Esercizi Scienza delle Costruzioni 2 e Meccanica Computazionale: Parte 3

Esame Pdz. 42

1) Determinare i fattori di partecipazione modale e i fattori di massa partecipante

P_h = Φ^T ⋅ M ⋅ Ɛ

• Φ (1) = 10^-3
• 4,333
• 2,443
• 3,009
• Φ₁ = 0,97 Hz

• Φ (2) = 10^-3
• 1,009
• 4,333
• -2,443
• Φ₂ = 2,73 Hz

• Φ (3) = 10^-3
• 2,443
• -3,009
• 4,333
• Φ₃ = 3,94 Hz

E = 30 GPa

A = (30 x 30) cm² = 900 cm²

1. 0,40 ⋅ g se T ≤ 1 s
2. 0,40 ⋅ g / T se T > 1 s

M = 6.000 kg a piano

4,333 2,443 3,009

3,009 1,335 -2,443

2,443 -3,009 4,333

P = 10^-3

M_j = Σ MΦ_gjh = 1.480.023 kg

H₀ = ricevuto:

• P_h = Φ₁^T ⋅ M ⋅ Ɛ = 405,66
• P_h = Φ₂^T ⋅ M ⋅ Ɛ = 144,51
• P_h = Φ₃^T ⋅ M ⋅ Ɛ = 244,54

FATTORI DI PARTECIPAZIONE MODALE

1) Calcolo i fattori di massa partecipante

E₁= ¹⁴⁵⁵⁰⁰⁄₁₈₀₅₂₃ = 0,804 ≈ 84%

E₂= ¹³⁴⁷²⁹⁄₁₈₀₅₂₃ = 0,747 ≈ 74%

E₃= ¹⁸⁵¹¹⁄₁₈₀₅₂₃ = 0,014 ≈ 1%

2) Per normativa è necessario considerare le forme modali con Σ > 5% pertanto Considero la prima e la seconda forma modale

3) Determino un sistema di forze che gestisce l'andamento della struttura provocando una deformata massima equivalente

1^a Forma modale

Calcolo il periodo della prima forma modale

T = ¹⁄_β1 = ¹⁄_0,9872 ≈ 1,03 s quindi S_a(T)₁ = 2,4 ⋅ 0,3022 m/s²

Individuo il sistema di forze statiche equivalenti

F⁽ⁱ⁾ = M ⋅ Φ⁽ⁱ⁾ - P_(i)

=

⋅

&begin{pmatrix} 1433 \\ 2433 \\ 3009 \end{pmatrix}

405,66 & 0,952 m/s²

=

F₁ = 31,02 kN

F₂ = 55,92 kN

F₃ = 65,72 kN

Esame Progetto 1.3

Determino il coefficiente di vuoto partecipante relativo alla prima forma modale

P_h = M ⋅ Φ^t ⋅ z

P_h = _{(4,467 2,648 3,236) ⋅ 10^-3 (50 0 0) (0 50 0) (0 0 50)} ⋅ 10³ ⋅ _{(1) (1) (1)} = 3703 = P₁

2) Mediante l’analisi dinamica lineare i diagrammi di

P e M sulla piattaforma di servizio

T₁ = ¹⁄_f1 = 0,526 s

∂d(3T₁) = _T^-2 ∫_∀[T1] = _{(0,526)² ⋅ 0,984 h/2 4π²}

∀ (η) = 0,4 ¾ 0,984 μ ⁄ f² = 0,006875 = 6,8 mm

T_P = 42 E_S ∂_d = ^{42 ⋅ 2,5 ⋅ 109 N/m2} ⋅ ^{4,872 ⋅ 10-8 m4} (6,8 mm)³ = 12,675 kN

M_P = 6 6X — ∂ _d = ^{6 ⋅ 2 ⋅ 10-4 N/m2 ⋅ 1,872 ⋅ 10-8 μ4} (3,000u)² = 180 βkNm

2^a Forma modale

2

²(-7,5*10^-5*35.000)   -1

24E5_L³   -1     (-7,5*10^-5*3500)

24E5_L³   -0,625   -1

-0,625   -1   -1   -1,625

-0,625 φ₁⁽²⁾ - φ₂⁽²⁾ = 0

imponendo φ₁⁽²⁾ = 1

φ⁽²⁾ =

1. 1
2. -0,625

2^a forma modale

2) d₂ = 1

d₁ = 0

{K₁₂ = - 12EƩ/L³}

{K₂₂ = 27EƩ/L³}

K = [ 36EƩ/L³ -12EƩ/L³ ]

[ -12EƩ/L³ 27EƩ/L³ ]

4) Determinare le frequenze proprie e le 1^a forma modale

• Problema agli autovalori

K - φ = λ M λ = M φ

φ [ K - λ M ] = 0

K = [ 64 -24,33 ]

[ -24,33 24 ]

N/m . 10⁶

M = ( 45000 . . kg )

( . 45000 )

det ( [ 64 - λm -24,33 ] ) = 0

( [ 21,33 24 - λm ] )

= 0 ⇒ (64 - λm)(24 - λm) - (-24,33)² = 0

1536 - 64 λm - 24 λm + λ²m² - 455 = 0

λ² m² - 88 λm + 408 = 0

λ₁ = 0,328 . 10^-3

λ₂ = 1,628 . 10^-3

pertanto

ω₁ = √(1 . - 0,0018) = 1,8 . 10^-2 rad/s

ω₂ = √(0,040) = 4 . 10^-2 rad/s

f₁ = ω₁/2π = 2,801 . 10^-3 Hz

f₂ = ω₂/2π = 6,366 . 10^-3 Hz

FREQUENZE PROPRIE