Esercizi svolti Analisi Matematica 2 - gennaio 2019

DURANTE LA PROVA I CELLULARI DEVONO ESSERE SPENTI - CHI VIOLA

QUESTA REGOLA SARÀ ALLONTANATO DALL'AULA IMMEDIATAMENTE

Fond. Analisi Mat. 2 , DICEA

Prof. N. Garofalo

28 Gennaio, 2019 - Prova scritta n. 3

Cognome & Nome (in stampatello)................................................

Matricola n. ..............................................

Problema 1. Risolvere il problema di Cauchy:

x'' - 2x' + 10x = 0,   x(0) = 1,   x'(0) = 0.

λ² - 2λ + 10 = 0

Δ = -36   →   λ_1,2 = ^{2 ± √36i}/₂ = 1 ± √36/₂ i

soluzione generale   x(t) = e^t(C₁cos √36/₂ t + C₂sen √36/₂ t)

per risolvere il problema di Cauchy →

x'(t) = e^t(C₁cos √36/₂ t + C₂sen √36/₂ t) + e^t(√36/₂ C₂cos √36/₂ t + √36/₂ C₂sen √36/₂ t)

{x(t) = e^t(C₁cos √36/₂ t + C₂sen √36/₂ t) + e^t(√36/₂ C₂cos √36/₂ t + √36/₂ C₁sen √36/₂ t)

condizioni iniziali

1 = C₁

0 = C₁ + √36/₂ C₂

C₁ = 1

C₂ = -²/₃₆

allora

x(t) = e^t (cos √36/₂ t - ²/₃₆ sen √36/₂ t)

1. È consentito l’uso di qualsivoglia testo o appunti, con l’esclusione di tavole di derivate, integrali e limiti. Non è possibile usare calcolatrici.
2. Se per un problema non si sceglie alcuna risposta, si ottiene credito nullo per quel problema.
3. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sui fogli del compito solo i calcoli necessari a giustificare la risposta. Consegnare solo i fogli del compito.

DURANTE LA PROVA I CELLULARI DEVONO ESSERE SPENTI - CHI VIOLA QUESTA REGOLA SARÀ ALLONTANATO DALL'AULA IMMEDIATAMENTE

Fond. Analisi Mat. 2, DICEA

Prof. N. Garofalo

28 Gennaio, 2019 - Prova scritta n. 3

Cognome & Nome (in stampatello)...

Matricola n. ...

Problema 1.

Risolvere il problema di Cauchy:

x'' - 2x' + 10x = 0, x(0) = 1, x'(0) = 0.

λ² - 2λ + 10 = 0

Δ = -36 → λ_1,2 = ^2±√36i/₂ = 1 ± √36/2 i

soluzione generale x(t) = e^t[c₁cos(√36/2 t) + c₂sen(√36/2 t)]

per risolvere il problema di Cauchy →

x^'(t) = e^t[c₁cos(√36/2 t) + c₂sen(√36/2 t)] + e^t[√36/2 c₂cos(√36/2 t) + √36/2 c₂cos(√36/2 t)]

x²(t) = e^t[c₁cos(√36/2 t) + c₂sen(√36/2 t)] + e^t[√36/2 c₂cos(√36/2 t) + √36/2 c₂cos(√36/2 t)]

condizioni iniziali

1 = c₁

0 = c₁ + √36/2 c₂

allora

x(t) = e^t[cos(√36/2 t) - ²/_√36sen(√36/2 t)]

1. È consentito l’uso di qualsivoglia testo o appunti, con l’esclusione di tavole di derivate, integrali e limiti. Non è possibile usare calcolatrici.
2. Se per un problema non si sceglie alcuna risposta, si ottiene credito nullo per quel problema.
3. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sui fogli del compito solo i calcoli necessari a giustificare la risposta. Consegnare solo i fogli del compito.

Problema 2.

(a) Il volume del solido

X = { (x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ ℝ⁴ | x₄ ≥ ( x₁² + x₂² + x₃² )^1/4, 0 ≤ x₄ ≤ 1 } è:

1. ³⁰/₃₃ π
2. ³²/₃₃ π
3. ³⁴/₃₃ π
4. ³⁵/₃₃ π
5. ³⁶/₃₃ π

(b) La coordinata x₄ del baricentro di X è:

1. ⁸/₁₉
2. ⁹/₁₉
3. ¹⁰/₁₉
4. ¹¹/₁₉
5. ¹²/₁₉

Problema 3.

(a) Sia Ω ⊂ Rᵈ l'ellissoide

Ω = { (x₁, x₂, x₃) ∈ R³ | ^{(x₁ - 10)²}/₄ + ^{(x₂ - 1)²}/₂₅ + ^{(x₃ + 99)²}/₉ ≤ 1 }

Si consideri il cono K ⊂ R⁴ ottenuto congiungendo con dei segmenti di retta i punti dell'insieme Ω × {T} con l’origine in R⁴. Allora il Vol₄(K) è:

1. 30π²
2. 60π²
3. 60π
4. 30π
5. 70π

allora

Volₘ₊₁(K) = ^h/_n+1 * Volₙ(Ω).

Vol₄(K) = ⁷/₄ * Vol₃(Ω) = ⁷/₄ * ⁴/₃ abc = ⁷/₄ * ⁴/₃ * 30π = 70π

(b) Sia ν la normale unitaria esterna a K. Il flusso esterno

∫_∂K dσ

del campo vettoriale

Φ(x) = Φ(x₁, x₂, x₃, x₄) = ( -x₁x₃e^x₃, x²₃+x₂, ^ex₃/₂+x²₁x²₃sin(x₁-x₂)) + x₄

è:

∫_∂K < ^Φ/_ν > dτ = ∫_K dν Φ

dν Φ = -x₃e^x₃ + λ + x₃e^x₃ + λ = 2

allora = 2 * Vol(K) = 2 * 70π = 140π

Problema 4.

(a) L'integrale generalizzato

è:

1. 0
2. 1
3. ¹/₂
4. 1
5. ³/₂

(b) L'integrale generalizzato

è:

1. ^π/₄
2. 2
3. ^3π/₄
4. ^5π/₇
5. π