Esercizi svolti, Scienza delle costruzioni

Esercizio P.1

A trave max M = 2 V_B = 3+1+1+1 = 6 L = 3M = 6 V₀ = 2 L = 2 L₀ V = -2 L = ? i = ?

Campo 1

A⁺: V_A + V_B + V_C - 2ρl = 0 H_A - H₀ = 0 A^-: -V_B L 2VL - M_D + 2ρl 2L + H₀ = 0

Campo 2

A⁺: V_B = 0 V_B = 0 → H_D = 0 A⁺: V_E M₀ = 0

Matrice A

1. 1 0 0 0 -1 0 0
2. 0 0 1 0 0 -1 0
3. 0 1 0 0 0 0 -1
4. 0 0 0 1 0 0 -1
5. 0 0 0 0 1 0 1
6. 0 0 0 0 0 1 1

X

• β_A
• V_A
• V_B
• V_C
• H_B
• H₀
• V_C

Q

• 0
• 2ρl
• Δpl
• 0
• 0
• 0
• 0

AX=q

V_re = rgA → ι = V - rgA l' = L - rgA rgA = 6 → l' = 0 ι = 2

1) H_A + H_B = 0 V_A + V_B = 0 C_A: M₀ - H_B + V_B L₁ = 0

2) H_E = H_C V_C - V_E + 8pL = 0 ...

3) H_F = 8pL/3 V_F + V_E = 7pL/3 H_E = 4pL/3

4) M_B = 10pL

EAA

(P = 10)

P = 0

v"(0) = 0; v'(z) = c₁; v(z) = c₁ z + c₂; v = c₁ z²/2 + c₂ z + c₃; v = c₁ z³/6 + c₂ z²/2 + c₃ z + c₄

c₁ = c₁ + c₀ = 0;

v'(z = l) = 0; c₁ z₁ + c₂ = 0; c₁ z₁ + (z₁/l - c₂ = 0;

v(0, z = l) = M / EI (z₁ + (z/l))

v"(z = l) = M / EI ( (z₃/6l) + (z/l))

v(0,0) = M / EI (l / 2l) (M / l / z q) = 0

EAP

(P = 10)

⇑ H_A - L

v'(A) = 0; H_A = 0

{ v(A) - v(D) - p - l = 0; v_B = 3/8 pL

{ -v_B /L 12/2 /p / (1/ = l) H_B = 0; V_C = 3/8 pL

⇒ -v_B /L = 0 V_A = 3/8 pL

{ H_A + t l = 0; H_B = 0;

{ H_C = 1E A = 0

P V

p L V

L. A. pag. 13

U(x, y, z) = 2x² - 7xy + 6z

V(x, y, z) = 3xy + 6z

W(x, y, z) = xz - xy

P(x, y, z) = (0.5, 0.2, 1.2)

ε_x = ∂U/∂x = 4x - 7y

ε_y = ∂U/∂y = -7x + 3y

ε_z = ∂U/∂z = 6

γ_xy = ∂U/∂y = -2x + 3y

γ_yz = ∂U/∂z = 3xy − U ∂/∂x − y

E = ^{| ε_x γ_xy γ_xz |} _{| γxy εy γyz |} ^{| γ_xz γ_yz ε_z |} _{| 10x + 7y |} ^{| 3xy |}

W=∇S=E

• ∂U/∂x
• ∂V/∂y
• ∂W/∂z

LE = 0

• γ_xy 10x + 3xy
• ε_z = 0 (2/3)
• 0 7x - 6y

O = ε_x + ε_y + ε_z ... m^P

O = (0.5 + 0.2 + 4)

E. Mecc. pag. 101

|⟩A⟨|bc...c₂

_VA ⁰ _F ^{VA F_A}

MA = F(z - L)

MA = 0

N_u = c₃

N_u = c₂

Sezione I

A_V = 2plH_c = 2plP = 2pl

TRATTO CD: 0 ≤ z ≤ 3l

plP(z) = bz + 2plT(z)

TRATTO DE: 0 ≤ z ≤ 3√2

P(z) = ρzT(z) = P(z)

TRATTO E: 0 ≤ z ≤ 3√2l

M(z) = ρz²/2

b²/8 = 3plz(b²/2) / 3pl = a²/3pl²

TRATTO F: 0 ≤ z ≤ 2l

in E, D: M₀ = 0 → no coppie concentrate

TRATTO G: 0 ≤ z ≤ 3l

M(z) = b²/2 - 2plz

h_c = 3l(h_c) = 0

Sezione 1

H_c = ρVH_a = ρz

→ FV_d = 0V_e = 0(E)b₅ = 0H_g = H_e

(G)→ H_f + H_e - H_a > 0[HA + HD ...]+

d²x/dt² +

pL/3 + T - pL /2 * z L

pz/L z=0

pL/3 + T

+ pL/2 * z

- pL/2 * z² /L

z=0

T - pL/3 + T

pL²/8

- pL²/4

= 0 T=

pL/2

T pL/3 +

pL²/8 =

p

pL²/4

/T=

g

vora

ppL² 9

= 1 T -

pL/3 T

pz / L z = 0

z = 1 / 2

p

z=1/2 T pL

Esercizio

1. _A ^- _HA = 0 ^VA_V^A = 0 p_l
2. ⁺ _Re ^√2_{2 HC} = 0

Riepilogo

VERIFICA:

Nodo F

(a 3 vie)

L 3/8 pl² - 7/8 pl² + pl² = 0

0 = 0 ok!

Esercizio

Equilibrio esterno:

• R_b L/2 + pl L - 2pl L = 0
• 2pl - 3pl - R_c L/2 = 0
• V_c - 3pl/2 pl - V_p pl

R_e = √2 pl = V_p

Strutture spaziali (vale di più: vale + di 18 se perfetto)

Eso:

Linea elastica, no numero.

Esame

Ceneri + parallelo dim. El bastoni dell'arco in genere vale + di un appello (c)

Errore

Incognita spettatrice: H_A (sceltè ricondur. arco a 2 cerniere)

Equilibrio:

• H - H_B + ρl = 0
• V_E = 0
• V_E = 0
• -H_BL/2 + ρlL/2 = 0
• H₁ = -ρl

• H_E - H_B + ρl = 0
• V_x = 0
• V_F = 0
• C_E + ρl = 0
• M_A = 0

Principali:

• C = 0
• ρl

Diagrammi

N

ρl/3

45°

ρl

Fine studio e testi allegati

Diagrammi

N

0≤z≤l₁

pℓ₁²

N(z)=0

T

0≤z≤l₁

τ

F

_e

ℓ₁

τ(z)=0

(p/2)z²

I/8

M

in C non coppia concentrata

Soluzioni compatibili!

In D continuiamo se è attiva

M(z)=pℓ₂/2+plz+z

Schema

Tratto (EF)

p

pℓ₁

4p

+p(l/4)z=0

M_n=-3(p/1)

compongono fredde in A e C, le centramenti si annullano tra loro → N=0

Energia

Metodo della forza unitria (PLV)

PLV L_e = L_f

L_e = ∑ R_x X̂_x + 1/2 σ(A)(B) = σ(B)

L_e = 1/EI ∫₀^L M₀k_A(z) + ∫₀^L π/2(z-k)(1/EI(γ₁-γ₂))² dz

U_1ε = α ΔT₀ - ΔT₁ = α - α ΔT - ΔT² = 2α ΔT / h

σ(B) = p l⁴ / 8EI + 2α(L/l)² / h = 7,14 + 4,26 = 11,84 mm

Tensioni tangenziali:

Taglio PIATTABANDA

S^t = 0,5 x t x 3,25

Anima

T_t2 = T_d x S^t / b I_x

S^x = 0,5 x (15 - 3/2) x 5

Calettone T x 5,0 = S^o x 5 = 2,0

T_t2 = 20 x 5,0 x (15 - 3/2) / 859,4667

S^o = 15 T = 0

T_max = 2,6182 kN/cm²

S^o = 20 T = 2,3978 kN/cm²

Momento torcente M_t = 30 kN/cm = 30: 10 kN/cm

T_2,max = T_t,max = M_t / J_t x 0,5 = 909,360 kN/cm²

J_t = 1/3 ∑ a_i b_i x 3 (20 x 0,5 x 2) = 1,666 cm⁴

τ_t = τmax (T_t + M_t)

τ_max(A) = 909,360 + 2,6182 = 912,388 kN/cm²