Esercizi esami geometria

ESERCIZI ESAME 3

ESERCIZIO 1 (Algebra lineare). Il piano euclideo. (II Equazioni)

1. ℝ³ base canonica

   f₁ = (λ, 1, 0), f₂ = (-1, λ, 1), f₃ = (0, 2, 1)

   → base se e solo se sono linearmente indipendenti, quindi se det(f₁, f₂, f₃) ≠ 0

   det ^{λ 1 0} = |λ - 1 0| = λ [λ² + λ + 1]

   ^{0 λ 1} |0 2 1|

   λ ≠ {0, 1, -1} per avere il det ≠ 0

   λ ∈ ℝ \ {0, 1, -1}

2. V ^{-1 0 x}

   2 (2 + λ) (2 - 1) = 6;

   6 ( 0 2 λ)

   Secondo metodo:

   _l(∅) = V^-1A(∅)

   ( 0 0 1)

   ( 0 -1 0)

ϕ(x,y,z) = A_ca(β) (x_a,y_a,z_a) = (x+y+z_a,2x-y-z_a,3x-3y-z_a)

L'espressione di zam (Ω_b^σ) delle coordinate nella base canonica è:

A_ca(β^σ) = A_ca(Ω_σ^ζ) A_ωσ(β^σ) = (0 0 1)

Trattino φ_γx(π₀₁) = (-0 -1 0 1) A_ca = (-0 1 0)

A_σ^-1(x,y,z) = (2x+y) = (-1 0 0)

(y+2z,2x) (x,y,z) = (y,z_σ) = (0 0 0)

ESERCIZIO 1

1. A (1, 1, 0, 0), B (0, 2, 0), C (0, 0, 1), O (1, 1, 2)

   a x + by + cz + d = 0 equazione generale del piano

   { -a + d = 0

   2b + c + d = 0

   prendo d=2 ottenere (0 = 1, b = -1, c = -2) → a = 2; d = 2

   abbassa - x - y - 2x + 2 = 0: π

2. Le equazioni della retta ω ortogonale al piano π

   με e ω equazioni

   • υ (2, -1, -2)
   • D (1, 1, 1)

   elimino {x = 2 t ω elimina x - z = 2 (1 - y)

   {y - 1 = t (1 - y)

   e: (x + 2y - 3 = 0 → e: = -2y +z +1 = 0 x + z - 2 =0

3. L'angolo tra rette ω e AB vale:

   C (E,AB): √υ₂-√υ₂ (2, -1, 2)

   √AB: ν_AB = ν_A - ν_B = (-1, -2, 0) ν (1, 2, 0)

   arcos (|(<1,2,0>)|) = arcos 0 = π/2

4. La distanza dal punto O al piano determinato da ACO

   d(0, ACO)= ?

   A(-1,0,0) C(0,0,1) D(1,1,1)

   {-a + d = 0 prendo d = 1 → c = 1

   a+ b + c + d = 0

   x - y + z + 1 = 0

   d (0, ABD) = |1|/√1^1/3 = 1/√3

Δ < 0 non ha soluzioni —> un solo autovalore quindi non è diagonalizzabile

L'espressione di Φ^-1 in coordinate nella base canonica è: A_c (β^-1) = [A_c (β)]^-1 = A₋₁

A₋₁ =

σ⁻¹ (x,y,z) = A⁻¹

ESERCIZIO 2

Nello spazio euclideo ℝ³, con un sistema di riferimento ortonormale Oxyz, consideriamo i seguenti punti: A = (2,1,0), B = (0,2,1), C = (1,2,0), D = (2,0,1)

L'equazione del piano π determinato dai punti A,B,C vale:

π (A,B,C) αx + by + cz + d = 0 (equazione generale del piano)

d = 1

b = −2α − 1

α − 3α = 1 −> α = −1/3

c = −b − 1

x + y + z − 3 = 0

le equazioni della retta ortogonale al piano π, che passa per il punto D, sono:

le due rette AB e CD sono:

1 - sfhembo 2 - ortogonali 3 - incidenti 4 - parallele

non sono proporzionali ne ortogonali

La distanza tra le rette AD e VB vale:

d_AB=d_BA=0

d_AB=2

Cerchiamo il piano Π con

^Ψ

Prima condizione

_AB = (0, -2, 2) ^π_AB = (1, -1, λ)

2 + 2λ = 0

Il piano che sto cercando ha indicato

Π . a x - y - z = 0 (questo è il piano che

vogliamo trovare)

^0-2-0-1

Esercizio 3

Data la forma quadratica 2(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz

Consideriamo le seguenti quattro affermazioni:

• Esiste un unico piano di passare per un punto ed è, ortogonale ad un altro piano fisso F
• L’intersezione fra un cono e un piano parallelo
• La geometria dei punti del piano che hanno la somma delle distante è due punti fissi
• L’intersezione fra un cono e un piano che passa F

Esercizio 4

Consideriamo le ampie seguenti affermazioni:

• Se A è una matrice quadrata, il determinante di 2 è ripetitivo di (AAT) 20
• Ogni matrice s’inscrive di d, una distribuzione
• Due metriche sulle hanno gli stessi autovalori in A-B → out

Vn = { (x,y,z) | A (x,y,z) = (0,0) }

⇒

( 1 1 0 ) ( x ) = ( y )

( 0 1 -1 ) ( y ) ( z )

( 0 1 1 )

⇒

{ x + y = x

y = 0

y + z = x + z = 0 → x = z

⇒ x = z = t

y = 0

dim Vn = 1 → parametro

t ∈ R

La dimensione dell'immagine di φ vale

le possibilità sono 0,1,2,3

φ: R³ → R³

dim Nucleo (φ) + dim Im (φ) = 3 (dimensione dello

KER φ (immagine)

Re φ =( (x) | φ(x,y,z) = 0 )

⇒ { (x,y,z) | A(φ) (x) = (0) }

3 - [numero delle incognite scandano] →

3 - [ 3 - numero incognite principali ] = 3 - 3 + (sp A) = sp (A)

Quindi Im (φ) = sp (Aφ)

det A (φ) = det (1 2 0) = -1 ≠ 0

(rango non è 3)

det (10) = 1 → sp (A (φ) ) = 2 → dim (φ) = 2

Esercizio 2

Nello spazio euclideo E³, con un sistema di riferimento ortonormale

consideriamo 3 punti

A = (0,1,2) B = (-1,0,1) C = (1,2,4)

a) l’equazione del piano π determinato dai punti A, B, C è

π(ABC) :

ax + by = cz + d = 0

a = -b = c, prendendo d = -2

x + y + z - 2 = 0

b) l’equazione del piano π₁ che passa per O e per

A, ed è ortogonale al piano π' è:

π' : x + y + z = 0 (verso Re l'(1), una quindi pieno di

liberta

π' : O, ½, ½) → π₁' : a + b + c = 0

π₁' : (1,1,2) ππ₁ : a₁, b₁, c₁

π₁' : +b₁-b₁ = 0 (pertanto a

(per esistenza

c ( (1,1,2) (a,b,-b) ) > 0 ⇒ a = 0

b = 1

π' : y - z ≈ 0