Esercizi svolti, Scienza delle costruzioni

N S N S

= =

( ) ( )

T S T S

1 1 da cui i diagrammi delle sollecitazioni rappresentati sotto.

2 L 2 L

= = +

( ) ( )

M S M S

S S 1

2 L 2 L 2

0 1 0

0 1

0 L

2 L

2

T

N M 32/56 1

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2010/2011

A questo punto non ci resta che applicare l'integrale di mohr.

Dobbiamo inserire la parte statica (forze e sforzi) dal problema equivalente e la parte cinematica (deformazioni e spo-

stamenti) dal problema reale.

~ ~

θ ε χ

⋅ = +

1 N M

C S

poiché la condizione stabilisce che la rotazione in C deve essere nulla, il primo termine viene posto uguale a zero, resta

quindi:

~ ~

ε χ

+ = 0

N M

S

Poiché il momento M è non nullo, possiamo trascurare la parte relativa allo sforzo assiale N, pertanto resta:

M

~ χ χ

= = 0

0

M ricordando che la deformazione incurvamento è esprimibile come: , da cui:

k M

S M

~ = 0

M k M

S x volte il problema

inoltre, dato che il problema equivalente è dato dalla combinazione lineare del problema zero e di 4

1, possiamo scrivere:

M

( )

+ = 0

M x M dato che M = M1, avremo:

0 4 1 k M

S M

( )

+ = 0

M x M 1

0 4 1 k M

S 2

M M M

+ =

0 1 0

x 1

4

k k

M M

S 2

M M M

+ =

0 1 0

x 1

4

k k

M M

S S

M M

0 1

k

= − M

S

x il sistema è composto da 3 tratti di lunghezza L, andiamo a risolverlo:

4 2

M 1

k M

S

L L L

M M M M M M

+ +

0 1 0 1 0 1

k k k

M M M

0 0 0

= − V OI OII

x 4 L L L

2 2 2

M M M

+ +

1 1 1

k k k

M M M

0 0 0

V OI OII 33/56

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2010/2011

PROBLEMA 0 =

( ) 0

N S = −

2

( )

T S P PS

S

1

TRATTO VERTICALE 2 L

= − 3

2

( )

M S PS P

1 1 S

2 6 L

per il tratto AB per il tratto BC

= − =

( ) ( ) 0

N S PL N S

1

2

= − = −

( ) ( )

T S PL T S PL

1 1

TRATTO ORIZZONTALE 6 6

= − = −

2 2

( ) ( ) ( ) (

1 )

M S PL M S PL

S S

1 1

6 L 6 L

PROBLEMA 1

TRATTO VERTICALE (NULLO OVUNQUE)

per il tratto AB per il tratto BC

= =

( ) 0 ( ) 0

N S N S

= =

( ) ( )

T S T S

1 1

TRATTO ORIZZONTALE 2 L 2 L

= = +

( ) ( )

M S M S

S S 1

2 L 2 L 2

L L

− − +

2 2

( )( ) (

1 )( )

PL PL

S S S S

1 1 1

+

L

6 2 L 6 L 2 L 2

k k

M M

0 0

= − OI OII

x 4 L L +

2 2

( ) ( )

S S 1

+

2 L 2 L 2

k k

M M

0 0

OI OII

L L

− + − +

2 2

( )( ) (

1 )( )

PL PL

S S S S

1 1 1

6 2 6 2 2

L L L L

= − 0 0

x 4 L

L + +

2 2

( ) ( )

S

S 1

2 2 L 2

L

0 0

L L

1 1 1

− + −

2 2 2

PS PL PS

12 12 12

= − 0 0

x 4 L L

2 2 1

S S S

+ + +

2 2

4 4 4 2

L L L

0 0

1 1 1 1 1

− + −

3 3 3

PL PL PL

12 3 12 12 3

= −

x 4 3 3 2

1 L 1 L 1 1 L

+ + +

L

2 2

3 4 L 3 4 L 4 2 2 L

1 1 1 1 1 1

− + − − +

3 3 3 2 2 2

PL PL PL PL PL PL 1 3 3

36 12 36 18 12 36

= − = − = − = − = −

2 2

x PL PL

4 1 1 1 1 1 1 2 36 2 72

+ + + +

L L L L

12 12 4 4 6 2 3 34/56

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2010/2011

ESERCIZIO (LUG-10)

Calcolare lo stato di sollecitazione nel telaio seguente. Calcolare

lo spostamento verticale del carrello in A.

Stabiliamo il grado di iperstaticità del sistema e disegniamo le reazioni vincolari.

- il vincolo centrale (glifo) ha molteplicità 2 (blocca 2 movimenti);

- il vincolo destro (carrello) ha molteplicità 1 (blocca 1 movimento);

- il sistema è costituito da una trave, pertanto abbiamo 3 equazioni;

abbiamo quindi 3 incognite in 3 equazioni.

sottraendo le equazioni alle incognite risulta 3 – 3 = 0

Il sistema è pertanto isostatico e siamo sicuri della validità del calcolo perché i vincoli non permettono atti di moto

rigido.

Scriviamo le equazioni di equilibrio: polo

x

− =

x 0 equilibrio orizzontal

e P A

3

2

− =

x PL 0 equilibrio verticale

1 x

1 2 2

x

− =

PL L x

( ) 0 equilibrio alla rotazione

1 2 1

3

2 3

=

x 0

2 =

x PL

1

1 2 2

PL

1

P A

= 2

x PL

1 3

3 3 PL

da cui ricaviamo il sistema rappresentato a lato. 1

2

Dividiamo il telaio in due tratti in quanto una parte è caricata mentre l'altra non lo è.

b

Nel primo tratto avremo che il carico avrà la seguente funzione :

T

− − − − −

y y x x y P x 0 y P x

= = =

0 0 da cui

− − − − −

y y x x 0 P L 0 P L

L L

0 0 S

x x = −

− = − = − b P P

y P P y P P T L

L L

Scrivendo le equazioni indefinite di equilibrio avremo:

′ + =

N b 0

N

′ + =

T b 0

T

µ

′ + + =

M T 0

′ ′

= = =

N 0 N 0 N ( S ) N ( 0 )

′ ′

+ − = = − + = − + 2

T ( P P ) 0 T P P T ( S ) T ( 0 ) PS PS

S S 21

da cui

L L L

′ ′ ′

+ = + = + =

M T 0 M T 0 M T 0 35/56

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2010/2011

= =

N ( S ) N ( 0 ) N ( S ) N ( 0 )

= − + = − +

2 2

T ( S ) T ( 0 ) PS PS T ( S ) T ( 0 ) PS PS

21 21

L L

′ ′

+ − + = = − + −

2 2

M T ( 0 ) PS P S 0 M T ( 0

) PS PS

21 21

L L

=

N ( S ) N ( 0 )

= − + 2

T ( S ) T ( 0 ) PS P S

21 poiché le reazioni vincolari all'estremità sono nulle:

L

= − + −

2 3

M ( S ) M ( 0 ) T ( 0 ) S PS PS

1 1

L

2 6

=

N ( S ) 0

= −

2

T ( S ) P S PS

21

L

= −

2 3

M ( S ) PS PS

1 61

L

2

vediamo agli estremi del primo tratto abbiamo: N 0

=

N ( 0 ) 0

=

=

S 0 T ( 0 ) 0 F

T

=

M ( 0 ) 0 PL

1

2

=

N ( L ) 0 2

PL

1

= = − = −

S L T ( L ) PL PL PL

1 1 3

2 2 0

M

= − =

2 2 2

M ( L ) PL PL PL

1 1 1

2 6 3

Il tratto di destra è completamente scarico. abbiamo quindi le sollecitazioni rappresentate a lato.

Per conoscere lo spostamento verticale del punto A utilizziamo il principio dei lavori virtuali. Prima di fare ciò è neces-

sario studiare lo stesso telaio in una diversa condizione di carico (problema virtuale) appositamente scelta al fine di co-

noscere lo spostamento verticale in A. polo

− =

x H

0

2 x 1

+ =

x V

1 0 3

1 x

− + = A

x L x L M

( ) 1

( 2 ) 0 2

1 3 x

1

=

x 0 polo

2 = − L

x 1 1

1 =

x L A

3 1

da cui otteniamo la soluzione a lato.

Anche qui, poiché la forza 1 è concentrata, lo sforzo di taglio T sarà costante, di conseguenza il momento M lineare.

Nel punto estremo sinistro

=

N 0

=

T 0

=

M 0

Nel punto al centro-trave 36/56

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2010/2011

=

N 0 N 0

= − = −

T 0 1 1

= − − =

M 0 ( L ) L 1

T

Nel punto all'estremo destro

=

N 0

= − + =

T 0 1 1 0

= − − + =

M 0 ( L ) L 0 M 0 L

Le funzioni delle azioni di contatto saranno:

per il tratto sx per il tratto dx

= =

N ( S ) 0 N ( S ) 0

= − =

T ( S ) 1 T ( S ) 1

= = −

M ( S ) 0 M ( S ) 2 L S

Applichiamo ora il principio dei lavori virtuali. Prendiamo la parte statica (forze e sforzi) dal problema virtuale e la par-

te cinematica (deformazioni e spostamenti) dal problema reale.

~ ~

~ ε χ

⋅ = +

1 v N M poiché N è nullo ovunque lo trascuriamo

A S ~

M

~ ~

~ χ χ

⋅ = =

1 v M sapendo che la deformazione può essere espressa in termini di sforzo

A k M

S ~

M

~

⋅ =

v M

1 A k M

S

dobbiamo ora integrare la funzione su tutto il dominio (la trave), pertanto spezziamo l'integrale in due parti:

L 2 L

1 1

~

⋅ = − + −

3

2

v PS S L S

1 ( 0 )( ) ( 2 )( 0 )

1 1 P

A 2 6 L k k

M M

0 L

~ =

v 0 (spostamento verticale nullo?)

A 37/56

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2010/2011

Esercizio (NOV-11)

Calcolare e diagrammare lo stato di sollecitazione per effetto del

carico applicato.

Vediamo qual è il grado di iperstaticità del sistema.

- il vincolo sx (glifo) ha molteplicità 2 (blocca 2 movimenti);

- il vincolo in basso (cerniera) ha molteplicità 2 (blocca 2 movi-

menti);

- il sistema è costituito da un'unica trave, pertanto abbiamo 3 equa-

zioni;

abbiamo quindi 2 + 2 = 4 incognite in 3 equazioni.

sottraendo le equazioni alle incognite risulta 4 – 3 = 1

Il sistema è pertanto 1 volta iperstatico e siamo sicuri della validità del calcolo perché i vincoli non permettono atti di

moto rigido.

Per capire quale delle 4 incognite (reazioni vincolari) possiamo scegliere come incognita iperstatica (considerare nota),

P

rappresentiamo innanzitutto le reazioni vincolari esplicate dai vincoli (rappresentate a lato), e scriviamo le equazioni di

equilibrio: polo

x

− =

x x H

0 4

1 2 x

− + =

PL x V

2 0 1

3

− + + =

x PL L x L x L M

2 ( ) ( ) ( ) 0

4 2 3

= =

x x x x

1 2 1 2

= = x

x PL x PL

2 2 x

2

3 3 3

= − − = −

2 2

x PL x L PL x x L

2 2

4 2 4 2 x

x . Il problema originario può essere

Consideriamo nota l'incognita 4

4 ~

P

espresso come un problema equivalente (rappresentato a lato), costitui- θ

+ =

P x

( ,