Matematica Discreta - Esercizi

Insiemi

Esercizio

1. A ∪ B =A ⇔ B ⊆ A - Supponiamo che A ∪ B = A, dobbiamo provare che B ⊆ A ovvero che ∀x ∈ B x ∈ A - x ∈ B ⊆ A ⊆ B allora x ∈ A ∪ B = A ⇔ x ∈ A - Supponiamo che B ⊆ A proviamo che A ∪ B = A - A ∪ B = A ⊆ A - A ∪ B ⊆ A ∪ B - x ∈ A ∪ B ⇔ x ∉ A ∪ B ⊆ B ⊆ B ⊆ A ⇔ x ∈ A ∪ x ∉ A ⇔ x ∈ A.
2. A = {m ∈ N | 10 ≤ m ≤ 16} = {10, 11, 12, 13, 14, 15} B = {m ∈ N | 12 ≤ m ≤ 17} = {12, 13, 14, 15, 16, 17} C = {11, 15}

   A ∩ (B ∪ C) = (A∩B) ∪ C

   • i. B ∪ C = {11, 12, 13,...,17} ⊇ x ∉ x (A ∪ (B ∪ C)) = {11,...,15} = A
   • ii. A∩B = {12,..., 15} (A ∩ B) ∪ C = {12,...,15} = A

La regola vale per questo caso, ma non può dedurre dire che in generale

• Controesempio

• A ≠ {a, b, c, d} B = {b, c, e} C = {b, c, f}

Dimostriamo A ∩ (B ∪ C) ≠ (A ∩ B ∪ C

• B ∪ C = {b, c, e, f} A ∩ B = {b, c, e} A ∩ (B ∪ C) = {b, c}
• (A ∩ B) = {b} (A ∩ B) ∪ C = {b, c, e, f}

∆ (A | B) ⊕ A | (A ∩ B)

∀ x ∈ A ⊕ B → x ∈ ∆ (A ∩ B)

• x ∈ ΩA ⊕ B → x ∈ A ∩ x ∉ B → x ∉ (A ∩ B) ⊕ x ∈ ΩA (A ∩ B)
• x ∉ B. x ∈ ∩A ∩ B, pr0.a.ssando x ∈ A ∩ B → x ∈ B.
• x ∉ A → Ω ∈ A ∩ B → x ∈ ∩A ∩ B ∴ x ∈ B ⊥ (x ∈ A_QP x ∉ B)
• x ∈ ∩(A ⨁ ΩA) ⊕ (x ∈ A, x ∉ B) ⊕ _x ∈ A ⨀ ∩B.

∆ (B ∩ C) = (A | B) ∩ (A | C)

• ∀ x ∈ ∈ Δ (B ∩ C) → x ∈ (A | B) ∩ (A | C)
• x ∈ A, ⊕ x ∈ B ∪ ΩC ⊕ x ∈ A ∨ x ∈ B ⊕ ΩC) x ∈. λ | A ∪ 2 _{x ∉ (a

C (A ∪B) = (C | A) ∩ (C | B)

• ∀ x ∈
• {x ∉ c, ⊕
• {x ∉ A, C ⊕
• x ∉ C, ∝C ^{{x ∉ B}
• x ∈ (C | A) ⊕
• x ∈ (C | B)

c ( (A ∩ B) = (C | A) ∪ (C | B)

• x ∉ C
• x ∈ x
• C C
• x ∉ A, ⊕ x ∉ B
• ΩC, x ∉ (A_,
• ∩ B)
• x ∈
• A ∣ Ωx ∈ ^C
• (C | A) ⊕(C | B) = x = (C | A) ∪ (C | B)

∆ ((B ∩ C) = (A ∪ B) ⊕ (A | C)

• ^{x ∉ B}
• C ⊕
*
• x ∉ C, ω
• B ∩ C
• x ∈ x, ^{ωB ∪ C}
• (A | B ∩ C) X ∉AB)

(x | y) | z = (x | z) ∪ (y | z)

x^{∈X ∨ Y –}

cXcY

• Ω
• Xz
• ΩC
• x | x
• x ∉ Ω

x ∈ (X | Z) ∪ (Y | Z)

x(y | z) = x (yuz)

• x ∉ x
∉
• x ∉y
x⊄ sub
• x
• Ω x ∈ (Y | Z)

Ω ∈ x (Y ∪ Z)

1) IL XX SETTEMBRE

La breccia di Porta Pia fu determinata dal crollo dello Stato pontificio. L’unità dipendeva dell’annessione di Roma e del Lazio, sotto il controllo del Papa. Cavour aveva già affermato che: "Roma, essendo la capitale del cattolicesimo, il che consentiva un’influenza politica mondiale, doveva essere anche la capitale del nuovo Stato italiano." Uno dei principali obiettivi era dare all’Italia la sua capitale naturale.

Nel 1862 Giuseppe Garibaldi intraprese la marcia verso Roma, con lo slogan: “Roma o morte!”, ma fu fermato dall’esercito regio e ferito in Aspromonte: si fece influenzare da Napoleone III, che proteggeva il Pontefice e non voleva disturbare i suoi stati italiani.

Tuttavia, la morte di Mazzini nel 1872 fu l’evento che segnò la fine della stagione risorgimentale; da questo momento in poi iniziò l'età del trasformismo. Una parte della politica e dell'opinione pubblica era in favore della presa di Roma. Infatti, le Relazioni tra Stato e Chiesa erano tese, sanzionate dal Sillabo di Pio IX (1864) in cui gli ideali liberali erano condannati come incompatibili col cattolicesimo.

Dopo che la Francia fu sconfitta a Sedan, nel 1870, decise di ritirare le truppe, lasciando lo Stato Pontificio privo di difese. Il governo italiano, sfruttando la situazione, si affrettò e, il 20 settembre 1870, i bersaglieri entrarono a Roma rompendo le mura di Porta Pia.

I soldati del Papa opposero poca resistenza e la città passò sotto il controllo del Regno d'Italia. La “questione romana” non si risolse immediatamente: Pio IX non riconobbe l’annessione di Roma al Regno d'Italia e se ne dichiarò prigioniero. Solo con i Patti lateranensi del 1929 lo Stato riconobbe la Città del Vaticano come Stato indipendente, ponendo termine alla questione.

2) L’ETÀ DELLA DESTRA STORICA

La Destra storica fu un periodo della storia italiana che va dal 1861 al 1876. In questo periodo il governo fu dominato dalla Destra moderata, formata da liberali moderati e conservatori. L'obiettivo principale era la costruzione dello Stato unitario e l'integrazione dei territori annessi.

2.1) I principali successi della Destra Storica

• La costruzione del nuovo Stato unitario nel 1861.
• La repressione del brigantaggio meridionale.
• La riforma agraria per eliminare il latifondo.
• La lotta all’analfabetismo con l’istruzione obbligatoria.

2.2) Le principali difficoltà

• Il problema del brigantaggio meridionale.
• La forte opposizione cattolica.
• L'elevato debito pubblico.

2.3) Gli obiettivi economici e sociali

Uno degli obiettivi primari della Destra storica fu il pareggio del bilancio, attraverso una politica di austerità. Tale politica ebbe alcuni successi, come il pareggio del bilancio avvenuto nel 1876, ma anche conseguenze sociali negative, come l’aumento della pressione fiscale.

3) LA SINISTRA STORICA

La Sinistra storica fu un periodo della storia italiana che va dal 1876 al 1896. In questo periodo il governo passò nelle mani della Sinistra, formata da liberali progressisti. Il principale leader fu Agostino Depretis, presidente del Consiglio dal 1876 al 1887.

3.1) I principali successi della Sinistra

• L'allargamento del diritto di voto.
• L'espansione coloniale in Africa.
• Le riforme in campo scolastico e sanitario.

3.2) Le principali difficoltà

• L'opposizione cattolica.
• Il malcontento sociale e le agitazioni operaie.
• Le difficoltà economiche.

4) LA QUESTIONE MERIDIONALE

La questione meridionale è la problematica relativa alla mancata modernizzazione del Sud Italia rispetto al Nord, che si evidenziò sin dai primi anni dello Stato unitario.

Le principali problematiche erano legate alla situazione economica e sociale del Mezzogiorno, caratterizzato da un’economia agricola di sussistenza e dalla presenza della criminalità organizzata. La mancata redistribuzione delle terre e la forte tassazione contribuirono a mantenere condizioni di povertà e forti disuguaglianze sociali.

14_n + ... +n Δm (m+1) (3n+2) (3n+3(3n+4)

P(1): 1 + 1 . 2 .3 .5

7=30

P(n) = P(n+1)

2 . 3ⁿ + 3ⁿ + n )

30 (m=1)⁴ + (m+1)⁴

1 [ (m+1) (3m+4= ....4

30 (3ⁿ+2) + 6ⁿ) = 30

2ⁿ3ⁿ+3(2Δm)ⁿ]¹] 30

ɛ2^xi(m+3) [m²3Δm!]

6m⁵ + 48m + 10mⁿ²m = 30(3ⁿΔr)

6m⁴⁵ⁿ +2(2m)³30+4Δ=30

14m³⁰⁴3⁴

1^(1+2!(3)