Esercizi svolti e commentati, Cinematica, Fisica

B PROBLEMI SUL MOTO DI CADUTA LIBERA

Esercizio 1 - Appello del 20/05/14

Un sasso è lanciato verso l’alto dal bordo di una scogliera verticale, alta 13.6 m dal livello del mare,

con una velocità iniziale di 6 m/s inclinata di 30 gradi rispetto all’orizzontale. Calcolare il tempo

necessario al sasso per colpire la superficie del mare e la distanza dal punto in cui esso tocca l’acqua

dalla base delle scogliera.

Il moto del sasso è parabolico. Per valutarlo è necessario scomporre la velocità nelle sue componenti.

v = v cosθ= 6 cos30°= 5.2 m/s

ox o

v = v senθ= 6 sen30°= 3 m/s

oy o

Lungo x il moto è rettilineo uniforme e la velocità orizzontale v si mantiene sempre costante.

ox

Moto lungo x: a=0,v =cost, x= v t

ox ox

Lungo y il moto è rettilineo uniformemente accelerato, il corpo è soggetto all'accelerazione di gravità e

la velocità verticale v cambia istante per istante (in particolare, quando il corpo giunge alla massima

oy

altezza, la velocità verticale è nulla). 2

Moto lungo y: a= -g, v = v - gt, y= y + v t - 1/2gt (y corrisponde all'altezza iniziale)

y oy 0 oy 0

2

Se il sasso tocca l'acqua, y=0: 13.6 + 3t - 1/2gt =0

2

Moltiplicando per te e cambiando di segno: 9.8t - 6t - 27.2= 0

2

Δ/4= 9 + 266.56= 275.56 = (16.6)

t = (3 + 16.6)/9.8= 2 s

1

t = (3 - 16.6)/9.8= -1.4s

2

t è un valore del tempo non accettabile perchè negativo.

2

La distanza orizzontale percorsa in 2 secondi è x= v t= (5.2)(2)= 10.4 m

ox

Esercizio 1 - Appello del 31/01/14

Una pietra cade, con velocità iniziale nulla, da una rupe. Una seconda pietra viene lanciata, dopo 2 s,

verso il basso, dalla stessa posizione, con una velocità iniziale di 30 m/s. Le due pietre raggiungono il

suolo nello stesso istante. Calcolare l'altezza della rupe e le velocità con cui le due pietre giungono al

suolo. 2

Moto della prima pietra: a= -g, v = - gt, y = y - 1/2gt

y1 1 0 2

Moto della seconda pietra: a= -g, v =v - g(t-2), y = y - v (t-2) - 1/2g(t-2)

y2 oy2 2 0 oy2

Se le due pietre giungono al suolo nello stesso istante, si avrà y = y = 0

1 2

2 2

y - 1/2gt = y - v (t-2) - 1/2g(t-2)

0 0 oy2

2 2

- 1/2gt = - v t + 2v - 1/2gt -2g + 2gt

oy2 oy2

t(2g - v )= - 2v + 2g

oy2 oy2

t= (- 2v + 2g)/(2g - v )= 3.88 s

oy2 oy2

2

y - 1/2gt = 0

0 2 2

y = 1/2gt = 1/2(9.8)(3.88) = 74 m

0

v = - gt= -9.8(3.88)= -38 m/s

1

v =v - g(t-2)= -30 - 9.8(3.88-2)= -48.4 m/s

2 oy2

Il segno negativo delle velocità calcolate è legato al fatto che le pietre si muovono verso il basso.

Esercizio 1 - Appello del 20/06/14

Una palla viene lanciata verticalmente verso l’alto con velocità iniziale v = 15 m/s. Calcolare la

0

velocità della palla quando si trova 5 m sopra il punto di lancio e il tempo che rimane in aria prima di

raggiungere la massima altezza. 2

Moto della palla: a= -g, v = v - gt, y= v t - 1/2gt

y o o

Quando la palla è a 5 m dal punto di lancio, si deve imporre y=5. Si potrà, così, calcolare l'istante in

cui la palla è a tale altezza risolvendo l'equazione:

2

y= v t - 1/2gt = 5

o

2

gt -2v t +10=0

o

o2 2

Δ/4= v - 10g= 127 = (11.3)

t = (15+11.3)/9.8= 2.68 s

1

t = (15-11.3)/9.8= 0.38 s

2

v (2.68 s)= 15 - 9.8(2.68)= - 11.3 m/s

y1

v (0.38 s)= 15 - 9.8(0.38)= 11.3 m/s

y2

Quando si raggiunge la massima altezza la velocità del corpo è nulla.

v = v - gt = 0 => v = gt

y o o

t= v /g= 15/9.8= 1.53 s

o

Esercizio 1 - Appello del 28/01/13

Un pezzo di intonaco si stacca dal cornicione ed oltrepassa, in 0.3 s, una finestra di ampiezza

verticale pari a 2.2 m. Dopo altri 1.7 s esso giunge al suolo. Calcolare l’altezza del cornicione rispetto

alla parte superiore della finestra e la velocità con cui giunge al suolo.

Consideriamo il moto del pezzo di intonaco quando passa accanto alla finestra. Quando giunge nel

punto B ha già percorso y =AB (corrispondente all'altezza del cornicione) e avrà già raggiunto una sua

c

velocità v . Se nel punto C consideriamo y=0, potremmo calcolare la velocità del corpo nel punto B.

1 2

Vale, infatti, la relazione: y= y + v t - 1/2gt

0 oy

F2

h + v t - 1/2gt =0

F 1 F F2 2

v = (1/2gt - h )/t = [1/2(9.8)(0.3) -2.2]/0.3= -5.9 m/s

1 F F

Se consideriamo adesso soltanto il tratto AB, sappiamo che v =0 e v =v .

A B 1

La velocità in B è stata raggiunta attraverso la relazione: v=-gt e possiamo, da essa, conoscere il

tempo necessario al pezzo di intonaco per attraversare AB.

t = -v/g= -(-5.9)/9.8= 0.6 s

C

Conoscendo il tempo, calcoliamo l'altezza del cornicione considerando in B y=0.

c2 c2 2

h - 1/2gt =0 => h = 1/2gt = 1/2(9.8)(0.6) = 1.76 m

C C

Possiamo, inoltre, calcolare, la velocità v con cui giunge in C e la velocità v con cui giunge al suolo

2 3

(in D).

v = v - gt = -5.9 -9.8(0.3)= - 8.8 m/s

2 1 F

v = v - gt = -8.8 - 9.8(1.7)= -25.46 m/s

3 2 s

Esercizio 1 - Appello del 13/04/10 (simile al precedente)

Una pietra in caduta libera impiega 0.32 s per superare una finestra alta 2.7 m. Calcolare da quale

altezza, dalla sommità della finestra, è caduta la pietra.

Quando la pietra arriva alla finestra ha una sua velocità v . Oltrepassata completamente la finestra,

1

possiamo considerare y=0. Prendendo in esame solo il moto lungo la finestra, si avrà quindi: y= h +

F

F2

v t - 1/2gt = 0

1 F F2 2

v = (1/2gt - h )/t = [1/2(9.8)(0.32) - 2.7]/0.32= -6.87 m/s

1 F F

La velocità v è stata raggiunta attraverso la relazione: v=-gt e possiamo, da essa, conoscere il tempo

1

necessario alla per raggiungere la finestra.

t= -v/g= - (-6.87)/9.8= 0.7 s

Se consideriamo, ora, solo il moto della pietra prima di giungere alla finestra, possiamo imporre che,

giunto alla finestra, risulti y=0. In questa situazione la velocità iniziale è nulla e la velocità finale

corrisponde a v .

1

2 2 2

h - 1/2gt =0 => h = 1/2gt = 1/2(9.8)(0.7) = 2.4 m

Esercizio 1 - Appello del 26/01/12

Un sasso cade da fermo in un pozzo al tempo t = 0. Se il suono del contatto con l’acqua è percepito

0

al tempo t = 2.4 s, calcolare la profondità del pozzo assumendo una velocità del suono di 336 m/s.

T

Confrontare il risultato con quello che si otterrebbe trascurando il tempo di propagazione del suono.

Il tempo t è ottenuto dalla somma del tempo t necessario al sasso per toccare l'acqua e dal tempo t

T 1 2

necessario per percepire il suono.

Per toccare l'acqua il sasso deve aver raggiunto una certa profondità h. Si tratta di un moto di caduta

12

libera e perciò si potrà scrivere h= 1/2gt .

Il suono per essere percepito percorre una certa distanza che corrisponde proprio ad h. Il moto del

suono è, però, rettilineo uniforme e perciò si potrà scrivere h= v t .

S 2 12 12

Uguagliando le due relazioni ottenute (in grassetto), si ottiene: 1/2gt = v t => gt = 2v t

S 2 S 2

Ricordando che t = t + t , sostituiamo t = t - t nell'equazione precedente.

T 1 2 2 T 1

12

gt = 2v (t - t )

S T 1

12

gt = 2v t - 2v t

S T S 1

12

gt + 2v t - 2v t = 0

S 1 S T

s2 2 2

Δ/4= v + 2gv t = (336) +2(9.8)(336)(2.4)= (358.7)

S T

t '= (-336+358.7)/9.8= 2.32 s = t

1 1

t '= (-336-358.7)/9.8= -70 s

2

t è un valore del tempo non accettabile perchè negativo.

2

Avendo ricavato t , possiamo calcolare la profondità del pozzo con la prima relazione in grassetto: h=

1

12 2

1/2gt = 1/2(9.8)(2.32) = 26.4 m

Trascurando il tempo di propagazione del suono, si avrebbe:

T2 2

h= 1/2gt = 1/2(9.8)(2.4) = 28.2 m

Esercizio 1 - Appello del 17/10/11

Un nuotatore è capace di nuotare ad una velocità di v = 1.5 m/s rispetto all’acqua. Se nuota dritto

n

attraverso un fiume largo =180 m che scorre con una velocità v = 0.80 m/s, calcolare in quanto

ℓ c

tempo e quanto lontano (rispetto al punto opposto a quello di partenza) arriverà sull'altra sponda.

Lungo y l'unica velocità presente è quella del nuotatore e si avrà che:

l=v t

n

t=l/v = 180/1.5= 120 s

n

Lungo x l'unica velocità presente è quella della corrente del fiume e si avrà, quindi, che il nuotatore

arriverà sull'altra sponda a distanza x rispetto al punto opposto a quello di partenza.

x= v t= (0.80)(120)= 96 m

c

Esercizio 1 - Appello del 21/02/11

Da un punto P(26m, 15m) in un sistema di riferimento cartesiano il cui asse x coincide con il piano

orizzontale, è lasciato cadere, da fermo, un sasso nello stesso istante di tempo in cui un proiettile è

lanciato verso di esso dal punto O(0,0) con una velocità in modulo v = 25 m/s

0

inclinata di 30° rispetto all’orizzontale. I moti del sasso e del proiettile avvengono nello stesso piano

verticale. Calcolare l’istante di tempo e la posizione in cui il proiettile colpisce il sasso e la velocità, in

modulo, del proiettile e del sasso in detto istante.

Il moto del proiettile è parabolico. La velocità iniziale deve essere scomposta nella direzione x e nella

direzione y.

v = v cosθ= 25 cos30°= 21.7 m/s

ox o

v = v senθ= 25 sen30°= 12.5 m/s

oy o

Moto del proiettile lungo x: a=0,v =cost, x= v t

ox ox 2

Moto del proiettile lungo y: a= -g, v = v - gt, y= v t - 1/2gt

y oy oy

2

Moto del sasso: a= -g, v= -gt, h= h - 1/2gt

P

Quando il proiettile colpisce il sasso, vuol dire che ha percorso orizzontalmente 26 m.

x= v t => t= x/v = 26/21.7= 1.2 s

ox ox

L'altezza del sasso a 1.2 s corrisponde alla posizione in cui il proiettile colpisce il sasso.

2 2

y= v t - 1/2gt = (12.5)(1.2) -1/2(9.8)(1.2) = 7.9 m

oy

v (1.2 s)= - 9.8(1.2)= - 11.8 m/s

S

Velocità del proiettile a 1.2 secondi:

v = 21.7 m/s

x

v = 12.5 - 9.8 (1.2)= 0.74 m/s

y

2 x2 y2

v = v + v => v= 21.7 m/s

Esercizio 1 - Appello del 17/06/10

Da un piccolo aereo che vola orizzontalmente con una velocità di 55 m/s viene lasciato cadere un

pacco che deve giungere su un tetto di un piccolo edificio. L’altezza dell’aereo è h=12.5 m rispetto al

tetto dell’edificio. Calcolare la distanza orizzontale dell’aereo dall’edifico a

cui il pacco deve essere lasciato cadere dall’aereo e il modulo della velocità con cui il pacco giunge