Esercizi riepilogativi Fondamenti di algebra lineare e geometria

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria

Prof. M. Lavrauw - C. Zanella

Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 6 luglio 2016

TEMA

1. Definire la nozione di ortogonale di un sottospazio in uno spazio vettoriale euclideo.
2. Enunciare e dimostrare il teorema delle dimensioni (riguardante le dimensioni del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare).
3. Si consideri l'affermazione: F = G = Siano e due famiglie di vettori in uno spazio vettoriale, tali che Se è linearmente dipendente, allora anche è linearmente dipendente.
   1. Dire se l'affermazione è vera o falsa.
   2. Dimostrare o confutare l'affermazione, a seconda del caso.

Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 6 luglio 2016

TEMA

1. Definire la nozione di angolo tra due vettori in uno spazio vettoriale euclideo.
2. Siano V e W due spazi vettoriali e L: V → W un’applicazione lineare. Dimostrare che l’immagine di L è un sottospazio di W.
3. Si consideri l’affermazione: F = G = Siano v₁, v₂, ..., v_r e w₁, w₂, ..., w_s vettori in uno spazio vettoriale, tali che F = {v₁, v₂, ..., v_r} e G = {w₁, w₂, ..., w_s}. Allora la famiglia è linearmente indipendente.
   (a) Dire se l’affermazione è vera o falsa.
   (b) Dimostrare o confutare l’affermazione, a seconda del caso.

Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

NOME COGNOME MATRICOLA CANALE

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria

Prof. M. Lavrauw - C. Zanella

In uno spazio vettoriale euclideo di dimensione n, siano V e W due spazi vettoriali e L una applicazione lineare. Dimostrare che l'applicazione è iniettiva se, e solo se, ker(L) = {0}.

Sia G = 3. Si consideri l'affermazione: F = e due famiglie di vettori in uno spazio vettoriale, tali che se è linearmente indipendente, allora anche F è linearmente indipendente.

(a) Dire se l'affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l'affermazione, a seconda del caso.

Tempo: 30 minuti. E' vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

NOME COGNOME MATRICOLA CANALE

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria

Prof. M. Lavrauw - C. Zanella

Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 6 luglio 2016

TEMA

1. Enunciare il teorema spettrale e il corollario che coinvolge le matrici ortogonali.
2. Enunciare e dimostrare

Il teorema di Rouché-Capelli (condizione di compatibilità di un sistema lineare).

3. Si consideri l’affermazione: F = G = Siano e due famiglie v v v w w w w, , . . . , , , . . . ,r r r+11 2 1 2(r ∈ ) hFi = hGi. di vettori in uno spazio vettoriale, tali che Allora il vettore è∗ wN r+1. combinazione lineare di w ww , , . . . r1 2(a) Dire se l’affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l’affermazione, a seconda del caso.

Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

Università degli Studi di Padova – Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali

Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica – proff. M. Lavrauw, C. Zanella

Prova scritta di Vicenza, 6 luglio 2016

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria

TEMA 1

Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici,

appunti, libri, telefoni.4 3 21.

(i) Trovare il valore del numero complesso tale che il polinomio (z) = 6z + 18z^2 + 24z + αP(z-α) ammetta 2+2i come radice.

(ii) Per tale valore di α calcolare le altre radici di (z).

3 32. Sia : (a la funzione lineare tale che (1, 1, 0) = (1, 0), (1, 0, 1) = (0, 1, LLa, LRRR) → ∈ -a),a,a(0, 1, 1) = (1, 0, A

Al variare del parametro reale determinare l'antiimagine di (1, 2, medianteLa). a,a)a .La

33. Dato il prodotto scalare di la cui matrice, rispetto alla base naturale, èR

1 0 -1

2 0 = A

-1

0 0 3

trovare una base ortogonale di , rispetto a tale prodotto scalare.

4. Dati i punti A(0, 2), B(1, 3), C(2, 1), D(2, -2, -1), trovare l'equazione cartesiana di un piano

che contiene A, B, C e è ortogonale alla retta CD;

E' richiesta la forma algebrica.

Università degli Studi di Padova -

Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali

Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica – proff. M. Lavrauw, C. Zanella

Prova scritta di Vicenza, 6 luglio 2016

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria

TEMA 2

Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

4 3 2

1. (i) Trovare il valore del numero complesso α tale che il polinomio P(z) = z^4 + 2z^3 + 2z^2 - 8z + α ammetta 2i come radice.

   (ii) Per tale valore di α calcolare le altre radici di P(z).

2. Sia L: R^3 → R^2 la funzione lineare tale che L(1, 1, 0) = (1, 0), L(1, 0, 1) = (0, 1), L(0, 1, 1) = (1, 0).

   Al variare del parametro a reale determinare l'antiimagine di (1, 3) mediante L(a).

3. Dato il prodotto scalare di R^3, la cui matrice, rispetto alla base naturale, è

   [2 0 1]
   [0 1 0]
   [1 0 2]
   

   Calcolare la norma del vettore (1, 1, 1).

0−11 0=A ,−1 0 0 23trovare una base ortogonale di , rispetto a tale prodotto scalare.R4. Dati i punti 2, 0), 3, 1, 1), 1, 2), trovare (se esiste) l’equazione cartesianaA(2, B(1, C(2, D(1,−1),di un piano che contiene ed è ortogonale alla retta oppure dimostrare che tale piano nonA, B CD;esiste.1 E’ richiesta la forma algebrica.

Università degli Studi di Padova – Dipartimento di Tecnica e Gestione dei SistemiIndustriali

Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica –proff. M. Lavrauw, C. Zanella

Prova scritta di Vicenza, 6 luglio 2016

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria

TEMA 3

Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

4 3 21. (i ) Trovare il valore del numero complesso tale che il polinomio (z) = 8z + 24z 32z +α P z α− −ammetta 3 come radice.i−

1. Per tale valore di z calcolare le altre radici di α
2. Sia: a la funzione lineare tale che (0, 1, 1) = (0, (1, 1, 0) = L L LR R R) → ∈ −1, −a), a = (−a, 0, 1), (1, 0, 1) = (a, 0). Al variare del parametro reale determinare l'antiimagine di L ⁻¹, a (a, 1, 3>) mediante L ³³.
3. Dato il prodotto scalare di A la cui matrice, rispetto alla base naturale, è
   

       2 0 0
       0 1
       -1
       

   trovare una base ortogonale di A, rispetto a tale prodotto scalare.
4. Dati i punti (0), (1), (2, 1), (1, 2), trovare l'equazione cartesiana di un piano A(2, B(3, C(1, D(1, −2, −1), che contiene ed è ortogonale alla retta oppure dimostrare che tale piano non esiste.

È richiesta la forma algebrica.

Università degli Studi di Padova – Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali

Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica – proff. M. Lavrauw, C. Zanella

scritta di Vicenza, 6 luglio 2016

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria

TEMA 4

Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti.

Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.

Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

4 3 2

1. (i) Trovare il valore del numero complesso tale che il polinomio (z) = 4z + 11z - 14z + α P z α- - ammetta 1 + 2i come radice.

- 1

(ii) Per tale valore di calcolare le altre radici di (z).

α P

3 3

2. Sia : (a la funzione lineare tale che (0, 1, 1) = (1, 0), (1, 1, 0) = L L LR R R) → ∈ -a,a a a(0, (1, 0, 1) = (1, 0, -a), a(1, mediante .a) L-2, a 3.

Dato il prodotto scalare di la cui matrice, rispetto alla base naturale, è

R

3 0 0

0 2 1=A ,

0 1 1

trovare una base ortogonale di , rispetto a tale prodotto scalare.

R

4. Dati i punti (0, 2), (3, 1), (1, 1), (2, 1), trovare (se esiste)

L'equazione cartesiana del piano che contiene i punti A(2, B(1, C(2, D(1,-1) e che è ortogonale alla retta CD non esiste.

Parte A, esercizio 3:

L'affermazione è falsa. Per confutarla, poniamo r = 1, V = , = (1, 0), = (0, 0), = (1, 0). Allora risulta = , e non è combinazione lineare di .

Supponiamo che vi sia divisibilità per 1 2i e calcoliamo il quoziente della divisione: -4 -141 11 α- -7 - -10- 1 2i + 4i 12 4i1 2i -3 - -2 -1 2i 4

Parte B, esercizio 1.