Esercizi esami geometria

Esercizi esame

Sezione 1: Algebra lineare

1. Vettori e basi

I vettori f₁ = (λ, 1, 0), f₂ = (-1, λ, 1), f₃ = (0, 2, 1) formano una base se e solo se sono linearmente indipendenti, quindi se e solo se dim span(f₁, f₂, f₃) = 3, quindi se e solo se det(f₁, f₂, f₃) ≠ 0.

det (λ 1 0) (-1 λ 1) (0 2 1) ≠ 0 → det ℝ₃ → ℝ₃ + ℝ₁ + ℝ₃
X = | λ -1 0 | | λ × 2 1 | | 0 0 × |
λ (λ² -1) λ(λ+1) (λ -1) = 0 → λ ≠ {0, 1, -1} per avere il det. ≠ 0
λ ∈ ℝ \ { 0, 1, -1 }

1 b) Coordinate nella base

Quando λ = 2, le coordinate nella base f₁, f₂, f₃ in funzione delle coordinate nella base canonica sono:

• U = | 2 -1 0 | | 0 2 2 | | 0 2 1 |
• vecchie x ↔ U ⇒ nuove(x') = U^-1(x)
• (y) = (y')(z) (z')

det(U) = 2(2+1)(2-1) = 6
U^-1 = 1/6 |-2 -2 -2| |-2 -4 -2| |-1 -2 -5|

Per fare la prova: (2 -1 0)U = (0 2 2) (0 2 1)(x') = U^-1 (x)(y) = (y')(z) (z') → 3(x + y - z)1 = 3(2x-4y-z) 6 = 1(x(+2) 5z) = ... ⇒ (x', y', z') = 3(x+y-z) →³(-x+2y-2z)→^1/6(-x - 2y + 5z)

1 c) Trasformazione nella base f₁, f₂, f₃

ℝ³ → ℝ³ definito nella base canonica da:
ℝ(x, y, z) = (z, x+z, -y) nella base f₁, f₂, f₃

Primo Metodo

Con la definizione ℝ(f₁) = p₁ nella base f₁, f₂, f₃,
ℝ(f₂) = p₂,
ℝ(f₃) = p₃.
A_ℝ(x)= (p₁, p₂, p₃) come colonne

Secondo Metodo

A_ℝ(x) = U^-1 A_ℝ(x) U = (2 -1 0) (0 2 2) (0 2 1)
A_ca(ℝ) = (0 0 1) (1 0) (0 -1 0) =^{2 (0) 4-1 .... set of equations = ..}= (1 1 12) (6 -12 6) (12 5 7) (= 16) =^1/6 (6) = ...

Esercizi esame 7IV (matrici)

Esercizio 1 (Algebra lineare)

II (geometria euclidea) III (equazioni)

Vettori e basi

I vettori _f1 = (λ, 1, 0), _f2 = (-1, λ, 1), _f3 = (0, 2, λ) formano una base se e solo se sono linearmente indipendenti, quindi se e solo se dim(sp(_f1, _f2, _f3)) = 3, quindi se e solo se det(_f1, _f2, _f3) ≠ 0.

det ( λ -1 0 ) ( 1 λ 2 ) ( 0 1 λ ) ≠ 0 ⇔ det( ℝ₃ = ℝ₁+ℝ₃ )( ( λ -1 0 ) ( 1 λ 2 ) ( 0 1 λ ))=λ [ -2 + λ² + 1 ] = ( λ² - 1 ) - λ ( λ+1 ) ( λ-1 ) = 0 ⇒ λ ≠ { 0, 1, -1 } per avere il det ≠ 0
λ ∈ ℝ \ { 0, 1, -1 }

Coordinate nella base

Quando λ = 2, le coordinate nella base _f1, _f2, _f3 in funzione delle coordinate nella base canonica sono:

• U = ( 2 -1 0 ) ( 0 2 2 ) ( 0 0 2 )
• (x y z) = U(x' y' z') ↔ (x' y' z') = U^-1(x y z)
• det(U) = 2 (2+1)(2-1) = 6
• U'^-1 = 1/6 (2 -2 0 0 2 -2 0 1 2)

Per fare la prova: 1ŠU'^-1 = 1/6 ( 2 -2 2 0 1 -2 0 -1 5)(x' y' z') = U^-1 (x y z) = (1/6)(2x+2y-z-2x-1z-x-2y+6z) = (1/6)(x-2y+3z)

Trasformazione nella base

ℝ³₃, ℝ³₃ definito nella base canonica da: ∅(x, y, z) = (z, x+z, -y) nella base _f1, _f2, _f3

Primo Metodo

Con la definizione ∅(_f1) = p₁ nella base _f1, _f2, _f3, ∅(_f2) = p₂, ∅(_f3) = p₃.

3 sistemi lineari (3×3) A_∅ (x) = (p₁, p₂, p₃)