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esercizio su impulso ed energia
Con un impulso verticale, si fa salire un punto materiale (inicialmente fermo) di massa m = 1 (Kg) lungo una guida verticale fino all’altezza h = 2 (m). Giunto alla quota h il punto […] lungo la guida e giunge a terra con energia cinetica [Ecf = 8 […]]. Lungo la guida, sia durante il moto di salita che quello di discesa, hanno sempre giusto forze dissipative in modulo costante sempre opposte al moto del punto materiale. Calcolare l’impulso I!
Salita Lnc = EmD - EmA
Fd 1s = 1/2 m vB2 + mgh - 1/2 m v02 - mgh0
discesa Lnc = EmD - Ec
Fd 1d = 1/2 m vB2 + mgh0 - 1/2 m vC2 - mghC
Finché so che: hB = hc, VB = Vc
Fd 1c = 1/2 m vC2 + mgh - 1/2 m vB2 - mgh
Fd 1c = Ecf + mgh0 - 1/2 m vB2 - mgh
Nel punto B avrà del il corpo è fermo poiché successivamente questo inverte il moto e cade al suolo => VB = 0
Fd 1ur (2mghc - Ecf) + mgh0 - 1/2 m v02 => Ecf + mgh0 = mghc - 1/2 m vB2
Fd 1c = Ecf - (2mgh0 + Ecf) - mghc
1/2 m v02 = 2 mghc - Ecf => (2mghc - Ecf)m
= 2(2.1.9.8.1.8)1
= 62.8 = 7.90 [m/s]
Usando th. dell'impulso: I = pffin - pim = m vB - m vC = 0 - 7.90 - 0 = 7.90 [Kgm/s]
OSSERVAZIONI/APPUNTI
Esercizio sul pendolo
Un pendolo semplice è costituito da un corpo puntiforme di massa m=0.5 (Kg) legato ad un filo ideale di massa trascurabile e lunghezza L. Il pendolo è tenuto in posizione θ0=0.1 [rad], alto blabla terzo uve. Lasciato libero di oscillare. Determinare in funzione dell’angolo θ0 con la verticale, l’espressione del modulo della reazione vincolare R nel punto di sospensione P. Calcolare i
valori di R per θ = 0.
X: - mg sin θ = mx
Y: - mg cos θ + T = m L ⇒ T = mg cos θ + m v2
- R + T = 0 ⇒ R = T
Applico il principio di conservazione dell’energia poiché Non vi sono forze non conservative quindi avrò:
Ei + Em = Ea + Ea ⇒ KB + UB = KA + UA.
U0: 1/2 mv2 + mg (L - L cos θ0) 1/2 mv2 + mg (L - L cos θ0) Perché il inclinante ferrato
U:
2 (mg (L - L cos θ0) - fg (L - L cos θ0) sin θ.
R = T = mg cos θ + [2 g x (1 - cos θ0) - 2 x (1 - cos θ0) m v].
R = T = mg cos θ + 2 mg (1 - cos θ0) - 2 mg (1 - cos θ).
mg cos θ + 2 mg - 2 mg cos θ0 - 1 mg + 2 mg cos θ
per θ = π 3 mg cos θ - 2 mg cos θ0 = mg (3 cos θ - 2 cos θ0). per θ = 0 g 9, 8 0.5 = 2, 45 [N] per θ = 0 g 9 (3 - 4/2) = 9,8 [N]
OSSERVAZIONI / APPUNTI
Esercizio su: Momento Angolare e Momento d'Inerzia
(Ruota di bicicletta)
Una ruota è costituita da un anello di massa man = 1 [Kg] e raggio r1 = 80 [cm] da un disco di massa md = man e raggio r2 = 20 [cm], coassiale all'anello e ad esso passi indentro, ciascuno di massa md = 9.10-2 [Kg] e lunghezza d = (r1-r2) disposti come in figura. La ruota può ruotare liberamente attorno al suo asse centrale. La ruota sta inizialmente ferma; nell'intervallo di tempo 0 ≤ t ≤ 10 (s) viene applicato sull'asse della ruota della ruota un momento meccanico costante τ = 4 [N/m] che la mette in rotazione.
Calcolare la funzione ω(t) per t ≥ 0 della velocità angolare della ruota e graficarne l'andamento; calcolare il lavoro fatto del momento meccanico nell'intervallo di tempo 0 ≤ t ≤ 10 (s)
τ = dL/dt = τ = d(Iω)/dt → τ = Iα → α = τ/I
I = manr12 + 1/2 mas.r22 + 16 [d/12 md note + md/2 r2 (r2)2] = 0,886 [Kg/m2]
ω(t) = ω(t0) + αt → ω(t) = τt/I → ω(t) = 4,52 t
Lt = ΔEK
Lt = 1/2 I ω2 - 1/2 I ωi2 = → Lt = 9,03 . 102 [J]
Osservazioni / Appunti:
x(t) = A cos(ωt + φ)
v(t) = -ωA sin(ωt + φ)
a(t) = -ω2A cos(ωt + φ)
2A = cos 2φ+ sin2(φ)
v(t0) = ω A sin(φ0)
k-0 = KA 2
k = \frac{100 \cdot m}{A2} = 362,26 \left[\frac{N}{m} \right]
Applicando il principio energetico: \frac{1}{2}mv2 = \frac{1}{2}KA2 → K = \frac{mv2}{A2} = 346,25 \left[\frac{N}{m} \right]
Quando si stacca la carrucola e tutto puó ruotare intorno:
ora ho che: T1 = m1 g + m c2
T2 = m2 g − m c2
m c g − m2 c2 = m m g − m2 g = 1/2 mca c
− 1/2 mca c + m2 g + mcg = m2 g − mcg
ora ho che: T1 = m1 g + md m2 g − mcg / (md + m2 + mc / 2) = 9 / 5 g
T2 = m2 g − mc m2mcg − mcg / (m1 + m2 + mc / 2) = 7 / 5 g
T = T1 + T2 + mcg = 26 / 5 g
ora riprendendo l'equazione dell'equilibrio dei momenti rispetto al polo O:
TA (bA) = TB (bB) - 26 / 5 gz hg - M = gz (kg)
OSSERVAZIONI / APPUNTI: Nei problemi di statica conviene sempre costruire un diagramma di corpo libero dove inserire tutte le forze presenti! Se sono in presenza di equilibrio se ΣT = 0, ΣV = 0 viceversa ci sono delle accelerazioni che seguono quanto detto dal II principio della dinamica: Ftot = m S!
Esercizio corpo rigido - Carrucola
A una carrucola di raggio r1 massa m1 e momento d'inerzia I rispetto all'asse ortogonale al piano verticale su cui giace la carrucola e passante per il suo centro sono sospese tramite un filo due masse m1 e m2 con m2 > m1.
Calcolare l’accelerazione delle masse, le tensioni T1 e T2 la reazione sull’asse della carrucola. Studiare in particolare il caso m1 ≠ 0. Si suppone che il filo non slitti e che non ci sia attrito sull’asse.
T1 - m1g = m1a → T1 = m1g + m1a
-T2 + m2g = m2a → T2 = m2g - m2a
N - T1 - T2 - m1g = 0
T2R - T1R = Iα
-D (m1g − m2g ) (r2 - r1) = I2R1
m2g − m2a - m1g = I2R1α
α = m2g − m1g
2 = m2g - m1g/I/r12 + m2 + m1
N = m1g (1 + 2/g) + m2g(1 - 2/g) + m1g
→ m1g + m1α + m2g - m2a + m1g = 0
g (m1 + m2 + 2m1) - α(m1 + m2) = 0
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