Esercizi meccanica razionale

Q P

O x

k>0

Il sistema ha un grado di libertà, che descriviamo con la coordinata lagrangiana s, la

b

distanza con segno di P da Q. Indicando con i il versore dell’asse x abbiamo, :

b

P − O = (s + Q(t)) i b

v(P ) = (

ṡ + Q̇(t)) = (

ṡ + 2 ω a cos 2 ω t) i

b

2

a(P ) = (s̈ − 4 ω a sin 2 ω t) i

Sul punto P agiscono la forza elastica dovuta alla molla e la forza viscosa. La seconda

legge di Newton ci dà: b b

m a(P ) = −k s i − λv(P ) i cioè

2

m (s̈ − 4 ω a sin 2 ω t) = −k s − λ ( ṡ + 2 ω a cos 2 ω t)

2

m s̈ + λ ṡ + k s = 4 m ω a sin 2 ω t − 2 λ ω a cos 2 ω t

2 2

s̈ + 2 ε ṡ + ω s = 4 ω a sin 2 ω t − 4 ε ω a cos 2 ω t (2)

dove abbiamo posto λ/m = 2 ε. La soluzione generale dell’ultima equazione è la som-

ma della soluzione generale dell’omogenea associata e di una soluzione particolare. La

soluzione particolare s (t) va cercata nella forma (suggerita dal membro di destra)

p s (t) = c cos 2 ω t + c sin 2 ω t,

1 2

p √

con le costanti c e c da determinare al solito modo. Posto ν = ω − ε e ponendoci

2 2

1 2

nel caso ω > ε, abbiamo

s(t) = e (A cos ν t + B sin ν t) + c cos 2 ω t + c sin 2 ω t

−εt 1 2

ṡ(t) = −ε e (A cos ν t + B sin ν t) + ν e (−A sin ν t + B cos ν t)

−εt −εt

−2 c ω sin 2 ω t + 2 c ω cos 2 ω t

1 2

Le costanti A e B vanno determinate dalle condizioni iniziali. Dal testo si capisce che

s(0) = v(P )(0) = 0, vale a dire s(0) = 0

ṡ(0) = −2 ω a,

che permette di risolvere il problema come nell’esercizio precedente.

2. Due quadrati ABCD e MBHK di lato l si muovono nel piano verticale O(x, y) come in

figura. I vertici A ed M scorrono sull’asse x ed il vertice D sull’asse y. I due quadrati

possono inoltre ruotare attorno al vertice comune B. Calcolare le traiettorie polari del

quadrato MBHK.

Soluzione. y H

C K

D θ B

l l

O x

A M

Il sistema ha un grado di libertà, descritto dall’angolo θ che il lato AD forma con la

verticale. Per determinare le traiettorie polari del secondo quadrato, usiamo la formula

fondamentale dei moti rigidi scritta per il centro istantaneo di rotazione, che indichiamo

con Q. Siano inoltre x ed y le coordinate di Q nel sistema fisso indicato in figura. Avremo

allora 0 = v(Q) = v(M) + ω × (Q − M) (3)

Con un po’ di trigonometria si vede che b

M − O = l (sin θ + 2 cos θ) i

b

v(M) = l θ̇ (cos θ − 2 sin θ) i b b b

Q − M = Q − O + O − M = x i + y j − l (sin θ + 2 cos θ) i =

b b

= [x − l (sin θ + 2 cos θ)] i + y j

b

Ricordando che ω = −

θ̇ k, sostituendo nell’equazione ed eseguendo i prodotti vettoriali

abbiamo: b b b b

l θ̇ (cos θ − 2 sin θ) i − θ̇ k × {[x − l (sin θ + 2 cos θ)] i + y j} = 0

b b b

l (cos θ − 2 sin θ) i − {[x − l (sin θ + 2 cos θ)] j − y i} = 0

b b

Uguagliando separatamente a zero la componente lungo i e la componente lungo j otte-

niamo l’equazione della base in rappresentazione parametrica:

x = l (sin θ + 2 cos θ)

y = −l (cos θ − 2 sin θ)

2 2 2

da cui risulta facilmente x + y = 5 l . La base è pertanto una circonferenza con centro

l’origine e raggio 5 l.

Per determinare la rulletta, dobbiamo usare ancora l’equazione (3), esprimendo però le

grandezze in un sistema solidale. Introduciamo quindi un sistema solidale con origine nel

vertice B (ma ogni altra scelta è valida), l’asse x lungo il lato BM e l’asse x lungo BH,

1 2

ed indichiamo con e , e e e i versori degli assi solidali. Si vede facilmente che:

b b b

1 2 3 b b

e = i cos θ − j sin θ

b

1 b b

e = i sin θ + j cos θ

b

2

e quindi b

i = e cos θ + e sin θ

b b

1 2

b

j = −b

e sin θ + e cos θ

b

1 2

Indichiamo con x ed x le coordinate di Q nel sistema solidale, mentre il punto M ha

1 2

coordinate (l, 0). Abbiamo dunque

Q − M = (x − l) e + x e

b b

1 1 2 2

b

v(M) = l θ̇ (cos θ − 2 sin θ) i =

= l θ̇ (cos θ − 2 sin θ) (b

e cos θ + e sin θ)

b

1 2

b

mentre ω = −

θ̇ k = −

θ̇ e . L’equazione (3) diventa dunque:

b

3

l θ̇ (cos θ − 2 sin θ) (b

e cos θ + e sin θ) − θ̇ e × [(x − l) e + x e ] = 0

b b b b

1 2 3 1 1 2 2

l (cos θ − 2 sin θ) (b

e cos θ + e sin θ) − [(x − l) e − x e ] = 0

b b b

1 2 1 2 2 1

Uguagliano separatamente a zero le componenti lungo e e e abbiamo

b b

1 2

l (cos θ − 2 sin θ) cos θ + x = 0

2

l (cos θ − 2 sin θ) sin θ − x + l = 0

1

1 + cos 2 θ

x = −l (cos θ − 2 sin θ) cos θ = −l − sin 2 θ

2 2

1

x = l + l (cos θ − 2 sin θ) sin θ = l sin 2 θ + cos 2 θ

1 2

1

l = l sin 2 θ − cos 2 θ

x +

2 2 2

1

x = l cos 2 θ + sin 2 θ

1 2

21 2

e si vede facilmente che x + (x + l/2) = 5 l/4. La rulletta è pertanto una circonferenza

√

2 5/2.

con centro il punto (0, −l/2) e raggio l

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Anno Accademico 2012/2013

Meccanica Razionale

Ancona, 11 gennaio 2013

1. Un punto P di massa m si muove senza attrito su una guida verticale. Una molla di

costante k > 0 lo collega ad un punto Q della guida, che a sua volta si muove di mo-

to rettilineo uniforme con velocità v sulla guida e che all’istante iniziale si trova in O.

Determinare il moto di P , se questo inizia il suo moto da fermo in corrispondenza di Q.

Soluzione. y

O x

Q

s

k>0 P

Il sistema ha un grado di libertà, che descriviamo con la coordinata lagrangiana s, la

b

distanza con segno di P da Q. Abbiamo, con j il versore dell’asse y:

b b

P − O = −(s + Q(t)) j = −(s + v t) j

b

v(P ) = −( ṡ + Q̇(t)) = −( ṡ + v) j

b

a(P ) = −s̈ j

Sul punto P agiscono la forza di gravità e la forza elastica dovuta alla molla. La seconda

legge di Newton ci dà: b b

m a(P ) = −m g j + k s j cioè

m s̈ = m g − k s

m s̈ + k s = m g

2

s̈ + ω s = g (4)

la soluzione generale è immediata: g

s(t) = A cos ω t + B sin ω t + ω 2

ṡ(t) = ω (−A sin ω t + B cos ω t)

Le costanti A e B vanno determinate dalle condizioni iniziali. Dal testo si capisce che

s(0) = v(P )(0) = 0, vale a dire s(0) = 0

ṡ(0) = −v.

Dunque g

A = − ω 2

v

B = ω

Il moto del punto P è dato dunque da

g v g

s(t) = − cos ω t + sin ω t +

ω ω ω

2 2

2. Un quadrato ABCD di lato L si muove su una guida orizzontale; il vertice A scorre senza

attrito sulla guida a velocità costante v ed il quadrato ruota attorno ad A con velocità

angolare ω = v/L. Utilizzando la formula fondamentale dei moti rigidi, determinare la

velocità del centro del quadrato Q.

Soluzione. y C

D Q B

L x

O A

Il sistema ha zero gradi di libertà, in quanto i dati del problema determinano univocamente

il moto. Comunque, indichiamo con θ l’angolo che il lato AB forma con l’asse x. Indicando

b b b

con i il versore dell’asse x, con j il versore dell’asse y e con k il versore dell’asse z, abbiamo

b

A − O = v t i

b

v(A) = v i i

h π

π

L b

b

√ + j sin θ +

i cos θ +

Q − A = 4 4

2

v

b b

ω = θ̇ k = k

L

La formula fondamentale dei moti rigidi offre pertanto:

v(Q) = v(A) + ω × (Q − A) = i

hb

L π

π

b b

b

√

= v i + + j sin θ + =

θ̇ k × i cos θ + 4 4

2 h i

π

v π

b b

b √ j cos θ +

= v i + − i sin θ +

4 4

2 #

" √

√

v 2 2

b

b

b √ (cos θ − sin θ) − i (cos θ + sin θ)

j

= v i + 2 2

2

1 1 b

b

= v 1 − (cos θ + sin θ) (cos θ − sin θ) j

i +

2 2

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Anno Accademico 2012/2013

Meccanica Razionale

Ancona, 11 gennaio 2013

1. Un punto P di massa m si muove senza attrito su una guida orizzontale. Una molla

di costante k > 0 lo collega ad un punto Q, che a sua volta si muove di moto rettilineo

√

uniforme con velocità v sulla guida, ed una forza viscosa di costante λ < 2 m k si oppone

al moto. Determinare il moto di P , se questo inizia il suo moto da fermo in corrispondenza

di Q, che si trova nell’origine all’istante iniziale.

Soluzione. y s

Q P

O x

k>0

Il sistema ha un grado di libertà, che descriviamo con la coordinata lagrangiana s, la

b

distanza con segno di P da Q. Abbiamo, con j il versore dell’asse y:

b

P − O = (s + Q(t)) i b

v(P ) = (

ṡ + Q̇(t)) = (

ṡ + v) i

b

a(P ) = s̈ i

Sul punto P agiscono la forza elastica dovuta alla molla e la forza viscosa. La seconda

legge di Newton ci dà: b b

m a(P ) = −k s i − λv(P ) i cioè

m s̈ = −k s − λ ( ṡ + v)

m s̈ + λ ṡ + k s = −λ v

2

s̈ + 2 ε ṡ + ω s = −2 ε v (5)

dove abbiamo posto λ/m = 2 ε. La soluzione generale dell’ultima equazione è immediata:

2 εv

t

s(t) = e (A cos ν t + B sin ν t) −

−ε ω 2

t t

ṡ(t) = −ε e (A cos ν t + B sin ν t) + ν e (−A sin ν t + B cos ν t)

−ε −ε

Le costanti A e B vanno determinate dalle condizioni iniziali. Dal testo si capisce che

s(0) = v(P )(0) =