q: (76)

Dalla (76) si ottiene l’o¤erta individuale p

p = 4q () q = : (77)

4

80

Nel breve periodo sappiamo che operano solo imprese e quindi possiamo ricavarci l’o¤erta complessiva:

p

S

Q = q n = 80 = 20p: (78)

4

D S

Q = Q

In equilibrio e quindi eguagliando (75) ed (78) si ottiene il prezzo di equilibrio per il breve periodo:

D S

Q = Q =) 190 p = 20p =) p = 9:05: (79)

BP

Sostituendo poi tale prezzo in (77) ed in (78) si ottengono rispettivamente anche la quantità di equilibrio

prodotta da ogni singola impresa e quella complessiva:

q = 2:2625 e Q = 181: (80)

BP BP

Per quanto riguarda il lungo periodo, si sfrutta la condizione di uguaglianza tra costo marginale e costo medio

per ricavare utili informazioni su prezzo e quantità:

c(q) 1

0

c (q) = =) 4q = 2q +

q q

da cui si ricava la quantità di equilibrio nel lungo periodo:

p

q = 1=2 (81)

LP

85

Sfruttando poi la solita condizione (76) si ottiene il prezzo di equilibrio di lungo periodo:

p

p 1=2: (82)

= 4

LP

Sostituendo (82) nella funzione di domanda si ottiene la quantità domandata nel lungo periodo che, in equilibrio,

è pari alla domanda o¤erta: p

D S

1=2 Q

Q = 190 4 (83)

ed è quindi ora possibile ricavare il numero di imprese di equilibrio nel lungo periodo:

p

S 1=2

190 4

Q p 265:

n = = =

LP q 1=2

LP

6. (L.V.)

Surplus del consumatore, del produttore e imposte speci…che

Si consideri un mercato caratterizzato dalle seguenti funzioni di domanda e di o¤erta:

1 d

d p = 20 Q

Q = 100 5p 5

() 1

s s

Q = 50 + 10p Q

p =5+ 10

(a) Si determini il prezzo e la quantità scambiata in equilibrio.

(b) Si determini il surplus del consumatore e il surplus del produttore.

(c) Si supponga che lo Stato introduca un’imposta speci…ca (accisa) di importo pari a T = 3 sul

consumatore. Si determini il nuovo equilibrio di mercato e lo si rappresenti gra…camente.

(d) Come si sarebbe modi…cato l’equilibrio se la tassa di cui al punto (c) fosse stata a carico dei

produttori? Rappresentate gra…camente il nuovo equilibrio.

(e) Si calcoli il surplus del consumatore, il surplus del produttore dopo l’introduzione dell’imposta

speci…ca e si commentino i risultati in termini di benessere collettivo.

SOLUZIONE:

(a) Mettendo a sistema la domanda e l’o¤erta (ossia, uguagliando la quantità domandata e o¤erta oppure

uguagliando i prezzi di mercato) si ottengono prezzo e quantità di equilibrio:

Q = 50

p = 10

(b) Il surplus del consumatore è l’area compresa tra la curva di domanda e la retta orizzontale in corrispon-

denza del prezzo di mercato (triangolo A). Il surplus del produttore è rappresentato dall’area compresa tra

la retta orizzontale in corrispondenza del prezzo di mercato e la curva di o¤erta (triangolo B). Pertanto,

per determinare il surplus del consumatore e del produttore è su¢ ciente calcolare l’area del triangolo A

e del triangolo B: 86 (20 10) 50

SC = = 250

Surplus del consumatore (area del triangolo A): 2

(10 5) 50

SP = = 125

Surplus del produttore (area del triangolo B): 2

Il benessere sociale, pari alla somma dei surplus del produttore e del consumatore (A+B), ammonta a

SW = SC + SP = 250 + 125 = 375:

P S

A

(250)

10 (125)

B D

50 Q

Figura ES6_i

(c) L’introduzione di una tassa sul consumo aumenta il prezzo pagato dai consumatori. Pertanto, il prezzo

L N

P P

pagato dal consumatore, , di¤erirà da quello percepito dal produttore, , di un ammontare pari

L N

T P = P + T

a : . A parità di prezzo pagato, i consumatori saranno disposti a comprare una

quantità inferiore del bene perchè ora devono pagare una tassa. Pertanto, la curva di domanda si sposterà

T :

parallelamente verso l’interno di un ammontare pari a (Figura ES6_ii)

Per risolvere il problema, è necessario mettere a sistema la nuova curva di domanda (spostata verso il basso

T )

di un ammontare pari a con la curva di o¤erta. Il prezzo determinato è quello al netto dell’imposta

N

p

( ): 8

< Q = 40

1 d

N 3

p = 20 Q N

5 p = 9

)

1

N s :

p = 5 + Q L N

10 p = p + T = 12 L

40 p = 12

Ne consegue che sul mercato si scambieranno unità del bene che i consumatori pagheranno ,

87 N

p = 9

inclusa la tassa. I produttori percepiranno un importo pari al prezzo al netto della tassa .

S 1

P P

S S

Tassa sulle vendite 0 Tassa sul consumo

12 12

10 10

9 9

D D D

1 0

40 50 Q 40 50 Q

Figura ES6_ii

(d) Nel caso in cui venga introdotta una tassa sulla produzione, i costi dell’impresa aumentano e la curva

di o¤erta (e quindi di costo marginale) si sposta parallelamente verso l’alto di un ammontare pari alla

tassa (Figura ES6_ii). Pertanto, ai consumatori verrà o¤erta la stessa quantità di prodotto a un prezzo

(lordo) più alto, necessario per coprire tutti i costi (compresa la tassa). Per trovare il nuovo equilibrio del

mercato, è necessario mettere a sistema la curva di domanda con la nuova curva di o¤erta. Il risultato

individua la nuova quantità di equilibrio e il nuovo prezzo (lordo) di equilibrio:

8

< Q = 40

1

L d

p = 20 Q N

5 p = 9

)

1

L s :

p = 5 + Q + 3 L N

10 p = p + T = 12

40

Ne consegue che sul mercato si scambieranno unità del bene. I consumatori pagheranno un prezzo

L N

p = 12 p = 9

pari a , mentre i produttori incasseranno un prezzo al netto della tassa pari a .

Come si può notare, a prescindere da chi paghi …sicamente l’imposta speci…ca, i suoi oneri si ripartiscono

tra i consumatori e i produttori in percentuale diversa. Infatti, sul consumatore graverà una percentuale

L

p p 12 10 23

= =

della tassa pari a , mentre sul produttore graverà una percentuale della tassa pari a

T 3

N

p p 10 9 1

= = .

T 3 3

(e) Come risulta dal punto (a), il benessere dei consumatori ammonta a 250, quello dei produttori è pari a

125, mentre il benessere colletivo, in assenza di tassazione, è pari a 375.

Ma come cambia il benessere collettivo con l’introduzione della tassa?

Il nuovo surplus del consumatore è rappresentato dall’area del triangolo compreso tra la domanda e la retta

L

p

orizzontale in corrispondenza del prezzo lordo ( ) mentre il nuovo surplus del produttore è rappresentato

N

p

dall’area del triangolo compreso tra la retta orizzontale in corrispondenza del prezzo netto ( ) percepito

88

dalle imprese e la curva di o¤erta: (20 12) 40

0

SC = = 160

2

(9 5) 40

0

SP = = 80

2

0

T Q = 3 40 = 120

0 0 0

SW = SC + SP + gettito = 160 + 80 + 120 = 360

0

T Q

Il gettito …scale ammonta a 120, pari a 3 per ogni unità venduta ( ). Il nuovo benessere sociale, pari

a 360, è dato dalla somma del surplus del consumatore, del produttore e del gettito …scale.

Confrontando il benessere collettivo senza tassazione e con tassazione, si può notare una perdita di

0

SW SW = 360 375 = 15

benessere (perdita pari a , che equivale all’area del triangolo in

secca)

37

giallo nella Figura ES6_ii.

7. (L.V.)

Surplus del consumatore, del produttore e sussidio

Si consideri un mercato caratterizzato dalle seguenti funzioni di domanda e di o¤erta:

125 1 d

d p = Q

Q = 125 3p 3 3

() 25 1

s s

Q = 25 + 3p p = + Q

3 3

(a) Si determini il prezzo e la quantità scambiata in equilibrio.

(b) Si determini il surplus del consumatore e il surplus del produttore.

(c) Si supponga che lo Stato eroghi al consumatore un sussidio pari a s = 10 per unità di prodotto

acquistata. Si determini il nuovo equilibrio di mercato e lo si rappresenti gra…camente.

(d) Come si sarebbe modi…cato l’equilibrio se il sussidio di cui al punto (c) fosse stato erogato ai

produttori? Rappresentate gra…camente il nuovo equilibrio.

(e) Si calcoli il surplus del consumatore, il surplus del produttore dopo l’introduzione del sussidio e

si commentino i risultati in termini di benessere collettivo.

SOLUZIONE:

(a) Mettendo a sistema la domanda e l’o¤erta (ossia, uguagliando la quantità domandata e o¤erta oppure

uguagliando i prezzi di mercato) si ottengono prezzo e quantità di equilibrio:

Q = 50

p = 25

(12 9) (50 40)

3 7 L’area del triangolo che rappresenta la perdita secca è pari a = 15:

2

89

(b) Il surplus del consumatore è l’area compresa tra la curva di domanda e la retta orizzontale in corrispon-

denza del prezzo di mercato (triangolo A). Il surplus del produttore è rappresentato dall’area compresa tra

la retta orizzontale in corrispondenza del prezzo di mercato e la curva di o¤erta (triangolo B). Pertanto,

per determinare il surplus del consumatore e del produttore è su¢ ciente calcolare l’area del triangolo A

e del triangolo B: )

( 125 25 50

3 = 416; 67:

SC =

Surplus del consumatore (area del triangolo A): 2

( )

25

25 50

3 = 416; 67:

SP =

Surplus del produttore (area del triangolo B): 2

Il benessere sociale, pari alla somma dei surplus del produttore e del consumatore (A+B), ammonta a:

SW = SC + SP = 416; 67 + 416; 67 = 833; 34:

P S

A

(416,67)

25 (416,67)

B D

50 Q

Figura ES7_i

(c) L’erogazione del sussidio ai consumatori permetterà loro di acquistare più unità del prodotto a parità di

prezzo (grazie alla disponibilità del sussidio). Pertanto, il prezzo pagato dai consumatori, al lordo del

L N L N

p p s p = p s

sussidio, , di¤erirà da quello percepito dal produttore, , di un ammontare pari a : .

s :

La curva di domanda si sposterà parallelamente verso l’alto di un ammontare pari a (Figura ES7_ii)

Per risolvere il problema, è necessario mettere a sistema la nuova curva di domanda (spostata verso l’alto

s = 10)

di un ammontare pari a con la curva di o¤erta. Il prezzo determinato è quello al netto del

N

p

sussidio ( ): 8

< Q = 65

125 1 d

Q + 10

p = N

3 3 p = 30

)

25 1 s :

p = + Q L N

3 3 p = p s = 20 L

65 p = 20

Ne consegue che sul mercato si scambieranno unità del bene che i consumatori pagheranno ,

al lordo del sussidio. I produttori percepiranno un importo pari al prezzo lordo più il sussidio erogato

90

N

p = 30

dallo Stato, .

P P

S S

0 Sussidio sul consumo

S

Sussidio sulle vendite 1

30 30

25 25

20 20

D D D

0 1

50 65 50 65

Q Q

Figura ES7_ii

(d) Nel caso di un sussidio sulle vendite, i costi dell’impresa diminuiscono e la curva di o¤erta si sposta

parallelamente verso il basso di un ammontare pari al sussidio (Figura ES7_ii). Pertanto, ai consumatori

verrà o¤erta la stessa quantità di prodotto a un prezzo (lordo) più basso, necessario per coprire tutti i

costi (al netto del sussidio). Per trovare il nuovo equilibrio di mercato, è necessario mettere a sistema la

curva di domanda con la nuova curva di o¤erta: 8

< Q = 65

125 1 d

p = Q N

3 3 p = 30

)

25 1 s :

p = + Q 10 L N

3 3 p = p s = 20

65

Ne consegue che sul mercato si scambieranno unità del bene. I consumatori pagheranno un prezzo

L N

p = 20 p = 30

pari a , mentre i produttori incasseranno un prezzo al netto del sussidio pari a .

Come si può notare, a prescindere da chi incassi …sicamente il sussidio, i suoi bene…ci si ripartiscono

N

p p 30 25

= =

equamente tra i consumatori e i produttori. Infatti, i consumatori bene…cieranno del T 10

L

p p

1 25 20 1

= 50% = = = 50%

, mentre i produttori bene…cieranno del .

2 T 10 2

(e) 416; 67

Come risulta dal punto (a), il benessere dei consumatori ammonta a , mentre quello dei produttori

416; 67 833; 34

è pari a , per un benessere colletivo, in assenza di sussidio, pari a .

Ma come cambia il benessere collettivo con l’introduzione del sussidio?

Il nuovo surplus del consumatore è rappresentato dall’area del triangolo compreso tra la domanda e

L

p

la retta orizzontale in corrispondenza del prezzo lordo ( ), mentre il nuovo surplus del produttore è

rappresentato dall’area del triangolo compreso tra la retta orizzontale in corrispondenza del prezzo netto

N

p ) percepito dalle imprese e la curva di o¤erta:

( 125 20 65

0 3 = 704; 17

SC = 2

25

30 65

0 3

SP = = 704; 17

2

0

s Q = 10 65 =

0 0 0

SW = SC + SP costo sussidio = 704; 17 + 704; 17 650 = 758; 34

91 0

650 10 s Q

Il costo per lo Stato ammonta a , pari a per ogni unità venduta ( ). Il nuovo benessere sociale,

758; 34

pari a , è dato dalla somma del surplus del consumatore, del produttore, al netto del costo per il

supporto ai consumatori o alle imprese.

Confrontando il benessere collettivo senza sussidio e con sussidio, si può notare una perdita di benessere

0

SW SW = 758; 34 833; 34 = 75

(perdita secca) pari a .

8. Prezzi amministrati: tetto e pavimento di prezzo

Si consideri un mercato caratterizzato dalle seguenti funzioni di domanda e di o¤erta:

d

d p = 20 Q

Q = 20 p ) 1

s s

Q = 10 + 5p p = 2 + Q

5

(a) Si determini la quantità e il prezzo di equilibrio.

(b) Si calcoli il surplus del produttore e del consumatore.

(c) Si supponga che lo Stato imponga un prezzo massimo (tetto di prezzo) pari a p = 4. Si calcoli

max

il nuovo equilibrio di mercato e il valore del surplus del consumatore e del produttore. Di quanto

si è ridotto il benessere sociale?

(d) Si supponga che lo Stato imponga un prezzo minimo (pavimento di prezzo) pari a p = 140. Si

min

calcoli il nuovo equilibrio di mercato e il valore del surplus del consumatore e del produttore. Di

quanto si è ridotto il benessere sociale?

SOLUZIONE:

(a) Mettendo a sistema la funzione di domanda e di o¤erta in forma diretta oppure inversa è possibile calcolare

i valori di equilibrio del prezzo e della quantità scambiata:

d Q = 15

Q = 20 p ()

s p =5

Q = 10 + 5p

(b) Il benessere del consumatore corrisponde all’area compresa tra la retta orizzontale in corrispondenza di

p e la curva di domanda, mentre il surplus del produttore è rappresentato dall’area compresa tra la retta

p

orizzontale in corrispondenza di e la curva di o¤erta:

(20 5) 15

SC = = 112:5

2

(5 2) 15

SP = = 22:5

2

SW = SC + SP = 112:5 + 22:5 = 135

(c) p = 4 p = 5

In presenza di un prezzo massimo pari a , inferiore al prezzo di equilibrio ( ), i produttori

max 10

sono al massimo disposti a vendere una quantità del prodotto pari a , mentre i consumatori vorrebbero

92

16 10

acquistare una quantità pari a . La quantità scambiata è quindi pari a e i surplus del consumatore

e del produttore sono pari a: (16 10) (10 4)

(20 4) 16

0

SC = 110

= 2 2

(4 2) 10

0

SP = = 10

2

0 0 0

SW = SC + SP = 110 + 10 = 120

15 SW 0 SW = 120 135

Pertanto, il benessere collettivo diminuisce di (pari a ).

(d) p = 10 p = 5

In presenza di un prezzo minimo pari a , superiore al prezzo di equilibrio ( ), i consumatori

min 10

sono al massimo disposti ad acquistare una quantità del prodotto pari a , mentre i produttori vorrebbero

40 10

vendere una quantità pari a unità del bene. La quantità scambiata è quindi pari a e i surplus del

consumatore e del produttore sono pari a: (20 10) 10

00 = 50

SC = 2

[(10 2) + (10 4)] 10

00 = 70

SP = 2

00 00 00

SW = SC + SP = 50 + 70 = 120

15 SW 0 SW = 120 135

Pertanto, il benessere collettivo diminuisce di (pari a ).

9. Altri esercizi:

Esercizi 6 e 7 pagg. 191-192 (C.L.)..

Esercizi 1-4 pagg. 187-189 (C.L.).

Nel corso degli anni ’80 i governi di molti stati europei (Regno Uniti, Spagna, Francia, Italia,

ecc.) hanno deciso di ridurre le importazioni di automobili provenienti dal Giappone attuando

una politica di contingentamento. Si chiede di valutare (gra…camente) le conseguenze che tale

decisione ha avuto sul benessere sociale complessivo. Cosa sarebbe cambiato se i governi in

questione avessero deciso di applicare un dazio alle importazioni invece del contingentamento?

(A.M.) 93

8. Monopolio

Si parla di potere di mercato quando l’impresa o le imprese che operano su un mercato individualmente

in‡uenzano il prezzo del bene con le proprie decisioni. Il monopolio consiste in un mercato in cui opera un

solo venditore, il quale serve l’intera domanda.

Come si dimostra, la quantità scambiata in equilibrio, in un mercato monopolistico, è minore rispetto a

M C M C

un mercato concorrenziale (Q < Q ) e il prezzo del bene è superiore (p > p ).

Il monopolista produce l’intera o¤erta del mercato q = Q, quindi ha il pieno controllo sulla quantità di

i

prodotto o¤erta sul mercato.

Il monopolio puro è raro quanto la concorrenza perfetta pura. Tuttavia, molti mercati si avvicinano a

questa struttura di mercato.

In condizioni di monopolio, l’equilibrio è rappresentato da quella quantità e quel prezzo che massimizzano

il pro…tto del monopolista: d 0 0

= 0 ) R = C ) q (84)

max = p(q ) q C(q ) )

i i i i

dq

q i

i

Ciò corrisponde a imporre l’uguaglianza tra il ricavo marginale e il costo marginale dell’impresa. Il prezzo

lo si legge sulla curva di domanda, in corrispondenza della quantità di monopolio (Figura 1).

A di¤erenza della concorrenza perfetta, in monopolio la curva di domanda (che coincide con la curva di

ricavo medio) è superiore alla curva di ricavo marginale. La ragione è che se si riduce di un centesimo di

Euro il prezzo, questo non diminuisce solo sull’ultima unità (al margine) ma su tutte le unità vendute. Se la

curva di domanda è lineare, si dimostra che la curva di ricavo marginale ha la stessa intercetta verticale ma

una pendenza doppia rispetto alla curva di domanda inversa (l’intercetta orizzontale della curva del ricavo

marginale è la metà dell’intercetta orizzontale della curva di domanda).

Ma come fa un’impresa a …ssare il prezzo nella pratica e, di conseguenza, a stabilire quanto o¤rire? Esiste

una regola empirica frequentemente applicata nella pratica. Dato il ricavo totale R = p(q) q e il costo totale

C(q); dalla condizione di ottimo (che corrisponde all’uguaglianza tra ricavo marginale e costo marginale) si

ottiene la seguente regola empirica: @R @p @p q

0 = (85)

R = = p + q = p(q) 1 +

@q @q @q p

1 1

= p(q) 1 + = p(q) 1 ;

" j" j

q;p q;p

@C(q)

0

C (q) = ;

@q 1 @C(q)

0 0

R = C (q) =) p(q) 1 + =

" @q

q;p

94

da cui si ricava che 0 0

p C (q) 1 p C (q) 1

= oppure = (86)

p " p j" j

q;p q;p

0 0

c (q) c (q)

p = oppure p = (87)

1 + (1=" ) 1 (1= j" j)

q;p q;p

dove " indica l’elasticità della domanda al prezzo.

q;p

Dato che il potere monopolistico consiste nella capacità di praticare un prezzo superiore al costo marginale,

la (87) evidenzia come il prezzo praticato dal monopolista sia superiore al costo marginale di un ammontare

inversamente proporzionale all’elasticità della domanda al prezzo: quanto più la domanda dell’impresa è

anelastica, tanto maggiore è il suo potere monopolistico. Risulta anche evidente la ragione per cui il mono-

polista non opera mai nel tratto anelastico della curva di domanda, cioè nel tratto in cui j" j < 1. Quando

q;p

j" j < 1, infatti, il ricavo marginale è negativo, come si evince dalla (85). Dalla (86) si può notare come il

q;p o sul costo (in percentuale rispetto al prezzo) sia uguale al reciproco dell’elasticità della

ricarico markup

domanda, preso con segno negativo.

8.1. Mercato monopolistico con più impianti

Il monopolista può decidere di produrre il bene utilizzando più di un impianto. In tal caso, i costi di

produzione possono di¤erire da un impianto all’altro.

Il monopolista quindi ha un problema in più: non deve solo decidere quanto bene o¤rire e a che prezzo,

ma anche quanto produrre in ciascun impianto.

Per prima cosa, i due impianti devono produrre in modo tale da avere lo stesso costo marginale, indipen-

0 0 0 ). Tuttavia, dato che l’impresa deve produrre in modo

dentemente dal prodotto totale (C = C = ::: = C

n

1 2

tale da uguagliare costo marginale e ricavo marginale, il pro…tto del monopolista sarà massimo quando il

ricavo marginale sarà uguale al costo marginale di tutti gli impianti:

0 0 0 0

R = C = C = ::: = C (88)

1 2 n

dove C ; :::C sono i costi marginali degli n impianti dell’impresa.

1 n

8.2. I costi sociali del potere di monopolio

M C

In regime di monopolio, il prezzo è più alto (p > p ) e i consumatori acquistano una quantità minore

M C

rispetto alla concorrenza perfetta (Q < Q ). La presenza di un’unica impresa con potere di mercato

impone un costo alla società poiché meno consumatori acquistano il bene e quelli che possono acquistarlo lo

pagano di più. Pertanto, ci si può aspettare che il potere di monopolio apporti un danno ai consumatori e un

vantaggio alle imprese. Infatti, alcuni consumatori continueranno a consumare il bene a un prezzo più alto

(subendo una perdita corrispondente all’area AHED), altri non potranno più acquistarlo perché il prezzo di

monopolio è superiore al loro prezzo di riserva (subendo una perdita pari all’area HCE). Ne consegue, che

la perdita totale per il consumatore è data dall’area ADEC. D’altro lato, il monopolista venderà il prodotto

95

a un prezzo più alto, ottenendo un guadagno addizionale pari all’area del rettangolo AHED, ma perderà il

C M

pro…tto derivante dalla vendita di un numero maggiore di unità (Q Q ) al prezzo di concorrenza perfetta

C

(p ) corrispondente all’area HCF . Pertanto, dato che il benessere sociale complessivo può essere misurato

come somma del surplus dei consumatori e di quello dei produttori, in regime di monopolio si genera una

38 La perdita netta derivante dal potere monopolistico è pertanto rappresentata

perdita sociale netta.

dall’area del triangolo ECF .

p B S

D E

M

p C

H

A

C

p F

G D

R’

M C

Q Q Q

8.3. Discriminazione di prezzo

Un’impresa monopolistica può trarre vantaggio dalla conoscenza del mercato che serve. Quanta più infor-

mazione dispone, tanto maggiore sarà la probabilità di individuare quella strategia di prezzo che massimizza

i suoi pro…tti. Per un’impresa con potere di mercato, studiare la migliore strategia di prezzo signi…ca identi-

…care quella strategia che consente di appropriarsi di una buona parte del surplus del consumatore (al limite

tutto il surplus del consumatore) e convertirlo in pro…tto.

Esistono tante strategie di prezzo ampiamente usate nei mercati: diverse versioni di discriminazione di

prezzo (consistenti nell’applicare prezzi diversi a di¤erenti clienti per lo stesso bene o per versioni leggermente

di¤erenti dello stesso bene), la tari¤ a a due parti (in cui il prezzo del bene è costituito da due componenti,

una parte …ssa di diritto d’accesso e una parte proporzionale al numero di unità di bene acquistate), la

pubblicità e il bundling (o¤erta di beni in pacchetti tutto compreso).

In generale, per appropriarsi del surplus del consumatore non è possibile applicare lo stesso prezzo. È

quindi necessario applicare prezzi di¤erenti a clienti diversi, sulla base della loro posizione lungo la curva di

3 8 La perdita netta si calcola rispetto al benchmark che, in generale, è la concorrenza perfetta, la quale garantisce la massima

e¢ cienza, ossia il massimo surplus della collettività. 96


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Esame: Microeconomia
Corso di laurea: Corso di laurea in economia aziendale
SSD:
A.A.: 2015-2016

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher vittorio795 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Microeconomia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Acconcia Antonio.

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