Esercizi e formulario Microeconomia

A

V C

Si consideri un che cosa rappresenta l'​ area sottesa​ alla funzione di costi

y = 3

marginali di breve periodo?

S M C

1.2 ​

Si definisca la condizione di chiusura​ ed il suo significato e si ricavi la f​ unzione di

offerta di breve periodo​ della singola impresa.

1.3

In equilibrio di breve periodo, il prezzo è e la funzione di domanda di mercato

p = 3 6

è uguale a: 1

p = 6 6 − y T D

2

con che è la quantità totale domandata.

y T D

Quante sono le imprese?

n

1.4

Si dia giustificazione dei profitti di ciascuna di queste imprese in equilibrio.

i 30

Soluzione 1

Nel breve periodo ci sono imprese tutti uguali che operano in mercati

n

perfettamente concorrenziali.

​ ​

La f unzione di costo totale di breve periodo dell'impresa è:

i

2 3

S T C (y ) = 2 4y − 8 y + y + 5 92

i i i i i

1.1 ​ ​ ​

Si ricavino e si rappresentino le f unzioni di Costo Marginale e di C osto

S M C

​

Medio Variabile .

A

V C ​ ​

Si consideri un che cosa rappresenta l' a rea sottesa alla funzione di costi

y = 3

marginali di breve periodo?

S M C ​

Conoscendo la funzione di costi totali, si possono ricavare i costi marginali​ S M C

facendo la derivata prima rispetto ad :

y i 2

δST C

S M C = = 2 4 − 1 6y + 3y

i i

δy i

​ ​

Per ottenere i costi medi variabili​ dobbiamo semplicemente dividere i costi

A

V C

variabili​ per .

V C y i

Avendo la funzione di costi totali, abbiamo implicitamente anche i costi variabili ed i

​

costi fissi, poiché la funzione di costi totali altri non è che la somma di costi variabili

​

ed i costi fissi​ e quindi:

V C F C S T C = V C + F C

2 3

V C = 2 4y − 8 y + y

i i i

F C = 5 92

e quindi i costi medi variabili risultano essere:

2 3

24y −8y +y

VC 2

i

A

V C = = = 2 4 − 8 y + y

i i

y y i i

i i

L'​ area sottesa alla funzione di costi marginali​ fino a è l'integrale tra 0 e 3

y = 3

i

dei costi marginali che è uguale ai costi variabili in corrispondenza di 3 (poiché l'area

sottesa alla funzione di costi marginali fino ad un certo livello di output corrisponde ai

costi variabili fino a quel punto), quindi:

3 3 2 3

2

[ ]

∫ ∫

SM C = 24 − 1

6y + 3y = V C(3) = 2 4(3) − 8 (3) + (3) = 7 2 − 7 2 + 2 7 = 2 7

[ ] i i

0 0 31

1.2 ​ ​ ​

Si definisca la c ondizione di chiusura ed il suo significato e si ricavi la f unzione di

​

offerta di breve periodo della singola impresa. ︿

Noi sappiamo che se l'impresa produce un output positivo , dobbiamo essere

y > 0

i

in corrispondenza del tratto crescente della funzione di costi marginali al di sopra del

minimo della funzione dei costi medi variabili.

Il prezzo che sarà eguagliato ai costi marginali in funzione di , non

p y S M C(y )

i i

deve essere più piccolo dei costi medi variabili in corrispondenza di , .

y A

V C(y )

i i

Quindi: 2 2

p = S M C(y ) ≥ A

V C(y ) 2 4 − 1 6y + 3y ≥ 2 4 − 8 y + y 0 ≥ 2 y (4 − y )

⇒ ⇒

i i i i i i

i i

​

Quindi i costi medi variabili minimi​ sono al loro punto di minimo quando

A V C M IN

, e cioè quando il costo marginale taglia la funzione di costi medi variabili

y = 4 S M C

i :

A V C 2

A

V C (y ) < 2 4 − 8 (4) + 4 = 8

M IN i

L'​ offerta della singola impresa​ sarà uguale a:

i

1. se

y = 0 p < 8

i

2. se

y ≥ 8 p = S M C(y )

i i 32

1.3

In equilibrio di breve periodo, il prezzo è e la funzione di domanda di mercato

p = 3 6

è uguale a: 1

p = 6 6 − y T D

2

con che è la quantità totale domandata.

y T D

Quante sono le imprese?

n

Iniziamo guardando quanto la singola impresa decide di offrire se il prezzo :

p = 3 6

2 2

y : 36 = 2 4 − 1 6y + 3y y = 3y − 1 6y − 1 2

⇒

i i i i i i

Risolvendo questa equazione di secondo grado, otteniamo:

√ 2

−b± b −4ac 16±√256+144 16±20

y = = = ⇒

i1,i2 2a 6 6

16−20 4

y = = −

i1 6 6

16+20 36

y = = =6

i2 6 6

non va bene poiché l'offerta dell'impresa non può essere negativa, perciò, se il

y i1

prezzo , ciascuna nelle impresa offrirà un output .

p = 3 6 n y = 6

i

1

Conoscendo la funzione di domanda , e conoscendo che il prezzo in

p = 6 6 − y T D

2

equilibrio è , dalla funzione di domanda siamo in grado di arrivare alla

p = 3 6

​

quantità totale​ scambiata​ , che sarà quella in corrispondenza del quale:

1

y : 36 = 6 6 − y y = 6 0

⇒

T T D T

2

​

A questo punto, conoscendo che la quantità totale scambiata in equilibrio​ è

​

e la quantità offerta dalla singola impresa in equilibrio​ , si può

y = 6 0 y = 6

T i

​

ricavare il numero delle imprese​ presente nel mercato sarà uguale alla quantità

n

totale scambiata in equilibrio diviso la quantità offerta dalla singola impresa, e cioè:

60

n = = 1 0

6 33

1.4

Si dia giustificazione dei profitti di ciascuna di queste imprese in equilibrio.

i

︿

​

Per giustificare i profitti di ciascuna di impresa in equilibrio, bisogna andare

π i

i

nella funzione di profitto dell'impresa in corrispondenza di e

i p = 3 6 y = 6

i

︿

​

sottraendo i costi totali​ di quando si produce :

S T C y i

︿ ︿ ︿ ︿ 2 3

[ ]

π = p y − S T C(y ) = 3 6 6 − 24(6) − 8 (6) + (6) + 5 92 =

* *

i i i

= 2 16 − 144 − 2 88 + 2 16 + 5 92 = 2 16 − 6 64 = − 4 48

[ ]

Poiché siamo nel breve periodo e poiché producendo, l'impresa, subisce perdite

minori di quelle che subirebbe non producendo (poiché i costi fissi sono ) è

5 92

accettabile che l'impresa subisce perdite 34

Esercizio 2 1 1

Nel breve periodo, il prezzo per unità di input 1 mentre per l'input 2 è .

w = w =

1 2

4 8

La funzione di produzione è uguale a: 1 11/3 21/3

y (x , x ) = x x

1 2 4

x = 8

con .

1

2.1 ​

Trovare la funzione di produzione di breve periodo e calcolare la funzione di costi

​ ​

totali , costi marginali e costi medi variabili .

S T C S M C A

V C

2.2 ​

Si ricavi la funzione di offerta di breve periodo​ dell'impresa.

2.3

SI trovi il prezzo in corrispondenza del quale i profitti di breve periodo sono .

p π = 0

35

Soluzione 2 1 1

Nel breve periodo, il prezzo per unità di input 1 mentre per l'input 2 è .

w = w =

1 2

4 8

La funzione di produzione è uguale a: 1 11/3 21/3

y (x , x ) = x x

1 2 4

x = 8

con .

1

2.1 ​

Trovare la funzione di produzione di breve periodo e calcolare la funzione di costi

​ ​

totali , c osti marginali e c osti medi variabili .

S T C S M C A

V C x = 8

Per trovare la funzione di produzione di breve periodo, sostituiamo 1

1/3

3

1 21/3 1 21/3 1 21/3

y = (2 ) x = 2x y = x

⇒

4 4 2

​

Per trovare i costi totali​ dobbiamo prima invertire la funzione di produzione di

S T C

x

breve periodo in modo che sia funzione di :

y

2 3

x (y) : x = 8 y

2 2

Quindi la funzione di c​ osti totali di breve periodo​ sarà uguale al prezzo di

S T C

x

bene 1 per sommato al prezzo di bene 2 per la quantità ottima di input 2 in

1

funzione dell'output: S T C(y) = w x + w x

1 1 2 2

1 1 3 3

S T C(y) = 8 + (8y ) = 2 + y

4 8

​

Per calcolare i costi marginali di breve periodo bisogna fare la derivata prima

S M C

dei costi totali di breve periodo: δST C

S M C = δy 2

S M C(y) = 3 y

​ ​

Per ottenere i costi medi variabili​ dobbiamo semplicemente dividere i costi

A

V C

variabili​ per ; avendo la funzione di costi totali, abbiamo implicitamente anche

V C y

i costi variabili ed i costi fissi, poiché la funzione di costi totali altri non è che la

​ ​

somma di costi variabili​ ed i costi fissi​ e quindi:

V C F C

S T C = V C + F C

3

V C = y

F C = 2 36

e quindi i costi medi variabili risultano essere:

V C

A

V C = y

3

y 2

A

V C(y) = = y

y

2.2 ​ ​

Si ricavi la f unzione di offerta di breve periodo dell'impresa.

La funzione non è mai al di sotto di quindi la condizione di chiusura non

S M C A V C

ha un impatto e quindi la funzione di offerta è sempre uguale as

S S M C

2.3

SI trovi il prezzo in corrispondenza del quale i profitti di breve periodo sono .

p π = 0

Poiché la funzione di offerta è uguale ai costi marginali , quindi:

S S M C

2

p = S M C = 3 y

Se i profitti dobbiamo avere che il prezzo per la quantità di massimo profitto

π = 0 p

︿

dell'impresa meno i costi totali , devono essere uguali a 0, e quindi:

y ST C(y)

︿

π = p y − S T C(y) = 0

*

Però, se in equilibrio i profitti allora l'impresa sta offrendo un output lungo la

π = 0

︿ ︿

sua funzione di offerta, quindi implica:

p y − S T C(y) = 0

* ︿ ︿

2 3

p : 3y − 2 − y = 0

︿

Quindi risulta che e

y = 1 p = 3 37

Lungo Periodo

Esercizio 1 [18/09/18]

Nel lungo periodo un’impresa perfettamente concorrenziale opera in base alla funzione di

0.5 0.5 ​

produzione ed​ i prezzi e degli input 1 e 2.

y = z z w = 1

8 w = 2

1 2

1 2

1.1

Si calcoli la produttività marginale degli input nel lungo periodo. Si determinino e si

rappresentino le funzioni di costo totale, medio e marginale di lungo periodo.

1.2

Se la produzione dell’output è sussidiata dallo Stato con un sussidio pari a 2 per ogni unità

prodotta, come varia le funzioni di costo totale lungo periodo? 38

Soluzione 1

1.1

Si calcoli la produttività marginale degli input nel lungo periodo. Si determinino e si

rappresentino le funzioni di costo totale, medio e marginale di lungo periodo.

​

La produttività marginale d