Esercizi svolti integrali doppi

Integrali doppi

∫∫ _D dx dy con D={(x,y) ∈ ℝ: x≤1, x≤y≤x/2}

1^a caso: rappresentare nel grafico cartesiano

x≤1 → y≤x/2 → 1-x≤y/2|x=1

1-x≤y/2   →    1-½x≤y  →y=2x →    x=0 →y+2 → x=1 → oppure y=_1x⁄₃

dunque D:0≤x≤2x≤x¹

2^a caso: calcolare

∫^y/2x⁄_1-½xdy    →∫₀^log2(x+2)⁵dx

∫⁰log2⁄1x+1xdx   rarr;∫(log)2⁸⁄dx

loga∙b=loga+logb°

∫^log2logxcosd2

11x&one;∗⁄

(se ∗#1

∫¹log_-(-*⁾)dx∗&sub2;

∴ log(^1∗dx

si=pezzo per parti (a^m)!=st^oggrado linear

Integrali doppi

∬ D dxdy con D={ (x,y) ∈ R² : x ≤ 1, 1 - x ≤ y ≤ x/2 }

1^a caso: rappresentare nel grafico cartesiano

x ≤ 1 y ≤ 1 x = 1

1 - x ≤ y ≤ x/2 ⟹ 1 - x = y/2

oppure y/2 - y

inoltre y = 1 - 2x

ora x ≤ 1 e y ≤ 2-2x con (0,0) ⟹ 0 ≥ 2 NO dunque si verifica qui

dunque D: 0 ≤ x ≤ 1 2f ≤ x + √2

2^a caso:

∫₀^x dx ∫_1-x^x/2 dy = ∫₀¹ [ f(log(y+2)) ] dx = ∫₀¹ [ f(log2+xlog1/2-xlog1) ] dx = log a*b = elog a + log b

∫₀¹ log2²*log1^x dx

∫₁² log(1+x)( x ) dx - ∫₁² log(-1-x) dx =

log2³* ∫_x¹ dx - ∫₀^{x( 1 )} dx

∫₁² dx / x - ∫₀¹ (x-log|x|+1)|₁

= -log3* ∫₀¹ log2² - 1 - log4* ∫₂¹

Integrali Tripli

T -> cilindro retto compreso tra i piani z = 0 e z = 1 di raggio 1 e avente per base la cerchia x² + y² ≤ 1

Si può risolverlo:

• per sostituire
• per strata o feli

I = ∫₀¹∫∫_D z√(R−x²) dxdy dz

D_{1} (il mio stato se certino)

toto la z come costante in quanto l'integrale dopo è un dxdy, che poto fuori

= ∫₀¹ z∫_{−√(1−x²)}^√(1−x2) dx = ∫_−A^A

ora lo guardiamo il integrale doppio, sufforniamo e progettiamo nel piano x,y

D : −A ≤ x ≤ A

dunque ∫∫ [ √(1−x²) − √(1−x²) ] dxdy

= √(1−x²) = 2∫ √(1−x²) dx = 2√1³/2 = 2/3

= 2 − 2/3 = 4/3 − 8/3

unire ∫₃² √(2tz) dt

• 8/3
• 8/3

= 3^1/2/8/3

3/4

— 3/10

Altro metodo di risolutare

T : x ≤ z ≤ A

−√(1−x²) ≤ y ≤ √(1−x²)

= ‘A -∫_−A ^‘A 4t dx

= √(x²) = √(4/3)

• − 4/3

D -> curo centrato nell'ogione e avente gli spigoli di lunghezza 2 parallela agl'asi cartesiani

D :: (x, y, z)