Esercizi Scienza delle Costruzioni 2 e Meccanica Computazionale: Parte 1

Fig. 2

Aste estensibili

F_d . sen (wt)

• Massa profili φ trascurabile rispetto a quella calcolata

E = 210 GPa

I_z = 1.673 cm⁴

L = 3,00 m

M = 50 t

e⁄ξ = 0,35

1) Determinare la matrice delle rigidezze K

1. d₁ = 1 d₂ = d₃ = 0 K_YsT = K_X1 K_X1 = K₂₁ K₁₁ = 12EI/L³ K₂₂ = 0 K₃₁ = 6EI/L² K₁₂ = 12EI/L³ K₃₂ = 6EI/L² EA/L 6EI/L² EA/L 6EI/L²
2. d₂ = 1 d₁ = d₃ = 0 K₂₂ = (12EI + 12EI)/L³ 6EI/L² 12EI/L³ 12EI/L³ K₁₂ = 0 K₃₂ = 6EI/L² EA 6EI/L² 6EI/L²

Nota: È conveniente condense G.d.L. nell'intersezione delle 3 aste

la massa concentrata M.

• Dato che i profili sono essenzialmente assolutamente
• la massa può muoversi verticalmente e può traslare in direzione orizzontale.
• la massa può anche ruotare ma dato che è concentrata, il suo momento di inerzia è circa 0 e l'energia cinetica associata alla sua rotazione è trascurabile.

Pertanto:

M = ^M _{0 0 0 0}

1. Determinare la frequenza fondamentale della struttura mediante condensazione statica
2. Supponendo che le aste siano inestendibili in queste barre per semplicità, l'unico grado di libertà che può contribuire attivamente all'energia cinetica della struttura è _d1. Pertanto: _{Ec = 1/2 M . d1²} e la matrice della massa concentrata è:

M = ^M _{0 0 0 0}

• L'operazione di condensazione statica consente, essenzialmente, nel considerare solo il contributo dei gradi di libertà traslabili.
• Condenso il G.d.L. _d3

d2 = 1

d1 = 0

d3 = 0

2^o Colonna

K₄₂ = 0

K₂₂ = EA_L

K₃₂ = 0

K₄₂ = 0

d3 = 1

d1 = 0

d2 = 0

3^o Colonna

K₃₃ = 6E5_L²

K₂₃ = 0

K₃₃ = 4E5_L

K₄₃ = 0

...la quarta colonna con d₄ = 0 è composte da tutti i elementi nulli in quanto d₄ non si esercita sull'asta verticale

Pertanto K⁽⁴⁾ è

K⁽⁴⁾ =

1. 12E5_L³
2. 0
3. 6E5_L²
4. 0
5. EA_L
6. 0
7. 6E5_L²
8. 0
9. 4E5_L
10. 0
11. 0

E = 210·10⁵ N/m²

m₁ = 60.000 Kg

m₂ = 45.000 Kg

m₃ = 30.000 Kg

J = 2432 cm⁴ = 2432·10^-8 m⁴

• Φ₁ =
  • 4,738
  • 3,047
  • 3,557
• Φ₂ =
  • 3,333
  • 0,00
  • -3,333
• Φ₃ =
  • 4,524
  • -3,957
  • 3,047

f₁ = 0,61 Hz

f₂ = 1,57 Hz

f₃ = 2,32 Hz

Spettro di risposta elastico in termini di accelerazione

S_a(T) = { (0,40·g se T ≤ 1) (0,40·g/T se T ≥ 1) }

1. Considerando le forme modali normalizzate rispetto alle masse delle masse, il coefficiente di partecipazione modale P_h si definisce come:
   • φ_h M^(-1)
   • vettore di traslazione
   • (1,1,1)

• P =
  • 4,738 3,047 3,557
  • 3,333 0,00 3,333
  • 4,524 -3,957 3,047

Pilastri 2^o Piano

T₂ = -F₃ = -9,8 kN

T_p2 = Kp_i ⋅ T₂

T_p2 = ^(22E5)/h3 _(2/6E5)/h³ -9,8 = -4,9 kN

M_μxx = ± T_p2 ⋅ ^h ₂ = ± 8,575 kN⋅m

∑M_Θ = 0

(½F₃ ⋅ &frac32; h) + N₂ ⋅ 4,5m = 0

N₂ = ^{(-9,8 kN) ⋅ 3,35m} _4,5m = 7,4 kN

Pilastro 3^o Piano

T₃ = -F₃ = -9,8 kN

T_p2 = -4,9 kN

M_μxx = ± T_p2 ⋅ ^h ₂ = ± 8,575 kN⋅m

∑M_Θ = 0

(½F₃ ⋅ &frac32; h) + N₂ ⋅ 4,5m = 0

N_d = N₂ = 7,4 kN

Calcolo il coefficiente di correlazione delle forme modali

β12 = T2 T1 = 0,384 1,004 ≈ 0,384

β12 = 8 ⋅ Ο22 β12 [ 4 ⋅ β12 (¼Ο22 + [β12 + (4 - β12)2])2 ] = 8,0752 √0,3843

= (1 + 0,384²) (4,049², 0,384² + (4 - 0,384)²)

= 0,008371

1) Il coefficiente di correlazione è un dato piccolo e ci indica che le due forme modali sono poco correlate

2) È evidente perché un indice è 2,6 volte l'altro.

Calcoliamo adesso M1,max M2,max M3,max C.Q.C.

M_i,max = √(M_i(4) M_i(5))^½ + 2 &Otima;β₁₂ ⋅ M_1,max ⋅ M_3,max =

M_1,max=√[(64,22 kN⋅m)(±8,58 kN⋅m)^½ + 2ċ0,008371 ċ64,22 kN⋅1°Piano