Esercitazioni Fisica (modulo elettromagnetismo e onde)

Fisica generale modulo di fisica II

Ingegneria meccanica - edile - informatica esercitazione 1

La forza elettrica

q₁ e q₂ sono due cariche fisse della figura in cui q = 0.2 C e x₁ = 0.5 C. La posizione di equilibrio lungo l'asse x di una terza carica mobile q₃ = 0.01 C si trova nel punto con ascissa:

• (A) 1.721 m
• (B) 0.387 m
• (C) 0.500 m
• (D) 0.613 m
• (E) 2.721 m

Soluzione. All'interno del segmento (0,1) non vi può essere punto di equilibrio perché le forze esercitate da entrambe le cariche fisse hanno lo stesso verso (a destra nel nostro caso). Se si impone l'uguaglianza in modulo delle forze su q₃:

\(kq_1 q_3 / x^2 = kq_2 q_3 / (x - 1)^2\)

si ottiene un'equazione di secondo grado in x (espresso in metri) che ha come soluzioni x = 1.721 e x = 0.387 tra cui si deve scartare la seconda soluzione perché interna al segmento.

Ruotazione di una bacchetta con cariche

Una carica Q₁ = 1 C è posta su di una sferetta metallica di 30 g appoggiata ad un estremo di una bacchetta isolante lunga 30 cm. Una seconda sferetta identica alla prima, con una carica di Q₂ = 0.1 C. Se la bacchetta ruota, per quale periodo di rotazione la prima sferetta si staccherà dalla bacchetta?

• (A) 1.40 s
• (B) 2.43 s
• (C) 3.15 s
• (D) 5.44 s
• (E) _____

Soluzione. La sferetta resta attaccata alla bacchetta in moto rotatorio fintanto che la forza attrattiva fra le cariche è maggiore o uguale alla forza centripeta. Al momento del distacco, l'attrazione richiesta dal moto circolare di Q (raggio 0.05 m), cioè:

\(kQ_1 Q_2 / (0.05)^2 = m(2π/T)^2 \cdot 0.05\)

Risolvendo si trova T = 2.433 s

Modello atomico di Bohr

Secondo il modello atomico di Bohr si considerano: massa m_e = 9.11 × 10^-31 kg, carica q = e = 1.6 × 10^-19 C, raggio orbitale r = 5.3 × 10^-11 m. Calcolare la frequenza di rotazione:

• (A) 10¹⁵ Hz
• (B) 13.5 × 10¹⁵ Hz
• (C) 6.6 × 10¹⁵ Hz
• (D) 3.0 × 10¹⁵ Hz
• (E) 9.0 × 10¹⁵ Hz

Soluzione. Si ricava la frequenza dalla velocità angolare:

\(f = \frac{1}{2π} \sqrt{\frac{kq^2}{m_e r^3}} = 6.6 \times 10^{15} \, \text{Hz}\)

Tre cariche puntiformi ai vertici di un quadrato

Tre cariche puntiformi q = 3 C sono poste ai tre vertici di un quadrato con lato l = 4 m; nel quarto vertice è posta la carica 2q. La componente lungo x della forza agente su di una carica di 12 C posto al centro del quadrato vale approssimativamente:

• (A) 0.114 N
• (B) 0.0286 N
• (C) 0.0095 N
• (D) 0.0286 N
• (E) 0.114 N

Processo elettrolitico

Un processo elettrolitico divide 1.3 mg di NaCl (massa di una mole = 59 g) in Na⁺ e Cl^-. Le cariche positive vengono allontanate da quelle negative sino a che la forza di attrazione tra cariche di segno opposto si riduce a 1 N. La distanza tra cariche positive e negative è di circa:

• (A) 1 km
• (B) 10 km
• (C) 40 km
• (D) 200 km
• (E) 1000 km

Segmento con cariche ai suoi estremi

Agli estremi A, B di un segmento lungo 100 cm sono vincolate due cariche positive con q_A = 1 nC e q_B = 3 nC. Una terza carica positiva q_C = 6 nC è libera di muoversi compreso tra A e B. La distanza CB vale circa (arrotondare):

• (A) 50 cm
• (B) 59 cm
• (C) 69 cm
• (D) 76 cm
• (E) 63 cm

Carica in un sistema cartesiano

Una carica q = 4.1(10^-7) C si trova in un sistema di riferimento cartesiano. Se si vuole che su una carica q₁ = 1.6(10^-6) C si eserciti una forza di intensità F = 6.3(10^-6) N nella direzione positiva dell'asse x, questa carica deve essere posta nel punto di ascissa:

• (A) 3.14 m
• (B) 30.6 m
• (C) 30.6 m
• (D) 18.4 m
• (E) ______

Carica su una sfera con densità variabile

Una carica Q su una sfera con densità variabile ρ = ρ₀R/r², dove r è la distanza dal centro della sfera e ρ₀ è costante:

• a) Calcolare Q(r) in funzione di r
• b) calcolare Q₀ = 4πr³ρ₀/3
• a) Q(r) = ρ₀4πr³/3
• b) Q(r) = Q₀

Il campo elettrico

Tre cariche elettriche in un triangolo isoscele

Tre cariche elettriche q_A, q_B = q_C sono poste ai vertici di un triangolo isoscele di vertice A, altezza AH = 12 cm e base BC = 6 cm. Se q_B = 5 nC e il campo elettrico nel baricentro M si annulla, la carica q_A vale:

• (A) _______
• (B) 1.22 nC
• (C) 2.89 nC
• (D) 8.64 nC
• (E) 20.5 nC

Soluzione. Il baricentro divide la mediana in modo che MH=AH/3= 4 cm; perciò |MC| = √(MH² + CH²) = 5 cm. Si disegnino nel punto M i vettori campi elettrici E_C, E_B (E_C = E_B). Dato che il campo risultante in M è nullo, la carica q_A deve essere positiva e in valore tale da soddisfare la relazione:

\(kq_A q_C \sin(\theta) = kq_B q_B \sin(\theta)\)

da cui q_A = 20.5 nC.

Due cariche su una circonferenza

Due cariche Q₁ = 3.5 C e Q₂ = 1.2 C sono tenute fisse su due punti diametralmente opposti di una circonferenza mentre la carica q = 1.1 C è libera di muoversi solo sulla stessa circonferenza. Nel punto in cui la carica q della figura vale circa:

• (A) 55°
• (B) 35°
• (C) 74°
• (D) 16°
• (E) 45°

Soluzione. Indichiamo con E₁ ed E₂ le intensità dei campi elettrici prodotti nella posizione di q da Q₁ e Q₂ e con d₁ e d₂ le distanze tra Q₁ e q e tra Q₂ e q. E₁ + E₂ ha componente tangenziale nulla lungo la circonferenza, ovvero, quando il campo risultante è diretto come il raggio della circonferenza. Osserviamo che il triangolo Q₁qC è isoscele, quindi gli E₁ e la direzione del raggio Cq vale π/2 perché opposto al vertice. La componente di E₁ tangenziale alla circonferenza è quindi E₁sin(φ); allo stesso modo si può vedere che la componente di E₂ tangenziale alla circonferenza è -E₂sin(φ) (ed è diretta in verso opposto alla precedente). Dato che queste componenti devono essere uguali abbiamo:

\(E_1 \sin(φ) = E_2 \sin(φ)\)

da cui tan(φ) = 35°.

Cariche su un triangolo equilatero

Nei vertici A e B di un triangolo equilatero sono state poste le cariche Q_A e Q_B. Nel terzo vertice C si trova che il campo elettrico è normale a CB e diretto nel senso indicato. Se la carica Q_A vale +1 C, la carica Q_B vale:

• (A) 1 C
• (B) 0.5 C
• (C) 0.87 C
• (D) 0.87 C
• (E) non esiste

Soluzione. La componente di E_A parallela a CB (tratteggiata nella figura) vale |E_A|cos(60°) = |E_A|/2. Dalla figura si vede che |E_B|=|E_A|/2 e che il campo della carica in B deve essere diretto verso B. Perciò la carica in B è negativa e pari alla metà di quella in A: Q_B = 0.5 C.

Cariche disposte su un esagono

Sui sei vertici di un esagono di lato d = 0.25 nm sono collocati tre ioni ossigeno (O^2-) e tre ioni cesio (Cs⁺) (cariche rispettive: 2e = 3.2 × 10^-19 C ed e = 1.6 × 10^-19 C). Se la distanza massima tra gli atomi di ossigeno vale d e la minima d:

• (A) 0
• (B) ke/2
• (C) ke
• (D) 2ke
• (E) _____

Soluzione. Il caso del testo è rappresentato in figura, dove le palline piene rappresentano gli ioni O^2- e quelle vuote gli ioni Cs⁺. Consideriamo una coppia di ioni O^2-, Cs⁺ situati su due vertici. Il campo creato dallo ione O^2- vale in modulo ke/d², mentre quello creato dallo ione Cs⁺ vale ke/(2d). Essendo questi due campi equiversi, il campo creato al centro dalla coppia vale in modulo 3ke/(2d), ed è diretto verso lo ione O^2-. I campi prodotti da ciascuna coppia sono rappresentati in figura dalle frecce. Dato che i tre vettori formano angoli di 60°, il modulo del campo risultante è 6ke/d.

Sfera conduttrice e cilindro conduttore

Una sfera conduttrice di raggio R = 10 cm con una carica Q = 66.67 μC è posta in prossimità di un lungo cilindro conduttore di raggio R = 2 cm e carica per unità di lunghezza pari a Q/L = 3 μC/m. La componente x del campo elettrico nel punto P(3.2 m, 2.4 m) vale:

• (A) 91.25 V/m
• (B) 16.87 V/m
• (C) 22.50 V/m
• (D) 2.5 V/m
• (E) 0.0 V/m

Soluzione. La sfera genera in P un campo E_S diretto radialmente, dove:

\(E_S = \frac{Q}{4πε_0 r^2}\)

La componente x del campo totale è perciò:

\(E_x = E_S\cos(\theta) + E_C\sin(\theta)\)

Calcolando i valori si ottiene E_x = 22.50 V/m.

Carica su un semicerchio

Una carica Q = 0.5 nC viene distribuita su un filo che viene curvato a forma di semicerchio di raggio R = 0.707 m. Il campo elettrico nel centro del semicerchio vale:

• (A) 5.73 V/m
• (B) 2.87 V/m
• (C) 1.433 V/m
• (D) 0.716 V/m
• (E) 0.358 V/m

Soluzione. Si considera il semicerchio suddiviso in tratti infinitesimi dl su ciascuno dei quali vi è la carica dq = Q/(πR). Ogni carica elementare dq genera in O il campo elettrico dE = k dq/R² e il campo risultante è dato, per ragioni di simmetria, dalla sommatoria delle componenti verticali di ciascun campo elementare:

\(E_{tot} = \frac{kQ}{2R^2}\)

Calcolando il valore si ottiene E_tot = 5.73 V/m.

Cariche su un diametro di una circonferenza

Due cariche Q₁ = 0.3 C e Q₂ = 0.4 C si trovano agli estremi di un diametro di una circonferenza di raggio 0.5 m. Il punto P della circonferenza dove il campo elettrico è normale al diametro ha ascissa x (vedi figura):

• (A) 0.10 m
• (B) 0.20 m
• (C) 0.36 m
• (D) 0.64 m
• (E) 0.80 m

Carica in un quadrato con cariche ai vertici

Le coordinate (in metri) dei punti A, B, C della figura sono riportate in tabella. Nel punto B è posta una carica q_B = 9 nC e la carica in C è scelta in modo che il campo elettrico nel punto O (0,0) sia nullo. La carica q_C vale:

• (A) 3 nC
• (B) 4 nC
• (C) 6.75 nC
• (D) 7.20 nC
• (E) ____

Il flusso del campo elettrico e il teorema di Gauss

Carica elettrica distribuita su una sfera

Una carica elettrica Q = 10 C è distribuita uniformemente, cioè a densità costante, nel volume di una sfera di raggio R = 10 cm. Il rapporto tra il campo elettrico a R₁ = 5 cm dal centro e il campo elettrico a R₂ = 15 cm dal centro, E(R₁)/E(R₂), vale circa:

• (A) 1/9
• (B) 4/9
• (C) 3/2
• (D) 1.66
• (E) 1.125

Soluzione. Il problema si risolve applicando il teorema di Gauss ad una superficie sferica passante per il primo punto e ad una passante per il secondo. Per superfici sferiche si ha sempre:

\(E \cdot 4πr^2 = Q_{int}/ε_0\)

Per R₂ > R: la carica contenuta è tutta la carica Q quindi:

\(E \cdot 4π(15)^2 = Q/ε_0\)

Per R₁ < R la carica contenuta Q_int è data dalla densità di carica moltiplicata per il volume della sfera di raggio R₁, quindi:

\(E \cdot 4π(5)^2 = Q_{int}/ε_0\)

Il rapporto richiesto è pertanto: E(R₁)/E(R₂) = 1.125.

Carica su una sferetta appesa

Una sferetta di massa m = 100 g e carica q (positiva) è appesa mediante un leggero filo di seta lungo 0.25 m a una sottile lamina conduttrice verticale che porta una carica di 0.1 mC/m. Se l'angolo formato tra il filo e la lamina è θ = 30°, la carica q della sferetta vale:

• (A) 5.1 nC
• (B) 43.4 nC
• (C) 50.1 nC
• (D) 81.6 nC
• (E) 100 nC

Soluzione. Il campo elettrico prodotto da una lamina conduttrice carica ha direzione perpendicolare alla superficie e il suo modulo è dato dal rapporto fra la densità superficiale di carica e la costante:

\(E = \sigma/ε_0\)

La sferetta è in equilibrio se la risultante delle forze \(qE + mg\) è annullata dalla tensione T del filo ed è quindi diretta come il filo. Perciò le componenti di T devono essere:

\(T \sin(\theta) = qE\); \(T \cos(\theta) = mg\)

Dividendo membro a membro si ha:

\(tan(\theta) = qE/mg\)

da cui: \(q = mg \cdot tan(\theta)/E\), calcolando si ottiene q = 50.1 nC.

Campo elettrico da un filo carico

Calcolare il campo elettrico a distanza r di un filo, caricato con una densità lineare di carica λ = Q/l (misurata in C/m):

Soluzione. In qualunque punto P il campo elettrico sarà diretto radialmente, poiché il campo farebbe muovere le cariche lungo il filo. Sempre per ragioni di simmetria, il modulo di E avrà lo stesso valore E(r) in ogni punto a distanza r dal filo. Come superficie chiusa su cui applicare la legge di Gauss consideriamo quella di un cilindro di altezza h e di raggio r, che ha per asse il filo. Il flusso di E è diverso da zero solo attraverso la superficie laterale (2πrh) e, secondo il teorema di Gauss, è uguale alla carica racchiusa:

\(E(r) \cdot 2πrh = λh/ε_0\)

da cui: \(E(r) = λ/(2πε_0 r)\)

Campo elettrico in una sfera isolante

Calcolare il campo elettrico E(r) in un generico punto P posto a distanza r dal centro di una sfera isolante di raggio R, caricata con carica Q e densità di carica ρ, funzione della distanza r dal centro della sfera, secondo la relazione: ρ = ρ₀R/r²:

• a) r < R: E= (Q/(4πε₀R³))r
• b) r > R: E = Q/(4πε₀r²)

Flusso attraverso un cubo

Si consideri la superficie chiusa di un cubo di lato a mostrato in figura. Il flusso del campo elettrico attraverso tale superficie quando è presente un campo elettrico E = E₀ i_x:

• (A) E₀a²
• (B) 2E₀a²
• (C) 6E₀a²
• (D) ____
• (E) 0

Carica contenuta in un cubo

Con riferimento al problema precedente, se il campo elettrico varia linearmente lungo l'asse x e vale E = (Cx) i, con C = costante positiva, la carica contenuta nel cubo vale:

• (A) Ca³
• (B) C/a
• (C) Ca
• (D) ____
• (E) 0

Carica su una sfera con guscio conduttore

Una sfera isolante di raggio a ha una carica totale Q, distribuita con densità volumetrica uniforme. La sfera è circondata da un guscio sferico concentrico conduttore con raggio interno b e raggio esterno c. Dimostrare che la carica indotta per unità di area sulla superficie interna del conduttore cavo vale Q/(4πb²), mentre sulla superficie esterna vale +Q/(4πc²).

Carica su una barra cilindrica

Su una barra cilindrica di alluminio lunga 2 m e avente il diametro di 3 cm viene posta una carica di 5 C. Il campo elettrico alla superficie della barra ad uguale distanza dagli estremi in modulo vale:

• (A) 0.54 MV/m
• (B) 3.0 MV/m
• (C) 5.4 MV/m
• (D) 13.5 MV/m
• (E) 25 MV/m

Campo elettrico sopra una piastrina metallica

Il modulo del campo elettrico immediatamente sopra il punto centrale di una piastrina metallica carica a forma di quadrato di 20 cm di lato e 0.1 mm di spessore è di 150 V/cm. La carica elettrica complessiva della piastrina vale circa:

• (A) 2.6 nC
• (B) 5.1 nC
• (C) 5.8 nC
• (D) 10.6 nC
• (E) 15.4 nC

Contatore Geiger

Il rivelatore di un contatore Geiger è costituito da un filo lungo 0.1 m e diametro 0.1 mm in asse con un cilindro metallico vuoto con diametro interno di 1 cm. Filo e cilindro sono sotto vuoto e portano cariche di segno opposto e uguali in valore assoluto. Se il modulo del campo elettrico in prossimità della superficie interna del cilindro è 3 × 10⁴ V/m, in prossimità del filo vale:

• (A) 6 × 10⁴ V/m
• (B) 3 × 10⁴ V/m
• (C) 3 × 10⁷ V/m
• (D) 3 × 10⁴ V/m
• (E) 3 × 10⁶ V/m

Flusso del campo elettrico attraverso un cubo

Un cubo di spigolo a è posto in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale ed è disposto come in figura. Si calcoli il flusso del campo elettrico attraverso la superficie del cubo.