esercizi di microeconomia con soluzioni

ECONOMIA POLITICA

ESERCITAZIONI A.A. 2013-2014

Corso del prof. Currarini

Dott. Elia Pizzolitto

ESERCITAZIONE 4

–

Eserciziario Molinari 3.1

Discussioni di teoria: Vero / Falso

a) Due agricoltori producono lo stesso bene, con la stessa tecnologia e su terreni con la stessa resa.

Poiché il primo è proprietario dei terreni e il secondo li affitta, il primo ha costi totali più bassi.

a. La funzione di costo totale, sia di medio che di lungo periodo, è composta dal costo unitario

di ogni singolo fattore produttivo moltiplicato per la quantità utilizzata di questo fattore. Ora, i

fattori produttivi sono terra, lavoro e capitale (e, a dire il vero, nelle moderne teorie vengono

indicati come fattori produttivi anche l’organizzazione ed il contesto sociale in cui di fatto si

opera). Essendo dunque la terra un fattore produttivo, essa ha il suo costo:

 se l’agricoltore è in affitto, pagherà la sua quota periodicamente e questo

rappresenta un costo (con ogni probabilità, fisso);

 se l’agricoltore invece è proprietario del terreno, potrebbe esserlo:

- pagando un mutuo, ed in questo caso i costi potrebbero essere più alti, più

uguali al casso dell’affitto;

bassi o

senza debiti (magari ereditati), ed in questo caso allora l’affermazione

- iniziale è vera.

b) Se la produttività marginale di un fattore è decrescente, i rendimenti di scala non possono essere

costanti.

a. FALSO. Si veda ad esempio questa funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas a

rendimenti di scala costanti:

I salari sono w = 2 ed il prezzo del capitale è r = 33. Se un’impresa deve produrre Q = 262 e ha

c) funzione di produzione Q = LK, la combinazione ottimale è L = 66 e K = 4.

a. Dobbiamo fare i calcoli.

Innanzitutto vediamo che si tratta di una domanda inerente il lungo periodo, poiché il capitale non è fisso.

Dunque, la condizione di ottimo nel lungo periodo si trova risolvendo questo sistema:

Quindi:

Dalla quale troviamo la condizione di ottimo:

Da inserire nella funzione di produzione:

Dobbiamo trovare L in funzione di Q:

Quindi: valori assegnati dall’esercizio:

Sostituendo con i

Questo va inserito nella condizione di ottimo per poter trovare K in funzione di Q:

Anche questo, sostituendolo con i valori assegnati dall’esercizio:

Diciamo che approssimando i risultati (cosa corretta perché i fattori produttivi sono perfettamente divisibili)

l’affermazione dell’esercizio può essere considerata vera.

d) Per trovare la funzione di costo totale studiamo cosa succede al costo della combinazione ottimale

di lavoro e capitale quando varia il prezzo di uno solo di questi due fattori produttivi.

a. FALSO. Per trovare la funzione di costo totale dobbiamo definire la condizione di ottimo e

risolvere il sistema con la funzione di produzione.

Se un’impresa

e) produce usando solo capitale e lavoro e i due fattori hanno lo stesso prezzo,

l’impresa minimizzerà i costi utilizzando i due fattori in uguale quantità.

a. FALSO. Dipende dal tipo di processo produttivo. Se, ad esempio, dovessimo per forza

due unità di un fattore e una dell’altro per poter produrre un’unità di bene finito,

utilizzare

allora questa affermazione non sarebbe corretta.

Eserciziario Molinari – 3.5

Funzione di produzione, prodotto marginale e prodotto medio

Considerate un’impresa la cui funzione di produzione di breve periodo è

a) Dite se per questa funzione vale la legge dei rendimenti (produttività) marginali decrescenti e, in

caso affermativo, dite da che livello di L tale legge opera

Dire che una funzione di produzione ha rendimenti marginale decrescenti, significa in termini pratici dire

che la derivata prima fatta rispetto al fattore in questione è decrescente (quindi la derivata della derivata

deve essere negativa)

In questo specifico caso la nostra funzione di produzione è una funzione ad un solo fattore, il lavoro.

Vediamo la derivata prima:

Vediamo la derivata seconda:

Questa quantità è minore di zero per L > 5.

b) Dite se esiste un livello di L per cui il prodotto (totale) diminuisce all’aumentare di L.

La traduzione pratica di questa domanda è: potete trovare un valore di L a partire dal quale la funzione di

produzione è decrescente?

Niente di più semplice: prendiamo il prodotto marginale e vediamo se c’è una quantità a partire dalla quale

è minore di zero:

Che risolve in L > 10.

c) Rappresentate graficamente le funzioni di prodotto marginale e prodotto medio del lavoro.

La funzione di prodotto marginale del lavoro è una parabola con un massimo.

Il punto di massimo, trovato derivando la funzione e ponendo il risultato uguale a zero si trova in L = 5 e

PML = 25.

Vediamone il grafico:

L PML

10 0

9 9

8 16

7 21

6 24

5 25

4 24

3 21

2 16

1 9

0 0

La funzione di prodotto medio del lavoro è la seguente:

Anche in questo caso si tratta di una parabola con un massimo, sta si trova in L = 7,5 e PMel = 18,75.

Eserciziario Molinari – 3.6

Fattori produttivi perfetti complementi e fattori sostituti (non perfetti) a confronto

Due note pasticcerie (Sache e Retorte) usano due differenti ricette per la produzione di torte al cioccolato.

Per produrre Q torte con la tecnologia di Sache occorrono esattamente Q Kg di farina (F) e Q Kg di

cioccolato ©, cioè cioccolato e farina sono perfetti complementi uno a uno. Invece, utilizzando la ricetta di

Retorte, la quantità di torte ottenibile è data da

a) Rappresentate i due isoquanti Q = 10 e Q = 20 per ciascuna delle due pasticcerie. Usate un grafico

per la pasticceria Sache e uno separato per la pasticceria Retorte.

Gli isoquanti sono le curve di livello della funzione di produzione: si tratta di tutte le combinazioni possibili

dei fattori produttivi che garantiscono un determinato livello di output.

Ecco gli isoquanti della funzione di produzione di Sache, che utilizza fattori perfetti complementi:

Ecco gli isoquanti della funzione di produzione di Retorte, che utilizza fattori che (come vedremo) hanno un

certo grado di sostituibilità (ed, ovviamente, sono anche complementi, visto che se non ne utilizzo uno la

quantità prodotta si azzera).

Calcoliamo anche la funzione della mappa degli isoquanti di Retorte, per completezza, esplicitando F dalla

funzione di produzione:

Dunque:

b) Supponete che entrambe le pasticcerie si trovino in una situazione in cui la quantità di fattori

impiegata è F = 10 e C = 10 e che ciascun pasticciere voglia aumentare di 2 Kg la quantità di

cioccolato mantenendo invariata la produzione di torte. Dite di quanto dovrà variare la quantità

impiegata di farina.

Se i pasticceri vogliono mantenere invariata la produzione di torte, significa che vogliono mantenersi sullo

stesso isoquanto. dunque l’aumento della quantità di cioccolato è assolutamente

Sache utilizza fattori perfetti complementi,

inutile al fine di mantenere lo stesso livello di produzione. Se la quantità di torte dovrà rimanere pari a 10,

allora cioccolato e farina dovranno essere utilizzati in quantità di 10 kg.

Per quanto riguarda invece Retorte, dovendo rimanere sullo stesso isoquanto dobbiamo calcolare:

Quindi la quantità di farina utilizzata da Retorte dovrà passare da 10 a 8,33, una differenza di 1,66 kg.

c) Per ciascuna ricetta dite quali sono i rendimenti di scala. Motivate la risposta.

Per quanto riguarda Sache, i rendimenti di scala sono costanti perché la funzione di produzione ha fattori

perfetti complementi.

Per quanto riguarda Retorte, i rendimenti di scala sono ugualmente costanti:

Eserciziario Molinari – 3.8

Rendimenti di scala

Definite il concetto di rendimenti di scala. Dite che tipo di rendimenti di scala ci sono nelle seguenti

situazioni:

a) lavoro e capitale sono perfetti complementi uno ad uno;

b) lavoro e capitale sono perfetti sostituti;

c) la funzione di produzione è

I rendimenti di scala indicano la relazione esistente tra la variazione degli input di produzione in una unità

produttiva e la variazione del suo output.

Sia nel punto a) che nel punto b) i rendimenti di scala sono costanti.

Per quanto riguarda il punto a) i rendimenti di scala sono costanti perché, per definizione, nel caso dei fattori

perfetti complementi, essi devono essere usati assieme sempre nella stessa proporzione, in questo caso

uno ad uno.

Per quanto riguarda il punto b) i rendimenti di scala sono costanti per dimostrazione:

Quindi:

Nel caso del punto c) i rendimenti di scala sono crescenti. Ecco la dimostrazione:

Eserciziario Molinari – 3.10

Costo totale, costo medio e costo marginale

Considerate un’impresa agricola che produce pomodori usando lavoro e macchinari (capitale), secondo la

funzione di produzione . Supponete che il costo unitario del lavoro sia w = 16 e quello dei

macchinari sia r = 1.

a) Determinate la funzione di costo totale di breve periodo quando lo stock di capitale è pari a K = 256.

Innanzitutto dobbiamo trovare L in funzione di Q, partendo dalla funzione di produzione con K fisso e pari a

256:

Quindi:

Risolvendo per L:

La funzione di costo totale è:

b) Scrivete e rappresentate graficamente le funzioni di costo medio e marginale di breve periodo.

Ecco la curva di costo medio:

Ed ecco la curva di costo marginale:

Per quanto riguarda la rappresentazione grafica, il costo medio è una parabola con minimo in

(Q = 6,08; AC = 56,15)

La curva di costo marginale è una parabola con minimo in (Q = 0; MC = 0).

Le due curve si incontrano nel punto (Q = 6.08; AC = MC = 56,15).

Ecco la rappresentazione grafica:

–

Eserciziario Molinari 3.11

Saggio marginale di sostituzione tecnica

L’impresa 1 e l’impresa 2 sono caratterizzate, rispettivamente, dalle funzioni di produzione e

.

a) Supponete che entrambe stiano usando due unità di lavoro e due di capitale. Calcolate il saggio

marginale di sostituzione tecnica per le due imprese e dite che valore assume in corrispondenza

della combinazione di fattori utilizzata dalle due imprese. Dite quale delle due imprese riesce a

sostituire più facilmente lavoro e capitale.

Il saggio marginale di sostituzione tecnica misura a quanto capitale dobbiamo rinunciare per utilizzare

un’unità in più di lavoro mantenendo lo stesso livello di output.

Ovviamente è la prima impresa quella più facilitata alla sostituzione: deve infatti rinunciare ad una sola unità

di K per avere un’unità in più di L mantenendosi sullo stesso isoquanto di produzione.

b) Supponete che i salari siano w = 8 ed il prezzo del capitale sia r = 2. Dite, per c