Esercizi Scienza delle Costruzioni 2 e Meccanica Computazionale: Parte 5

1) Utilizzando la coibentazione statica, calcolare il massimo spostamento della sezione C della struttura

• Forzante di interesse:

f(t) = 10·sin(5πt) kN

• m di ciascuna trave 20 t
• Svincolamento ξ = 5%
• Lunghezza l = 2,50 m
• E = 210 GPa
• w_p = 5 m
• I = 4383 cm⁴

d₁ poiché il solo permette questo movimento

d₂ poiché niente impedisce questa rotazione

Costruisco la matrice di rigidezza K

d₁ = 1   d₂ = 0

d₂ = 1   d₂ = 0

Per l'unità:

K =

Calcolo l'energia cinetica totale del sistema

E_c,tot = 1/2 (M/2) · d₁² + 1/2 (M/2) (M/3) d₂² · z =

= 1/2 (M/2) d₁² + 1/2 (M/24) M/L²/24 · d₂²

M (M/2 0 0 ML²/12)

M (d₁ d₂) + K (d₁ d₂) = β(t)

CONDENSO d₂

M/2 d₂ + 42E5/L₃ d₁ + 665/L₂ d₂ = β(t)

665/L₂ d₁ + 85/L d₂ = 0 ⇒ d₂ · 8E5 0 · 6E5/L₂ d₂ = 3/4L d₁

M/2 d₁ + 42E5/L₃ d₁ + 655/L₂ - 3/4L d₁ = β(t)

M/2 d₁ + 15E5/L₂³ d₁ = β(t)

3) Mediante il metodo di Stodola-Vianello

determinare un'approssimazione della prima forma modale e della relativa frequenza propria

Definisco il vettore di unione che ha come componenti

le alzate dei vari piani rispetto al suolo

d⁽⁰⁾ =

Normalizzo il vettore d⁽⁰⁾ rispetto alla matrice delle

masse M

1^a ITERAZIONE

Esame pag. 24

• h = 3,20 m
• m = 45 t
• E = 30 GPa = 30 ✕ 10⁹ N/m²
• I = 30 cm (4 cm)³ = 16 ✕ 10^-4 m⁴
• Pilastri con vincoli

1. Determinare i G.D.L.
   • d₁ e d₂ spostamenti lungo l'orizzontale degli orizzontamenti
2. Determinare la matrice delle masse M

   M =

   • [ 2m   0 ]
   • [   0   m ]

3. Determinare la matrice delle rigidezze K
   • d₁ = 1
   • d₂ = 0
   • K₁₁ = 60 E I / l₃
   • K₂₁ = -24 E I / l₂₃

Esame per: 25

m = 40t = 40.000 Kg E = 2 x 10⁸ N/m² I = 4,919 x 10^-8 m⁴ A_c = 74,695 x 10^-8 m²

ϕ₁ = 1,67 Hz ϕ₂ = 4,26 Hz ϕ₃ = 4,36 Hz

M = ( m 0 0 ) ( 0 m 0 ) ( 0 0 2m )

S_a(T) = { 0,10∙g se T ≤ 1s { 0,40∙g / T se T > 1s

1) Determinare i coefficienti di partecipazione modale e di massa partecipante

P_h = ϕ(ω_it)^t · M · e

P_h = _{(0,812 0,812 3,441)^t (3,536 -3,536 0,000)^t (3,441 3,441 -0,812)^t}

= (32,48 3,248 225,28 ) = (140,44 -14,44 0 ) (137,64 13,64 -64,96 ) ( 1 1 1 )

Liscale pag. 26

• Mediiante il metodo di Newmark-Hall determinare

1. Lo spettro di progetto in termini di spostamento e di accelerazione

Perdutista dell’inviluppo

m = 45 t γ = 0,05 E = 210 GPa I = 1367 cm⁴ h = 32 m Capacità elastico perfettamente plastico con forza allo snervamento pari a 58 kN S_a(T) = 0,45g per 0 ≤ T ≤ 1            0,15g / T per T > 1

M_u = u_y + postamento EPR u_y + postamento al limite elastico

U_y – U_se = F_y / K = 58 kN / 24,025 = 2,76 mm

K = 24 E5 / 32³ = 24,025 kN / mm Deve calcolare la pulsazione propria della struttura per calcolare il periodo

ω = √(K / M) = √(21025,000 N/m / 45,000 kg) = 24,61 rad/s T = 2π / ω = 0,23s < 1s

Quindi S_a(T₁) = 0,45 · 9,81 m/s² · u_e / f₂ = 1,475 m/s² U = (T₁² · S_a(T_i)) / (4π²) = (0,23)² · 1,475 m/s² / 4π² = 9,00343 m => 3,135 cm

Perduto M₁· u_y = 3,135 · u_m = 1,136 · u_m

SIAMO OLTRE LO SNERVAMENTO