Esercizi + schemi - Meccanica

ESERCIZI

A.A. 2020/21

Prof. Giacomo Palmieri

• CINEMATICA: esercizi forniti dal docente e presi dal libro
  • Metodo delle equazioni di chiusura
  • Metodo delle velocità e accelerazioni relative
• STATICA: esercizi forniti dal docente e presi dal libro
• DINAMICA: esercizi forniti dal docente e presi dal libro
  • Teorema delle forze vive
  • Formulazione newtoniana
• VIBRAZIONI: esercizi forniti dal docente e presi dal libro
  • Metodo Newton-Eulero
  • Metodo energetico
• SCHEMI (utili per lo svolgimento delle varie tipologie di esercizi)

LIBRO di riferimento: “FONDAMENTI DI MECCANICA E BIOMECCANICA DEL MOVIMENTO” (autori: Giovanni Legnani, Giacomo Palmieri)

Cinematica

Esercizi ed esercitazione

Trovare velocità e accelerazione della slitta al variare degli angoli θ e φ.

h: fissaφ: variabile

• ν_C = ṡ
• (*B-C*) = cosφ = l/sinθ * 3l/4cosθ = 3l/4sinθ

Metodo delle equazioni di chiusura

ṗt + ṡsinθ = 0

• ṡ = -ṗcosθ
• h = psinθ

d/dt {h = psinθ + ṗsinθ = 0} ṡ = h/θ̇

• -psinθ = h
• ṗ = -hω_E

Metodo delle velocità relative

• ν_B2 = ν_B3 + ν̇
• ν_B3 = ν_C + ω₃∧(B-C)

ν̇_r = [ cosφ/sinθ ν_C] [0 + ω_0∧(B-C)]

|cosθ₂ cosθ₃  N_P,12|΢ = |−sinθ₂ ω_P,A − sinθ₃ ω_P,B|∃ = |−0,028|

|sinθ₂ −sinθ₃  N_P,13|    |−cosθ₂ ω_P,A − cosθ₃ ω_P,B|  | −2,38|

det R = −cosθ₂ sinθ₃ − cosθ₃ sinθ₂ = −0,97

 det |│1  −0,028 ││

 |│1,89  −2,38 ││ = −1,09   = −1,46 mm/s

 det |│cosθ₂  −0,028 ││

 |│sinθ₃  −2,38 ││ = −1,17   = 2,21 mm/s

N_{P, 12} = ∑cosθ₂ N_P,11 + cosθ₃ N_P,13∑

  sinθ₂ N_P,11 + sinθ₃ N_P,13 = [−0,028]

       = [−2,38]

N_P,1 = √(0,028)² + (2,38)² = 3,4 mm)

Vettore delle equazioni di chiusura

θ₂  θ₃

      P

│

A ν₂ │ ν₂ί3

        \

    ∑    

   C

n + d + ε₃

|│cosθ₂  cosθ₃  E₁||

det R = −sinθ₃ cosθ₂ − cosθ₃ sinθ₂ = −sin(θ₂ + θ₃) = −0,97

det|│d ││

 |│h ││sinθ

e₂ = det|│h││ = −0,005

  |│− sin < 2

e₃ = det|│d││ = −0,99   = 0,063 m

  ││ sinϋ

e₂ cosθ₂ + e₃ cosθ₃ = d

e₂ sinθ₂ + e₃ sinθ₃ = h

|cosθ₂  cosθ₃   E₁ ││ = |−0,28|

det R ≠ 0

a) ω₂(ϑ)=?

b) ẇ₂(ϑ)=?

m=β(m-1)=2c-c₂=

= -3(3-1) - 2-1-2= 2 βde

v̅_oA=v̅_oB=ω_R(ϑ-ϑ)=ω_R[-ϑ-1]

v̅_a=v̅_a+ω₂d∧(-o-θ)=ω_R[-Θ+1]

+ω₂d∧h [^{cos Θ}/_{sin Θ}]+v̅_a[-cos Θ / -sin Θ]

ω_R[-Θ-1]=v̅_a(-cos Θ)+ω₂h[¹/_gΘ]

-ω₁R=(-v̅_acosα+ωh)

-ω_m v̅_a=^ω_h/_gΘ=0

ω₁=^{v̅_acosΘ - ω₁R}/_h=^-ω_h-ω_R/_h

v̅_oa= -^{ω₁h cosα}/_cosΘ= -^ω_h/_cosδ

a̅o_g=ẏ_v²+ẏ₂d∧(o-Θ)+ω₂²(o-Θ)-ω₂²R[-Θ-1]

a̅Θ=a_o+ẏ₂d∧(Θ-o)-ω₂²(Θ-o)=a₂(o)

⟶jΘ+

ω₁²h[^-1/_gΘ]

-ω₂²[θ-1] a̅Θ[^-cosΘ/_-1]+ẇ₁h [¹/_1gΘ]+ẇ₁h[^-1/_1gΘ]=

-a̅_o cosΘ / ẇ₁ h + ω₂²h [¹/_1gΘ]= 0

ẇ₂=^{a_o cos Θ}/_gΘ

____ ____

h h

a̅_o=ω₂²R [^ω_h/_gΘ+ω₁²h]/_gΘ

Note:

in \( \sqrt{p^2} = \cos \theta \)

\( r_s = ? \)

in funzione di \( \theta \)

• \([- \cos (\frac{\pi}{2} - \theta)]\)
• \([(\sin (\frac{\pi}{2} - \theta)])\)

\(-\frac{p}{(\beta - \theta)}h [ \frac{\cos \theta}{1} ]\)

• \( v_{B_A} \)
  • \(\omega \sin \theta \quad \omega h \)
  • \(\omega \cos \theta \)
• \(-\omega \frac{\cos \theta}{\cos^2 \theta} = -h \sin \theta\)

\( v_{RS} \cos \theta \)

\( \omega_1 = \frac{v_{RS} \cos \theta}{h} \)

\( v_{C} \)

• \( = \frac{v_{RS} \cos \theta}{h} \)
• \(\land 2h\)

\( = 2 v_{RS} \cos \theta [ -\cos \theta -\sin \theta ] \)

Scansionato con CamScanner

(4.3)

T_B = T_S = 0N_B = m_S g + m_B g = 46,9 NN_S = (m_S + m_M + m_B ) g = 282,8 NC_S = (N_S + m_B g) b = 51,9 N

m_M = 1,5 kgm_B = 1,8 kgm_S = 2,1 kgb = 33 cm = 0,33 cm

(4.10)

h = 1 m   w = 0,5 m

N = H_gT_S + T = 0 → T_S = TN_u − H_h = 0

MOTO INCIPIENTE = STRISCIAMENTO

S = f_S N = N_u = 392 N = 1m_MAX = 3T/8 = 80 Kg

VERIFICA: μ < H / 2   μ = 0,4   H / 2 = 0,25 → NO EQUILIBRIO

MOTO INCIPIENTE = RIBALTAMENTO

μ = H / 2 = 0,25 m → T = N_u = 205 N

m_MAX = 2T/8 = 50 KgVERIFICA: T/N f_S ⇒ I/N < 1I/N = 0,25 < f_S = 0,4 ⇒ EQUILIBRIO ⇒ m_MAX = 50 Kg