Esercizi sul principio di induzione

Principio di induzione

∈ ≠ ∈

1) Sia q R, q 1. Provare che per ogni n N si ha:

n − n

(1 q )

∑ =

k

q q .

−

1 q

=

k 1

2) Dimostrare per induzione la formula:

ε, ∈

se y∈R, 0<ε<y, allora per ogni n N

≤ ε.

n n n n-1

(y+ε) - (y-ε) 2 y

3) Provare che:

n +

2 2

n (n 1)

∑ =

3

k .

4

=

k 1 ∈ 2

4) Dimostrare che, qualunque sia n N il numero n + n è pari.

n 2

5) Dimostrare per induzione che la disuguaglianza 2 > n è vera da un certo valore in poi.

Risoluzioni

1) Utilizzando il principio di induzione proviamo che:

( )

− n

n q 1 q

∑ = ≥ ∈

k

q

P(n): è vera per ogni 1 (n N).

n

−

1 q

=

k 1 ( )

q 1 - q

=

P(1) è vera: infatti q . Supponiamo P(n) vera e dimostriamo: P(n + 1) vera. Vale:

1 - q

( ) ( )

+

− −

+ 1

n n

1

n n q 1 q q 1 q

∑ ∑ + +

= + = + =

k k 1 1

n n

q q q q

− −

1 q 1 q

= =

k 1 k 1

ε ∈ ε

2) Fissati y R, 0 < < y utilizzando il principio di induzione proviamo che:

, ε) ε) ≤ ε ∈

n n n n-1

P(n): (y + - (y - 2 y è vera per ogni N.

n

ε) ε)

P(1) è vera: infatti (y + - (y - = 2ε.

Supponiamo P(n) vera e dimostriamo: P(n+1) vera. Vale:

ε) ≤ ε;

ε)

n n n n-1

- (y - 2 y

(y + ε) ε)

moltiplichiamo ambo i membri per (y + - (y - = 2 y si ricava

ε) ε) ε ε) ε) ≤ ε;

2 2

n+1 n+1 n-1 n-1 n+1 n

(y + - (y - + (y - ) [ (y + - (y - ] 2 y