Esercizi riepilogativi Fondamenti di algebra lineare e geometria

1 Esercizi riepilogativi 1

1 Esercizi riepilogativi

Determinare al variare del parametro reale una base del

a,

Esercizio 1. 3

nucleo e una base dell’immagine dell’endomorfismo di definito da:

L R

a

  

  

(a + 1)x 2y + 2z

−

x +

= −ax −

y ay z

L   

  

+

−

z ax ay az

Costruiamo la matrice associata all’endomorfismo rispetto

A

Svolgimento. 3

alla base naturale di :

R  

+ 1 2

−2

a

= −a −1

a .

A  

−a

a a

Riduciamo in forma a scala:

A  

 

1 + 1 1 + 1

−2 −2

a a

(1) (a)

H H

1,2 2,1 2

0 1

−a −1 − −

a a a a

−−−−→ −−−−−→

A  

 

(−a)

H 2

3,1 0 + 0

−a −a

a a a

 

1 + 1

−2 a

(1)

H 3,2 ′

0 1) 1 =

− −

a(a a

−−−−→ A .

 

0 0 1

−

a

Ricordiamo che ) = = . Pertanto, se {0, 1}, ha tre

′ ′

#∈

dim(ImL rkA rkA a A

a

pivot, quindi ) = = 3 e (dal teorema delle dimensioni segue

′

dim(ImL rkA

a 3

che) ) = 0. Quindi, = ed una sua base è la base naturale

dim(KerL ImL R

a a

3

di , mentre = {0 } e la sua base è (per definizione) l’insieme vuoto.

KerL

R 3

a R

Possiamo arrivare alle stesse conclusioni ricordando che = 0

#

det(A)

Nota. 2

se e solo se = 3, ed osservando che = 1) .

−

rkA det(A) a(a

Analizziamo ora i casi = 0 e = 1. Se = 0 la matrice diventa:

a a a A

 

1 2

−2

0 0

= −1

A .

 

0 0 0

Poiché è a scala e ha due pivot, = 2 e le colonne passanti per i

A rkA  

  



1 2

 

0

=

pivot formano una base di , ovvero, B è

−1

ImL ,

0 ImL   



0 0

0

 

1 Esercizi riepilogativi 2

una base di . Per il teorema delle dimensioni, ) = 1 e per

ImL dim(KerL

0 0

determinare una base di risolviamo il sistema lineare omogeneo che

KerL 0

ha come matrice incompleta:

A  = 2h

x

/ 2y + 2z = 0

−

x  =

y h

⇒ ∈

, h R.

= 0

−z = 0

z

 





 0 

 



  2

2

2h 2

1

00 





 1

1 =

e B

= è

Quindi = h ∈

h

kerL R

0 KerL

00 

 



  0 0

0

0 





 0

una base di .

KerL 0  

2 2

−2

1

Se = 1, allora = . Determiniamo e una base di

−1 −1

a A rkA

 

1 1

−1

.

ImL

1 2 1 3 2

Metodo 1. Sappiamo che 2. Poichè = e = , abbiamo

≤ −A

rkA A A A

1

che = 1 e B = {A } è una base di .

rkA ImL

1

ImL 0

Metodo 2. Riduciamo in forma a scala:

A 

 1 1

−1 ′

0 0 0 =

→

− A .

A  

0 0 0

Le colonne di corrispondenti ai pivot di formano una base di . Nel

′

A A ImL

1

nostro caso, la prima colonna di forma una base di .

A ImL

1

T

Metodo 3. Riduciamo in forma a scala:

A 





 2 1

2 1 −1

−1 (−1)

H 3,1

T 0 0 0

1 =

= −2 −1 −−−−−→ B.

A  



 (1)

H 2,1 0 0 0

2 1

−1

T

Le colonne non nulle di formano una base di , quindi B =

B ImL

1 ImL 1

 

 

2

  .

−1

 

1

 

Per il teorema delle dimensioni, ) = 2 e per determinare una base

dim(KerL 1

di risolviamo il sistema lineare omogeneo che ha come matrice

′

KerL A

1

incompleta: 3 + = 0

−

x y z

1 Esercizi riepilogativi 3



 0 1 

 

  1 −1

−

k h 2

00 

 1 0

=

Risolvendo otteniamo che = k ∈

h, k ,

kerL R

1 0  

 

  0 0 1

h 

 0

 

   

1 −1

 

1 0

e B = è una base di .

, KerL 1

KerL    

1 0 1

 

Università degli Studi di Padova – Facoltà di Ingegneria

Lauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.

M. Lavrauw, R. Sanchez, C. Zanella

Prova scritta di FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Vicenza, 27 giugno 2011

TEMA 1

Tempo a disposizione: due ore e mezza.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

1. Determinare, al variare del parametro reale una base del nucleo e una dell’immagine dell’endomorfismo

a,

3

di definito da

L R

a (x, = (x 2y + + 4y + (1 + 2y + (1 +

L y, z) az, z, a)x a)z).

a − −2x −

2. Data la retta 2y + + 1 = 0

x z

−

:

r + 4y + 2 = 0

z

−2x −

e il punto (1, 1, 1) nello spazio, determinare le (i) del piano contenente

P π r

equazioni cartesiane 1

e , (ii) del piano contenente ed ortogonale ad (iii) Calcolare la distanza di da

P π P r. P r.

2

3. Data la matrice reale  

1 1 1

1 0 1

=

A ,

 

1 1 1

T

trovare una matrice ortogonale tale che sia diagonale.

H H AH

4. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale il seguente sistema lineare:

α,

 + 2y 3z =

x α

−

 3x + 2z = 1

y

−

5y + 8z =

x

 − −α.

5. Esprimere nella forma preferita (algebrica, esponenziale o trigonometrica) le soluzioni complesse

iπ/3

4

dell’equazione = .

z −e

Università degli Studi di Padova – Facoltà di Ingegneria

Lauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.

M. Lavrauw, R. Sanchez, C. Zanella

Prova scritta di FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Vicenza, 27 giugno 2011

TEMA 2

Tempo a disposizione: due ore e mezza.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

1. Determinare, al variare del parametro reale una base del nucleo e una dell’immagine dell’endomorfismo

a,

3

di definito da

L R

a (x, = (4x 2y + + + 2x + (1 + (1 +

L y, z) z, y az, a)y a)z).

a − −2x −

2. Data la retta 2x 1 = 0

y z

− − −

:

r 4x 2y + 2 = 0

z

− −

e il punto (1, 1, 1) nello spazio, determinare le (i) del piano contenente

P π r

equazioni cartesiane 1

e , (ii) del piano contenente ed ortogonale ad (iii) Calcolare la distanza di da

P π P r. P r.

2

3. Data la matrice reale  

0 1 1

1 1 1

=

A ,

 

1 1 1

T

trovare una matrice ortogonale tale che sia diagonale.

H H AH

4. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale il seguente sistema lineare:

α,

 3x + 2z = 1

y

−

 4x + = 1 +

y z α

−

5y + 8z =

x

 − −α.

5. Esprimere nella forma preferita (algebrica, esponenziale o trigonometrica) le soluzioni complesse

i2π/3

4

dell’equazione = .

z −e

Università degli Studi di Padova – Facoltà di Ingegneria

Lauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.

M. Lavrauw, R. Sanchez, C. Zanella

Prova scritta di FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Vicenza, 27 giugno 2011

TEMA 3

Tempo a disposizione: due ore e mezza.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

1. Determinare, al variare del parametro reale una base del nucleo e una dell’immagine dell’endomorfismo

a,

3

di definito da

L R

a (x, = (x + 2z, (1 + (1 + + 2z, + + 4z).

L y, z) ay a)x a)y y

a − − −2x

2. Data la retta + 2z + 1 = 0

x y −

:

r 2x + 4z 2 = 0

y − −

e il punto (1, 1, 1) nello spazio, determinare le (i) del piano contenente

P π r

equazioni cartesiane 1

e , (ii) del piano contenente ed ortogonale ad (iii) Calcolare la distanza di da

P π P r. P r.

2

3. Data la matrice reale  

1 1 1

1 1 1

=

A ,

 

1 1 0

T

trovare una matrice ortogonale tale che sia diagonale.

H H AH

4. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale il seguente sistema lineare:

α,

 3y + 2z =

x α

−

 3x + 2y = 1

z

−

+ 8y 5z =

x

 − −α.

5. Esprimere nella forma preferita (algebrica, esponenziale o trigonometrica) le soluzioni complesse

4

dell’equazione = .

z −iπ/3

−e

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Lauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.

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Vicenza, 27 giugno 2011

TEMA 4

Tempo a disposizione: due ore e mezza.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

1. Determinare, al variare del parametro reale una base del nucleo e una dell’immagine dell’endomorfismo

a,

3

di definito da

L R

a (x, = (4x + 2z, 2x + (1 + + (1 + +

L y, z) y a)y a)z, ay z).

a − − −2x

2. Data la retta 2x 1 = 0

y z

− − −

:

r 4x 2z + 2 = 0

y

− −

e il punto (1, 1, 1) nello spazio, determinare le (i) del piano contenente

P π r

equazioni cartesiane 1

e , (ii) del piano contenente ed ortogonale ad (iii) Calcolare la distanza di da

P π P r. P r.

2

3. Data la matrice reale  

0 1 1

1 1 1

=

A ,

 

1 1 1

T

trovare una matrice ortogonale tale che sia diagonale.

H H AH

4. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale il seguente sistema lineare:

α,

 3x + 2y = 1

z

−

 4x + = 1 +

y z α

−

+ 8y 5z =

x

 − −α.

5. Esprimere nella forma preferita (algebrica, esponenziale o trigonometrica) le soluzioni complesse

4

dell’equazione = .

z −i2π/3

−e

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Lauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.

M. Lavrauw, R. Sanchez, C. Zanella

Prova scritta di FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Vicenza, 18 luglio 2011

TEMA 1

Tempo a disposizione: due ore e mezza.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

4 2

1. Scomporre il polinomio (z) = 2z + 4 nel prodotto di polinomi a coefficienti reali irriducibili

P z −

su R. 3

2. Dato l’endomorfismo di definito dalle condizioni

R

2, 3) = (1, 1), 1, 1) = (1, 1, 1), 0, 1) = (1, 0, 1),

L(1, L(1, L(1,

−1,

calcolare, al variare del parametro reale (1, 1,

a, L a).

−1

3. Sia la retta per i punti (5, 0, 2) e 0) e la retta di equazioni

r P Q(1, s

−1,

6 = 0

x y z

− − −

:

s + 5z 2 = 0.

x y − −

Calcolare la distanza tra ed

r s.

4. Determinare i valori del parametro reale per i quali la matrice

h  

1 0 h

0 0 0

=

M ,

h  

1 0 1

è diagonalizzabile su corrispondentemente a ciascuno di tali valori, trovare una matrice invertibile

R;

tale che la matrice risulti diagonale.

C C M C

−1

h h h

h

5. (i) Della seguente matrice, calcolare il determinante e tutti i complementi algebrici:



 1 2

h

1 0 2

=

B h 



−1 −1 −1

(ii) Stabilire per quali valori del parametro la matrice risulta invertibile e, per ciascuno di tali

h B h

valori, calcolare l’inversa .

B −1

h

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M. Lavrauw, R. Sanchez, C. Zanella

Prova scritta di FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Vicenza, 18 luglio 2011

TEMA 2

Tempo a disposizione: due ore e mezza.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

4 2

1. Scomporre il polinomio (z) = + 2z + 4 nel prodotto di polinomi a coefficienti reali irriducibili

P z

su R. 3

2. Dato l’endomorfismo di definito dalle condizioni

R

2, 3) = (1, 1), 1, 1) = (1, 1, 1), 0, 1) = (1, 0, 1),

L(1, L(1, L(1,

−1,

calcolare, al variare del parametro reale (2,

a, L a).

−1 −1,

3. Sia la retta per i punti (0, 5, 2) e 1, 0) e la retta di equazioni

r P Q(−2, s

+ +6 = 0

x y z

−

:

s + 5z 2 = 0.

x y − −

Calcolare la distanza tra ed

r s.

4. Determinare i valori del parametro reale per i quali la matrice

h  

0 0 0

0 1

= h

M ,

h  

0 1 1

è diagonalizzabile su corrispondentemente a ciascuno di tali valori, trovare una matrice invertibile

R;

tale che la matrice risulti diagonale.

C C M C

−1

h h h

h

5. (i) Della seguente matrice, calcolare il determinante e tutti i complementi algebrici:



 0 1 2

1 2

= h

B h 



−1 −1 −1

(ii) Stabilire per quali valori del parametro la matrice risulta invertibile e, per ciascuno di tali

h B h

valori, calcolare l’inversa .

B −1

h

Università degli Studi di Padova – Facoltà di Ingegneria

Lauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.

M. Lavrauw, R. Sanchez, C. Zanella

Prova scritta di FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Vicenza, 18 luglio 2011

TEMA 3

Tempo a disposizione: due ore e mezza.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

4 2

1. Scomporre il polinomio (z) = 2z + 4 nel prodotto di polinomi a coefficienti reali irriducibili

P z −

su R. 3

2. Dato l’endomorfismo di definito dalle condizioni

R

3, 2) = (1, 1, 1, 1) = (1, 1, 1), 1, 0) = (1, 1, 0),

L(1, L(1, L(1,

−1),

calcolare, al variare del parametro reale (1, 1).

a, L a,

−1

3. Sia la retta per i punti (0, 2, 5) e 0, 1) e la retta di equazioni

r P Q(−2, s

+ +6 = 0

x y z

−

:

s 5y + 2 = 0.

x z

− −

Calcolare la distanza tra ed

r s.

4. Determinare i valori del parametro reale per i quali la matrice

h  

1 0

h

1 1 0

=

M ,

h  

0 0 0

è diagonalizzabile su corrispondentemente a ciascuno di tali valori, trovare una matrice invertibile

R;

tale che la matrice risulti diagonale.

C C M C

−1

h h h

h

5. (i) Della seguente matrice, calcolare il determinante e tutti i complementi algebrici:



 2 1

h

=

B h −1 −1 −1 

 1 2 0

(ii) Stabilire per quali valori del parametro la matrice risulta invertibile e, per ciascuno di tali

h B h

valori, calcolare l’inversa .

B −1

h

Università degli Studi di Padova – Facoltà di Ingegneria

Lauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.

M. Lavrauw, R. Sanchez, C. Zanella

Prova scritta di FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Vicenza, 18 luglio 2011

TEMA 4

Tempo a disposizione: due ore e mezza.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

4 2

1. Scomporre il polinomio (z) = + 2z + 4 nel prodotto di polinomi a coefficienti reali irriducibili

P z

su R. 3

2. Dato l’endomorfismo di definito dalle condizioni

R

3, 2) = (1, 1, 1, 1) = (1, 1, 1), 1, 0) = (1, 1, 0),

L(1, L(1, L(1,

−1),

calcolare, al variare del parametro reale (2,

a, L a,

−1 −1).

3. Sia la retta per i punti (0, 2, 5) e 0, 1) e la retta di equazioni

r P Q(−2, s

+ +6 = 0

x y z

−

:

s 5y + 2 = 0.

x z

− −

Calcolare la distanza tra ed

r s.

4. Determinare i valori del parametro reale per i quali la matrice

h  

0 0 0

0 1 1

=

M ,

h  

0 1

h

è diagonalizzabile su corrispondentemente a ciascuno di tali valori, trovare una matrice invertibile

R;

tale che la matrice risulti diagonale.

C C M C

−1

h h h

h

5. (i) Della seguente matrice, calcolare il determinante e tutti i complementi algebrici:



 0 2 1

=

B h −1 −1