Esercizi svolti, Elementi di fisica

1

Una carica puntiforme positiva q=4∙10^-10C è posta a distanza molto piccola dalla superficie di un conduttore carico e subisce la forza attrattiva F=2,9∙10^-7N.

1. Calcolare il valore della densità superficiale di carica del conduttore nella zona vicina alla carica.
2. Calcolare il valore della carica del conduttore e verificare se la densità di carica è eguale a quella calcolata nella prima domanda.

Soluzione

F_c=qE_o=qσ/ε_o, σ=2.2⋅10^-6C/m²

σ è negativa dato che la carica è attirata

W=qQ/4πεR_o, Q=1.1⋅10^-10C

σ=Q/4πR²=2.2⋅10^-6C/m² eguale

2

Due condensatori C₁ e C₂ sono posti in serie. Il condensatore di capacità C₂ è sferico con i raggi che valgono R₁=6cm e R₂=7.7cm, il dielettrico è il vuoto. Quando si carica il sistema connettendo ai capi A e B un generatore di fem V_o=12V il lavoro speso per la carica è W=1.8⋅10^-3J. Calcolare:

1. il valore di C₁;
2. e dopo ai capi dei condensatori quando V_A-V_B=12V.

Soluzione

C₂=4πεε_oR₁R₂/(R₂-R₁)=3⋅10^-11F

W=1/2 CV² ⋅C₂=5.2⋅10^-11F

1/C=1/C₁ + 1/C₂, C₁=1.5⋅10^-11F

Q=CV=3⋅10^-10C

V₁=Q/C₁=2V , V₂=Q/C₂=10V

3

Un condensatore sferico ha l’armatura interna di raggio R_i=12cm e quella esterna di raggio R_e=18cm; il dielettrico è il vuoto. La differenza di potenziale tra le armature vale V=10V. Calcolare:

1. la densità di carica sull’armatura interna;
2. la densità di energia elettrostatica nel punto A equidistante dalle armature;
3. il lavoro compiuto per portare una carica q=10^-10C dal punto B al punto C.

Soluzione

C=4πεε_oR_iR_e/(R_e-R_i)=4⋅10^-11F

Q=CV=4⋅10^-10C , σ=Q/4πR²=2.2⋅10^-5C/m²

E(A)=Q/4πεε_or²=1.6⋅10⁶V/m con r=0.15m

u_e=ε_oε/2=11.3J/m³

W_B→C=V_B(q₂-q₃)ε_o

4

Un condensatore piano, con le armature di area S=4⋅10⁻² m² distanti h=2⋅10^-3 m, viene caricato alla ddp V=4.2⋅10² V. Calcolare:

1. la densità di carica sulle armature;
2. l’energia elettrostatica del condensatore;
3. il modulo della forza subita da una carica puntiforme q=1.4⋅10^-8 C posta all’interno del condensatore.

Soluzione

C=ε_oS/h=1.77⋅10^-9F; Q=CV=7.43⋅10^-9C

σ=Q/S=1.86⋅10^-7C/m²

U=1/2 CV²=1.56⋅10^-3J

B=σ/ε_o , F_q=qσ/ε_o=2.9⋅10^-4N

Soluzione

C=2πε₀(ln(R₂/R₁))^-1=3.3·10^-11F Q=2πε₀σ₀d=4.48·10^-9C, V=Q/C=136V

σ₁=Q/(2πR₁d₀)=7.1·10^-9C/m² E(R₁)=σ₁/ε₀=8·10⁴V/m

W=1/2 CV²=3.1·10^-7J,

Soluzione

E=V/h=10⁶V/m, u_e=1/2 ε₀E²=4.425 J/m³

F Q₁=C₁V₁=Q₂=C₂V₂ (ε₀S₁/d₁)E_d=(ε₀kS₂/d₂)E_d , k=S₁/S₂=2.4

E_d1+E_d2=V₀ , E=600V/m

26

Calcolare il valore della resistenza equivalente dell'insieme di resistori mostrati in figura e determinare in quale resistore la corrente sarebbe maggiore.

Soluzione

• il sistema equivale, andando per gradi,
• a) a 156Ω in parallelo a 23.5Ω + 68Ω
• b) a 156Ω in parallelo a 91.5Ω
• c) a 57.7Ω, risultato finale

la corrente è maggiore nel ramo inferiore, che ha resistenza minore nel ramo inferiore la corrente è maggiore nel resistore di 68Ω.

22

Nel circuito in figura tutte le resistenze sono uguali. Ai terminali A e B viene applicata una ddp V_AB. Calcolare quanto vale il rapporto tra la ddp V_CD misurata tra i terminali C e D e la ddp V_AB.

Soluzione

Ai capi di R e della serie R+R+R c'è la stessa ddp; quindi a ciascuna delle tre resistenze in serie è applicata una ddp che è un terzo di V_AB (V_AB=i₁R=3i₂R, V_CD=i₂R=V_AB/3)

21

Un condensatore sferico (raggio interno R₁=2cm, raggio esterno R₂=5cm), avente come dielettrico il vuoto, è connesso ad un generatore che mantiene tra le armature la ddp V₀=1.5·10³V. Lo spazio tra le armature viene riempito con un dielettrico di costante dielettrica k. Successivamente si stacca il generatore e le armature vengono connesse tra loro con un resistore di resistenza R=4.7·10⁹Ω; la costante di tempo del fenomeno di scarica vale τ=8.7·10³s. Calcolare:

1. il valore di k;
2. l'energia dissipata nella resistenza durante la scarica;
3. a differenza tra il valore della carica del condensatore con dielettrico Q'_c e il valore Q senza dielettrico.

Soluzione

τ=RC₁; C₁=1.85·10^-11F, k=C/C₁=5 essendo C=4πε₀R₁R₂/(R₂-R₁)=9.7·10^-11F viene dissipata W_d=1/2 CV₀²=2.1·10^-3

Q'_c=Q_cV₀ - Q_cV₀, ΔQ=(k-1)CV₀=2.2·10^-3C

23

Un condensatore viene caricato ad una certa differenza di potenziale e isolato. Successivamente le armature vengono collegate tra loro con un resistore di resistenza R=4.7·10⁶ Ω e il condensatore inizia a scaricarsi all'istante t = 0. Si osserva che la differenza di potenziale ai capi del condensatore si riduce a metà del valore iniziale dopo t=6.52 s.

1. Calcolare il valore della capacità del condensatore. Il condensatore viene riempito con un dielettrico e per avere lo stesso tempo di dimezzamento (t=6.52 s) occorre cambiare il valore della resistenza, portando a R'¹=1.5·10⁹ Ω.
2. Calcolare il valore della costante dielettrica relativa del dielettrico.

Soluzione

6^3.9=0.5, -6.52/τ=ln0.5, τ=9.4s τ=RC, C=2·10^-9f

eguale tempo di dimezzamento => eguale τ R'C''=RC; k=C'/C=R/R''=3.13